7.3.1正弦函數的性質與圖像

。常考題型目錄

題型1正弦函數周期性的應用.......................................................................3

題型2五點作圖法畫正弦函數圖像...................................................................5

題型3正弦函數與不等式...........................................................................12

題型4與正弦函數有關的零點問題..................................................................18

題型5正弦函數的奇偶性...........................................................................27

?類型1函數奇偶性的判斷...................................................................27

?類型2函數奇偶性的應用...................................................................28

題型6利用單調性比較大小........................................................................31

題型7正弦函數的值域與最值問題..................................................................36

?類型1普通型..............................................................................37

?類型2二次函數............................................................................38

?類型3反比例型函數.......................................................................41

?類型4對勾函數............................................................................41

?類型5根號函數............................................................................42

?類型6含參最值（取值范圍）問題............................................................42

?類型7有解問題............................................................................43

?類型8不等式恒成立問題...................................................................46

?類型9解答題..............................................................................48

任知識梳理

知識點一,函數的周期性

（1）一般地，設函數4M的定義域為D,如果存在一個非零常數7?，使得對每一個尾。都有x+七。，且拉

+7）=癡,那么函數就叫做周期函數.非零常數廠叫做這個函數的周期.

（2）如果在周期函數4M的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數叫做的最小正周期.

2.正弦、余弦函數的周期性

正弦函數片sinM*GR）和余弦函數片cosM*eR）都是周期函數，2代（ZGZ，且石0）都是它們的周期.最

小正周期為2TL

知識點二.正弦函數的圖象和性質

函數正弦函數丫=5加

定義域R

值域[-1,1]

奇偶性奇函數

周期性最小正周期21

增區間［20O-g,200+芻

單調區間kez

減區間［20〃+g,2口口+靜

最大值點(2口口+弓,7)

最值點kez

最小值點(20口-目,—7)

對稱中心kwZ（女4,0）

.7C

對稱軸keZX=K7C-\——

2

知識點三.正弦曲線

1.定義：正弦函數片sinx,xwR的圖象叫正弦曲線.

2.正弦函數圖象的畫法

⑴幾何法：

①利用單位圓上點,sin用)畫出y=sinx,x￡［0,2n］的圖象；

②將圖象向左、向右平行移動(每次2Tl個單位長度).

(2)五點法:

(TT)(3n、

①畫出正弦曲線在【0,2E上的圖象的五個關鍵點(0,0),T,1,(n,0),行，-1,(2n,0),用光滑的

一(2)--------12)----------

曲線連接；

②將所得圖象向左、向右平行移動(每次2n個單位長度).

C題型分類

題型1正弦函數周期性的應用

【方法總結】求三角函數周期的方法

(1)定義法：即利用周期函數的定義求解.

⑵公式法：對形如y=As\r\{(vx+3)或y=Acos(cux+9)(4,3,謾常數，加0,3#0)的函數,T

2TI

(3)觀察法：即通過觀察函數圖象求其周期.

、

TI

【例題1】定義在R上的函數f(x)既是偶函數，又是周期函數，若f(x)的最小正周期為TT，且當XG0時，

f(x)=sinx,則f［三-等于()

7

也也

11

B-C.D.安

A-》222

【答案】D

啕㈤nA/3

【解析】3'3sin32'

【變式1-1]1.(2023?高一課時練習)已知函數0(。是以4為周期的奇函數，且。(-1)=1,則

sinn￡7(5)+g=.

【答案】-1

【分析】利用周期性和奇偶性求得口(5)，代入計算即可.

【詳解】因為〃=0(。是奇函數，所以0(1)=-0(-1)=-1,

又因為的周期為4,所以0(5)=0(1)=-1,

所以sinn/7(5)+]=sinf-n+1)=sin(一=-1，

故答案為：-1

【變式1-1】2.已知0(。是定義域為R且周期為2的函數，當Oe[-1,1)時，0(。=

-2ZJ2+4,-1<D<0,

則0(3).嗚=()

sinOQO<U<1,

A.V3B.-A/3C.-1D.1

【答案】D

【分析】根據函數的周期性及其解析式分別求出口(3)、口仔)的值，進而求口(3)?口得)即可.

