第第頁第4章指數與對數章末題型歸納總結目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：指數的運算經典題型二：對數的運算經典題型三：換底公式的運用經典題型四：證明恒等式經典題型五：指數、對數方程模塊三：數學思想方法①分類討論思想②轉化與化歸思想③函數與方程思想

模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：典型例題經典題型一：指數的運算例1．（2023·全國·高一專題練習）（1）計算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）原式==；（2）由，則，則則，即.例2．（2023·全國·高一專題練習）化簡：.【解析】.例3．（2023·吉林長春·高一長春外國語學校校考期中）化簡求值：(1)；(2)若，求，的值.【解析】（1）；（2），，，又，.例4．（2023·高一課時練習）已知，求的值．【解析】因為，則，可得，則，可得，且，所以.例5．（2023·高一課時練習）已知，求下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1）因為，所以.（2）因為，所以.例6．（2023·江蘇·高一假期作業）求值：(1)；(2)π0－＋×.【解析】（1）原式；（2）原式.例7．（2023·廣東深圳·高一翠園中學校考期中）（1）計算：；（2）化簡：．【解析】（1）；（2）.例8．（2023·高一課時練習）計算.【解析】原式例9．（2023·貴州貴陽·高一校聯考期中）（1）（2）．【解析】（1）原式（2）原式例10．（2023·浙江寧波·高一效實中學校考期中）計算：(1)；(2)已知，，求的值.【解析】（1）（2），，，，.經典題型二：對數的運算例11．（2023·黑龍江雞西·高三雞西實驗中學校考開學考試）（1）計算.（2）計算：.【解析】（1）.（2）例12．（2023·甘肅·高一統考期中）求值:(1);(2);【解析】（1）；（2）.例13．（2023·高一課時練習）求下列各式中x的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】（1），，，.（2），，.（3），，，∴.（4），，.（5），，.例14．（2023·陜西咸陽·高三校考開學考試）計算：(1)；(2)．【解析】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.例15．（2023·高一課時練習）已知，試求的值．【解析】，，，.法一：原式.法二：由換底公式，原式.例16．（2023·云南·高一統考期末）計算求值：(1)(2)【解析】（1）原式.（2）原式.例17．（2023·福建廈門·高一廈門市海滄中學校考期中）計算下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1）；（2）.例18．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學校考期中）計算下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1），（2）例19．（2023·高一課時練習）已知均為正實數，若，則＝（

）A．或 B．C． D．2或【答案】D【解析】令，則，所以，解得或，所以或，所以或，因為，所以或，所以或，所以或，故選：D經典題型三：換底公式的運用例20．（2023·河北衡水·高一校考開學考試）已知，則.【答案】2【解析】由題意：，；故答案為：2.例21．（2023·全國·高三專題練習）化簡求值：.【答案】/0.75【解析】.故答案為：例22．（2023·河北邢臺·高一河北省邢臺市會寧中學校考期末）十六、十七世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急，數學家約翰納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數，后來數學家歐拉發現了對數與指數的關系，即，現已知，則.【答案】2【解析】因為，所以，,所以，，所以，故答案為：.例23．（2023·上海靜安·高一上海市回民中學校考期中）已知則（用含的式子表示）【答案】【解析】因為，所以，故故答案為：例24．（2023·上海浦東新·高一上海南匯中學校考期中）已知，，用表示為．【答案】【解析】因為，，所以，；所以．故答案為:.例25．（2023·全國·高一假期作業）已知，試用表示.【答案】【解析】因為，利用對數的換底公式可得：，，于是，,∴,故答案為：.例26．（2023·浙江衢州·高二浙江省龍游中學校聯考期末）若，，則.【答案】2【解析】由得到，故.故答案為：2例27．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）設、是關于x的方程的兩個實數根,則．【答案】【解析】解:由題知的兩個實數根是、,根據韋達定理有,即,即,.故答案為:例28．（2023·云南紅河·高一開遠市第一中學校校考期中）若實數a，b，c滿足，，，則=．【答案】【解析】因為，，，所以，故，由換底公式可得：.故答案為：2例29．（2023·天津·高二統考學業考試）已知，，則的值為（