OU

【詳解】???￡7(。的周期為2,則0(￡7+2)=￡7(￡7),又￡7(￡7)=「2彳著不1<D<0,

smUU,0<U<1,

.R(3)=￡7(3-4)=0(-1)=2,￡7(y)=□怎-2)=0(》=si吟=[

故。(3)-口電=1.

故選：D.

3ncosx-z-<x<0,

【變式1-1]3.設f(x)是定義域為R,最小正周期為萬的函數，若f(x)=jz2則f

[sinx,0<x<n,

15*

--的值等于()

47

A.1B.C.0

'2。?邛

【答案】B

'15n\「3n3n’3T?|3TT

【解析】f=f-3~4=sin—=--.

\"JLzlJ42

【變式1-1]4.已知函數f(x)對于任意實數x滿足條件f(x+2)=-品(f(x)tO).

Q)求證：函數f(x)是周期函數；⑵若f(l)=-5,求偵5))的值.

111

證明⑴???f(x+2)=-------,.-.f(x+4)=--------=-------=f(x),，f(x)是周期函數，4就是它的

XTX+/aL

fX

一個周期，

-1-11

⑵解.4是f(x)的一個周期.，f(5)=f(l)=-5,.-.f(f(5))=f(-5)=f(-l)=-——^―==c-

T-1+zT1□

TT~|「5

【變式1-1]5.已知f(x)是以TT為周期的偶函數，且xe0,5時，f(x)=1-sinX,求當xw開，3TT時f(x)

的解析式.

5-I「n]」n

【解析】XW開，3n時，3n-XW0,5,因為xG0,Q時，f(x)=1-sinx,所以f(3n-x)=l-sin(3

n-x)=1-sinx.又f(x)是以n為周期的偶函數，所以f(3n-x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的解析式為f(x)=1

-5'

-sinx,xepr,3n.

題型2五點作圖法畫正弦函數圖像

【方法總結】五點法作丫=$加,xe[O,2川的圖象的步驟：

fn1f3n)

①確定五個關鍵點：幽，T,1,。，0)-,-1,(2n,0),

\r71/7

②描點作圖.

【例題2-1]用五點法畫y=3sinx,在[0,2n]的圖象時，下列哪個點不是關鍵點()

/八

Tl3n

A一—B-,3C.(n,0)D.(2n,0)

6'2

\))

【答案】A

TT3TT

【解析】五個關鍵點的橫坐標依次是0,-,n,y,2n.

【變式2-1]1.用“五點法"作函數O=2sin@￡[0,2a上的圖象時，應取的五個點依次為

【答案】(0,0)仔2)30)(苧，-2)(2&0)

【分析】根據正弦函數的"五點"，即可代換求出.

【詳解】由洋=sinGl"五點"(0,0),侈1),(a0),(箓一1),(200)即可知，函數知=2sin。田0,20

上應取的五個點為(0,0),(f,2),(￡70),(手，一2),(20,0).

故答案為：(0,0),(f,2),(￡70),(苧,-2),(20,0).

【變式2-1】2.用“五點法"畫函數y=2-3sinx的圖象時，首先應描出五點的橫坐標是()

nn3nITJTI

li

AO15KB.0,-zTTzy,2n

nnTI2n

C.0，n,2TT,3TI,4nD0————

'6'3'2'3

【答案】B

n37T

【解析】所描出的五點的橫坐標與函數y=sinx的五點的橫坐標相同，即0,5,TT,萬，2兀

【例題2-2】用五點描點法作下列函數的圖像：

(1)￡7=1-s\nDfDe[0t2/J\;

⑵。=1+sin/J；UE[-LJ,IJ\.

(3)￡7=sin(￡7+￡7)-1.

(4)ZZ7=sinZ7-2zDe[-O,U\;

(5)0=1-2sin。，He[0,2。.

【詳解】(1)由題意,利用五點法作出函數。=1-sin￡7口￡[02。)的簡圖：

列表：

D3D

n0口2￡7

~2T

sinZZZ010-10

D

10121

=1-sin/Z7

描點、連線，可得函數。=1-sinO,￡76[0,2。]的圖象，如圖所示,

(2)由函數。=1+sinaOe[-C,!J\,

列表:

_Da

n-n0[J

~2

sinZZZ0-1010

D

10121

=1-sin￡7

描點、連線，可得函數0=1+sin。,Oe[-Z7,口的圖象，如圖所示,

_3D_D

X-2D-D0

~~T~~2

D

D+口0D

~~2~2

sin(￡7+D)0-1010

sin(ZZ7+ZZ7)

-1-2-10-1

-1

描點作圖如圖所示.

(4)列表：

_Dn

X-u0口

~~2~2

sinx0-1010

sinx-2-2-3-2-1-2

描點，畫出圖形如下：

(5)列表：

D30

X0D2口

~2~T

sinx010-10

l-2sinx1-1131

描點，畫出圖形如下：

【例題2-3]函數片sin（-吊，xe[0,2n]的簡圖是（）

【答案】B

【解析】由y=sin（-M=-sinx可知，其圖象和y=sinx的圖象關于x軸對稱.

生排除A9

【變式2-3】1,函數。=2—sin。，口6[0,221的簡圖是（）

【答案】A

【分析】利用五點作圖法可得出函數口=2-sin。，De@2￡7）的簡圖.

【詳解】列表:

D3口

D0[J2口

~2~T

sin/7010-10

21232

=2-sin￡7

觀察各圖象發現A項符合.

故選：A.

【變式2-3]2.函數y=sin兇的圖象是（）

sinx,x>Q,

【解析】片sin|M=結合選項可知選B.

-sinx,%<0,

【變式2-3]3.如圖中的曲線對應的函數解析式是（）

A.y=|sinMB.y-sin兇

C.y=-sin|A）D.y=-|sinA|

【答案】C

【解析】排除法，可知C正確.

【變式2-3J4.（2022秋?福建寧德?高一統考階段練習）如圖所示，函數。=cosOtan。（0<D<|n且

口,白的圖像是（）.

【答案】C

【分析】將函數解析式化成分段函數，再根據正弦函數的圖象判斷即可.

sinQO<□<；

【詳解】解：因為。=cos￡7|tanZJ|=4一sin&；<U<n>

.__3n

sin/Z/n<□<—

所以函數圖象如C所示.

故選：C

【例題2-4】已知。=cos（□-子口?=1+sin。,則的圖象

A.與0（。的圖象相同

B.與0（。的圖象關于y軸對稱

C.向上平移1個單位彳導。（。的圖象

D.向下平移1個單位彳導口（O的圖象

【答案】C

【解析】由已知〃（O=sinO

【詳解】解：口（口=cos（/7-當=sinZ7,其向上平移1個單位即可得到0（。的圖像，故C正確，A錯

誤；0（的圖像與。（2）的圖像即不相同也不關于y軸對稱，故BD錯誤.

【點睛】本題考查正弦函數的圖像，是基礎題.

【變式2-4］在同一平面直角坐標系內，函數片sinx,*曰0,如］與y=sinx,xe［2n,4n］的圖象（）

A.重合B.形狀相同，位置不同C.關于y軸對稱D.形狀不同，位置不同

【答案】B

【解析】根據正弦曲線的作法可知函數片sinx,代［0,2川與y=sinx,后［2TT,4n］的圖象只是位置不

同，形狀相同.

題型3正弦函數與不等式

【方法總結】用三角函數圖象解三角不等式的步驟

Q）作出相應的正弦函數在［0,2川上的圖象；

（2）寫出不等式在區間。2川上的解集；

（3）根據公式一寫出定義域內的解集.

【例題3］（2023?高一課時練習）觀察正弦函數的圖像，可得不等sinOS；的解集為.

【答案】卜2K-2口￡2次+2,□eQ

【分析】畫出。=sin中）圖像，根據圖像確定正確答案.