）A． B．ab C． D．【答案】D【解析】顯然；故選：D.例30．（2023·福建福州·高一校聯考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，故，故選：C例31．（2023·江蘇·高一假期作業）計算：(1)；(2).【解析】（1）由換底公式可得，；（2）原式.經典題型四：證明恒等式例32．（2023·高一課時練習）已知：，且，試探究：與是否相等？證明你的結論.【解析】與相等，證明如下：由知，，則，即與相等.例33．（2023·山西長治·高三校考階段練習）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了，(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；(2)運用該不等式比較以下三個值的大小：，，【解析】（1）由題意可得：，時，．證明如下：，，，，，，．（2）由（1）知，時，，即；則，，又綜上所述，.例34．（2023·高一課時練習）求解下列問題：(1)證明：．(2)已知，且．求證：．【解析】（1）左邊右邊（2）令，則，，，所以，，所以．例35．（2023·高一課時練習）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)舉出一個反例說明不成立；(2)證明：.【解析】（1）假設，則，，.因為，所以當時不成立.（反例不唯一，計算正確即可）（2）令，則，，所以.例36．（2023·江蘇·高一專題練習）設，，，，，證明：，.【解析】設，因為，所以,由對數的定義得到，所以；因為，所以，即例37．（2023·全國·高三專題練習）閱讀以下材料：對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾（J.Napier，1550年﹣1617年），納皮爾發明對數是在指數概念建立之前，直到18世紀瑞士數學家歐拉（Euler，1707年﹣1783年）才發現指數與對數之間的聯系.對數的定義：一般地，若，則叫做以為底的對數，記作.比如指數式可以轉化為，對數式可以轉化為..我們根據對數的定義可得到對數的一個性質：.理由如下：設，，所以，，所以，由對數的定義得:，又因為，所以解決以下問題：（1）將指數轉化為對數式：.（2）仿照上面的材料，試證明：.（3）拓展運用：計算.【解析】（1）將指數轉化為對數式：.故答案為：.（2）證明：設，，所以，，所以，由對數的定義得，又因，所以；（3）故答案為：2.經典題型五：指數、對數方程例38．（2023·高一單元測試）解關于的方程.（1）；（2）.【解析】（1）所以應滿足由對數的運算性質可將方程化為或.因為（2）所以應滿足根據對數的運算性質,則原方程可化為經檢驗,符合題意例39．（2023·高一課時練習）若是方程的兩個實根，求的值.【解析】由題意得：，＝（lga+lgb）（lga﹣lgb）2＝2[（lga+lgb）2﹣4lgalgb]＝2（4﹣4）＝4例40．（2023·高一單元測試）若是方程的解，化簡：．【解析】因為，所以，整理得：，，∵，∴．∴，，．例41．（2023·高一課時練習）已知實數滿足：，則．【答案】【解析】因為，所以，則．故答案為：,例42．（2023·高一課時練習）方程的實數解為.【答案】【解析】方程可得：，即，化簡得：，所以，由題意令（），則，所以，即.故答案為：.例43．（2023·高一課時練習）方程，．【答案】或．【解析】因為，所以或8，解得或．故答案為：或．例44．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）請寫出滿足方程的一組實數對：．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，∴，∴令得：，即：.故答案為：（答案不唯一）.例45．（2023·全國·高三專題練習）若，是方程的兩個根，則．【答案】【解析】由是方程的根，則，所以，即，又由，是方程的兩個根，所以，即，所以，所以．故答案為：例46．（2023·高一課時練習）方程log2(5－x)＝2，則x＝．【答案】1【解析】5－x＝22＝4，∴x＝1．故答案為：1．例47．（2023·上海·高一專題練習）方程的解為.【答案】2.【解析】由對數的運算性質可轉化條件為，即可得解.方程等價于，所以，解得.故答案為：2.例48．（2023·上海·高考真題）方程的解為.【答案】【解析】由，可得，解得.故答案為:.模塊三：數學思想方法①分類討論思想例49．從2，3，4，5這四個數中選兩個數作為的底數和真數，則的情況有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【答案】B

【解析】解：若，則，4，5，共3種；若，則，5，共2種；若，則，共1種；則的情況有6種；故選例50．下列說法正確的個數是（

）①16的4次方根是2；②的運算結果是；③當n為大于1的奇數時，對任意都有意義；④當n為大于1的偶數時，只有當時才有意義．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B

【解析】①16的4次方根是，故錯誤；②的運算結果是2，故錯誤；③當n為大于1的奇數時，對任意都有意義，正確；④當n為大于1的偶數時，只有當時才有意義，正確．故說法正確的個數是2，故選例51．的值是（

）A．0 B． C．0或 D．【答案】C

【解析】解：當時，，當時，，故選例52．如果x，，且，那么的值為__________．【答案】0或2

【解析】解：，當時，，即；同理當時，，即；當，時，，，①，，②①式②式得，，綜上所述，或故答案為0或例53．已知，，則__________【答案】4

【解析】解：由已知得，，，由可知，則或若，則，此時，則若，則，此時，則綜上，故答案為②轉化與化歸思想例54．已知，，，那么式子__________．【答案】1

【解析】解：由已知，，，故答案為例55．若，，且，則的最小值為__________．【答案】

【解析】解：因為，所以，所以，即所以當且僅當，即，此時時取等號所以最小值為例56．已知，，求__________．【答案】2

【解析】解：由，，可得，故答案為例57．第二次古樹名木資源普查結果顯示，我國現有樹齡一千年以上的古樹10745株，其中樹齡五千年以上的古樹有5株．對于測算樹齡較大的古樹，最常用的方法是利用碳測定法測定樹木樣品中碳衰變的程度鑒定樹木年齡．已知樹木樣本中碳含量與樹齡之間的函數關系式為，其中為樹木最初生長時的碳含量，n為樹齡單位：年，通過測定發現某古樹樣品中碳含量為，則該古樹的樹齡約為__________萬年．精確到附：【答案】

【解析】解：由題意可得：，整理得故答案為：③函數與方程思想例58．探測某片森林知道，可采伐的木材有10萬立方米．設森林可采伐木材的年平均增長率為，則經過__________年，可采伐的木材增加到40萬立方米．參考數據：，，最后近似計算按照收尾法進行【答案】19

【解析】解：設經過n年可采伐本材達到40萬立方米，則有，即，故有，即經過19年，可采伐的木材增加到40萬立方米，故答案為：例59．已知，且，則__________．【答案】4

【解析】解：設，所以，解得依題意：故答案為：例60．一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時的速度減少，為了保障交通安全，某地根據《道路交通安全法》規定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經過__________小時才能開車．精確到1小時，參考