【詳解】畫出sinOK］圖像如下圖所示,

由圖可知，不等sinO4的解集為10%2上嗑〃€可

故答案為：O<2￡7n+^Z7Go］

平的解集是(

【變式3-1]1.在[0,23內,不等式sinx<-)

n(4TT5TT、5TT、

A.(0,TT)Bg司C.m司D.—,2n

l。/

【答案】C

TTy[i

【解析】畫出片sinx,XC[0,2TT]的草圖如下.因為sin-=,

/\/、平.即在OM內，滿足si…4TT5TT

nno3丁2a

!\/x

所以sinn+-zsin2n-~

4n5n(4Tl5TT]

二刀或？.可知不等式sinx<-的解集是Y,-7.故選C.

【變式3-1]2.(1)函數口(口=Ji-Q+病運的定義域為

(2)函數￡7(。=logsin〃(2sinO-1)的定義域為.

(3)函數口(口)=1+質泊的定義域為_________.

-vzsinz-z—1

【解析】(1廣.,函數。(O=11-Q+VsiFo,

.’一羽斗，得1~2^0-2，解得04口夕,

(.sm￡7>0[2￡7n<￡7<n+2￡7rr,￡7eZ

二函數的定義域為[。曰.

故答案為：[。曰.

(2)要使函數0(。=logsin￡7(2sin￡7-1)有意義，

2M＜口＜25+9口=

2sinO-1>0

則有，解得：<

sinO^1□豐2ZZ7n+pZZ7eZ

.sin￡7>0

所以<D<ZJeZ或2次+；<D<2￡7TT+5,Z7GZ,

6226

則函數的定義域為g+2Onq+2On)uq+2DT?+2〃n)(OeZ),

故答案為：+2Z7rr,+2Z7n)u+2Z7rt,y+20^(￡7GZ).

(3)由題意，2sin/Z7_1>0=>sinZZ7>；=口G+2,LJLJ,--+2ZZ7ZZ7)(ZZ7GZ).

故答案為:仁+2□喟+2口“口小

【變式3-1】3.(2022?全國?高一專題練習)已知函數。(。是定義在。上的增函數，￡7(0,-1),。(3,1)是

其圖象上的兩點，那么|O(2sinO+1)|<1的解集為.

I答知皿口口-3口二2口口小,口€LJ}

【分析】由函數的單調性可得-；Wsinow1,再根據正弦函數的性質求2勺范圍，即可得解集.

【詳解】由|Z7(2sinO+1)|<1知：-1<Z7(2sinO+1)<1,

又0(。是定義在入的增函數且過0(0,-1),0(3,1)，

所以。<2sinO+1<3,即一耳WsinZ7<1,

根據正弦函數的性質：2￡7￡7-f<￡7<2￡7O+^,r7e￡7,故不等式解集為{0)200-臺D<

2口口4,口€0.

故答案為：[U\2DD-^<口32口□黑，口ED]

【變式3-1]4.用“五點法”作出函數。=1-sin￡7,￡76[0,2Q的大致圖象，并寫出使得1S0三2的

O的取值范圍.

【答案】圖像答案見解析，{0}u2a.

【分析】根據五點作圖法的方法畫圖，再計算。=1-sin。，口€[0,2。的零點，進而根據圖象直接求解

使1W2的口的取值范圍即可.

【詳解】解：列出函數圖像上的五個關鍵點，如下表所示.

畫出函數圖象，如圖所示：

令口=1,有1-sin〃=3口€[0,2Z7|,

解得：口=0,口2=口,口3=2口,

令￡7=2,有1一sin￡7=2,￡7e[0,2Z7|,

解得：￡7=苧,

由圖可知：當。e{0}u[&2Q時，有1w2.

【變式3-1]5.（2023秋?吉林長春?高一長春市實驗中學校考期末）在4口口收,sin￡7＜混。＜□＜三

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】通過三角函數性質結合充分條件與必要條件的推導即可得出答案.

【詳解】在4口□*,sinO＜^,

則。＜口＜別凈＜口＜口,

OO

故sin。（暴不出0<。<營，0<可推出sin〃<"

ZOOZ

則在△口口坊,sinO<g是0<〃<那必要不充分條件，

故選：B.

【變式3-1]6.（2022?上海楊浦?統考一模）在4口口收,口=%,則"sin￡7<；”是"△。口口是鈍

角三角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先解三角不等式，再結合充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】在^口□*,由sin〃（乎導：0<￡7<g或!<￡7<n,而O=§,貝!|0<O<?,因此得0<

□</

于是得。=”-口-口>》2。口口是鈍角三角形，

當仆OO喉鈍角三角形時，取鈍角。=，sinO=sin^=sin^>sin；=噂>；,

即^。。砥鈍角三角形不能推出sin。<\,

所以"sin〃<g"是是鈍角三角形"的充分而不必要條件.

故選：A

【變式3-1]7.（2021秋?四川雅安?高一雅安中學校考開學考試）已知sin〃<cos口,那么銳角a的取值

范圍是（）

A.30°<￡7<45°B.0°<￡7<45°C.45°<U<60°D.0°<￡7<90°

【答案】B

【分析】根據cos￡7=sin（90°-。結合銳角范圍內正弦值隨著角的增大而增大，得到D<90°-口,即可

求得答案.

【詳解】解：:cosZ7=sin(90°-D),.'.sin/J<cos￡7=sin(90°-D),

又在銳角范圍內正弦值隨著角的增大而增大，得口<90。-。,

:.口<45°,又a是銳角，貝！la的取值范圍是0°<。<45°,

故選：B.

【變式3-1]8.(2022?高一課時練習)已知。(。是定義在[一5,5]上的偶函數，當一5W0時，口(□)

的圖象如圖所示，則不等式算<0的解集為()

A.(-a-2)u(0,2)U(a5]B.(-a-2)U(￡Z5]

C.[-5,-2)U(0,￡7)u(￡75]D.[-5,-2)U(口,5]

【答案】A

【分析】由對稱性可得口(。>。和□(口<0的解集，結合sinU的正負可求得不等式的解集.

【詳解】???口(。)是定義在[-5,5]上的偶函數，，其圖象關于a由對稱，

結合圖象可知：當口€[-5,-2)U(2,5]時，0(￡7)>0；當￡7e(-2,2)時，口(口<0；

由第<。得:舄或匕

—2或0<LJ<2或￡7<LJ<5,

嘿<。的解集為(一a-2)U(0,2)U(￡Z5].

故選：A.

【變式3-1]9.已知定義在。上的函數0(。滿足：口(□+口=20(0),且當口e[0,4時，口?=

sin。.若對任意的口e(-8,日，者隋<2,則實數m的取值范圍是.

【答案】(-8,攀|

【分析】根據。(。+口=20(27),且當Z7e[0,。時，口(口=sin。，類比周期函數的性質，求出函數

的解析式，然后作出圖象，利用數形結合法求解.

【詳解】當。e[0,均時，口(口=sinO;

當。€(口2a時，U-Z7e(0,Z7|,Z7(Z7)=2￡7(E7-U)=2sin(O-D)=-2sin/7,

當￡7€(2口3。時，O-De(￡72￡7],O(Z7)=2￡7(￡7-D)=-4sin(￡7-U)=4sin￡7,

當De(-aO]時，0+06(0,a,U(JJ)=；□(□+U)=*(□+口=-；0n口,

則函數0(。的圖象如圖所示：

當￡76(2。,3a時，￡7(O=4sin￡7=2,解得□=*,

O

若對任意的口e(-8,可，都有。(?<2,

則公竽

故答案為：(-8,3耳.

【點睛】本題主要考查三角函數解析式的求法，三角函數的圖象和性質的應用，還考查了數形結合的思想

好推理求解問題的能力，屬于中檔題.

題型4與正弦函數有關的零點問題

【例題4-1[(2023?高一課時練習)函數0=sin中]圖像與直線0=g的交點坐標為.

【分析】令0=與求出函數值，即可得解.

【詳解】解：令〃=4導〃=sinf=sin(n-方=sin；=1,

JJ\'J/J/

所以函數0=sinO的圖像與直線〃=’的交點坐標信亨）.

故答案為：住用

【變式4-1】（2023?高一課時練習涵數。=sin0+：,口€[。,2司的圖像與直線。=1的交點坐標為

【答案】或僅1）

【分析】令0=1,即可得到sin￡7=；,再根據正弦函數的性質計算可得.

【詳解】解：因為D=sin口+1令。=1，即sin〃+g=1，則sinD=]

所以。=《+2On（DeZ）或￡7=黑+2On（￡7eZ）,

因為Oe[o,2n],所以0=3或￡7=!，

所以函數O=sinZ7+1,Z7G[o,2n]的圖像與直線〃=1的交點坐標為。或信,1）.

故答案為：（21）或（票,1）

【例題4-2]（多選）函數口=3+sin口OeG,2n）的圖像與直線￡7=口（口為常數）的交點可能有

()

A.0jB.ljC.2jD.3j

【答案】ABC

【分析】作出函數0=3+sin口￡7e（；,2n）與口=中]圖象，數形結合求解.

【詳解】在同一直角坐標系中，作出口=3+sin口Oe弓，2n）與。=譴象，

由圖象可知，

函數。=3+sinU,Ue&，2n）的圖像與直線口=。（口為常數）的交點個數可能為0,1,2,

故選：ABC

【變式4-2】1.函數y=l+sinx,后。2川的圖象與直線y=2交點的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由函數y=l+sinx,xe[0,2n]的圖象（如圖所示）,可知其與直線y=2只有1個交點.

【變式4-2】2.（2022春?上海楊浦?高一校考期中）函數O=10sin。與函數口=可圖像的交點個數是

（）

A.3B.6C.7D.9

【答案】C

【分析】作出函數0=10sinC?nO=木圖象，由圖象可得交點個數，

【詳解】□=10singj最小正周期是20,□=10sinHe[-10,10],

口=De[—10,10]時,Ue[-10,10],作出函數〃=10sinOfflZ7=中圖象,只要觀察。e[TO,10]的

圖象，由圖象知它們有7個交點,

故選：C.

【變式4-2】3.（2023?高一課時練習）方程2〃=sin中解的個數為.

【答案】無窮多個.

【分析】根據指數函數、正弦函數的圖象與性質確定圖象的交點個數即可得解.

【詳解】方程2°=sinO的解的個數等價于：函數口（。=2°與函數0（0=sin磔點的個數.

當〃<0時，函數=2°的值域為（0,1）,且連續單調遞增，

而函數0（。=sinOe[-1,1]且以。=211為周期的周期函數，且在。<0時連續.

所以函數0（。=2〃與函數￡7（。=sin分點的個數有無數個，

即方程2°=sin則解的個數為無窮多個.

故答案為：無窮多個.

【變式4-2]4.（2023秋?山東濟寧?高一曲阜一中校考期末涵數0（。）=1g。-sin廳勺零點個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題意可轉化為函數O=1g。的圖象和函數0=sinB）圖象的交點個數，數形結合即可得出結論

【詳解】函數0（。=IgO-sin。勺零點個數，

即函數。=1g。的圖象和函數〃=sind勺圖象的交點個數，

由于lg10=1,sin；1,siny=1,siny=1,

在同一坐標系作出函數圖象：

yi

i

由圖象可知，交點個數有3個.

故選：C

【變式4-2】5.若函數。(0=]40),則函數。(。=

□?-卜g|口-訓的零點個數是

4sinZZ7(0<U<LJ)

【答案】5

【分析】令0(0=。。_忖|。_郡=0，所以￡7(0=弧|。一闿，作出函數0(。和)ig10-^1

的圖象，即得函數0(0=口?-卜g-郡的零點個數.

【詳解】令。(°=。(0-忖0-郛=0,

所以0(0=卜g|o_郡，

作出函數0(0和川lgI〃-月I的圖象，如圖所示，

所以函數0(。=口⑸-|lg|o-別的零點個數是5.

故答案為5

【點睛】本題主要考查函數的零點的個數問題，考查函數圖象的作法意在考查學生對這些知識的理解掌

握水平和分析推理能力.

【例題4-3](2023?高一課時練習)設￡%常數，且滿足￡7=sin￡7+1,且￡7e卜n,n]的廳勺值只有一

個，則實數廳勺值為（）.

A.0B.1C.2D.0或2

【答案】D

【分析】利用五點作圖法作出O=sinZ7+1,卜mn］的函數圖象，依題意O=□與口=sin0+1在

口e卜上只有1個交點，結合圖象即可求出參數的值.

【詳解】解：因為sinO+1,列表：

TTn

a0TT-Tl

2~2

n12101

描點、連線，函數圖象如下圖所示：

因為Z7=sin/7+1,且卜Tt,n|的匚的值只有一個，

所以口=口與口=的口+1在Oe卜上只有1個交點,

結合圖象可知0=0或0=2.

故選：D

【變式4-3】1.函數y=sinx+2|sinM在［。，2川上的圖象若與直線y=%有且僅有兩個不同的交點,則k

的取值范圍是________若與直線片々有四個不同的交點，則〃的取值范圍是________.

【答案】l<k<30<-1

3sinx,0<x<n,

【解析】y=sinx+2|sinM=由題意在同一坐標系中作出兩函數的圖象如圖所

-sinx,n<x<2n,

示，若有兩個不同的交點，則1<代3.若有四個不同的交點，則0<代1.

【變式4-3]2.（2022秋?河南駐馬店?高二校考期中）若函數=sin〃+3|sinO|+e[0,2旦）

恰有三個不同的零點，則。=.

【答案】-2

【分析】將問題轉化為O=—%DO=sin0+3|sinO|在￡76[0,2口上有3個不同的交點，畫出口=

sinZ7+3|sinZ7|在Z7e[0,2/7]上的圖象，即可求解.

??

/1y\

,J'—it—.-j.

【詳解】

由題意得，口=sinO+3|sin￡7|+口=。在Oe[0,24上有3個不同的實數根，即。=一匚和

sin￡7+3|sin〃|在[0,22上有3個不同的交點，

令口?=sin￡7+3|sinO|,則0（。=[鬻嗎束，畫出函數。⑷的圖象，結合圖象可知

ZSinZ_/,LJE[LJ,4LJ\

一￡7=2,即￡7=-2.

故答案為：-2.

【變式4-3】3.（多選）（2022春海南省直轄縣級單位?高一海南二中校考期中）若。（。=sin。-等在

￡,TT]只有一個零點，則中可能取值是（）

0

A.-1B.1C.\D.0

【答案】ABC

【分析】根據零點定義把零點轉化為兩個函數的交點問題，數形結合即可.

【詳解】因為口(。=sinZ7-皮在,[只有一個零點,

則sin￡7-苧=0在￡76上有T解，

即口=sinG口egn]與￡7=子1有一個交點，

OZ

當口￡,TI，有一個嘲足sinOc[o,?u{1},所以等e[o,；)u{1},

即得Oe(0,1]u{-1},

故選:ABC.

【變式4-3】4.作出函數0=2+0口。口，De[0,2。]的簡圖，并回答下列問題：

(1)觀察函數圖象，寫出y的取值范圍；

⑵若函數圖象與0=苧在口e[0,。上有兩個交點，求a的取值范圍.

【答案】Q)￡7e[1,3](2)(-5,-3]

【分析】(1)用五點作圖法畫出函數圖象，觀察圖象，即可寫出滿足條件的y的取值范圍;

(2)根據圖象，用數形結合，判斷交點個數.即可求出a的取值范圍.

【詳解】列表:

q30

X0口2口

~2~2

□□□口010-10

2

23212

+口□□□

描點、連線，如圖.

(1)由圖知，D&[1,3].

(2)由圖知，當2W等<3時，函數圖象與0=等在[0,。上有兩個交點,BP-5<￡7<-3,

故a的取值范圍是(-5,-3],

【點睛】本題考查了正弦函數的圖象，考查了五點作圖法，數形結合思想是高中重要的一種思想，應熟練

靈