專題09集合的概念【知識點梳理】知識點1：集合的概念(1)含義：一般地，我們把所研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．(2)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等．【知識點撥】集合中的元素必須滿足如下性質：(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．知識點2：元素與集合的關系關系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A【知識點撥】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．知識點3：集合的表示法(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法．例如：小于3的實數組成的集合．(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數集的表示：名稱非負整數集(自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN*或N＋ZQR(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．(4)描述法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【題型歸納目錄】題型1：集合與元素的含義題型2：元素與集合的關系題型3：集合中元素特性的簡單應用題型4：列舉法表示集合題型5：描述法表示集合題型6：集合表示的綜合問題【典例例題】題型1：集合與元素的含義例1．(2023·高一課時練習)下列語句中，正確的個數是(

)(1)；(2)；(3)由3、4、5、5、6構成的集合含有5個元素；(4)數軸上由1到1.01間的線段的點集是有限集；(5)方程的解能構成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】是自然數，故，(1)正確；是無理數，故，(2)錯誤；由3、4、5、5、6構成的集合為有4個元素，故(3)錯誤；數軸上由1到1.01間的線段的點集是無限集，(4)錯誤；方程的解為，可以構成集合，(5)正確；故選：A例2．(2023·高一課時練習)下列各組對象的全體能構成集合的有(

)(1)正方形的全體；(2)高一數學書中所有的難題；(3)平方后等于負數的數；(4)某校高一年級學生身高在1.7米的學生；(5)平面內到線段AB兩端點距離相等的點的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】(1)(3)(4)(5)中的對象是確定的，可以組成集合，(2)中的對象是不確定的，不能組成集合.故選：C.例3．(2023·廣東揭陽·高一惠來縣第一中學校考期中)下列四組對象中能構成集合的是()A．宜春市第一中學高一學習好的學生B．在數軸上與原點非常近的點C．很小的實數D．倒數等于本身的數【答案】D【解析】A：宜春市第一中學高一學習好的學生，因為學習好的學生不確定，所以不滿足集合的確定性，故A錯誤；B：在數軸上與原點非常近的點，因為非常近的點不確定，所以不滿足集合的確定性，故B錯誤；C：很小的實數，因為很小的實數不確定，所以不滿足集合的確定性，故C錯誤；D：倒數等于它自身的實數為1與﹣1，∴滿足集合的定義，故正確．故選：D．變式1．(2023·高一課時練習)下列各組對象不能構成集合的是(

)A．上課遲到的學生 B．年高考數學難題C．所有有理數 D．小于的正整數【答案】B【解析】根據集合中元素的三要素判斷．上課遲到的學生屬于確定的互異的對象，所以能構成集合；年高考數學難題界定不明確，所以不能構成集合；任意給一個數都能判斷是否為有理數，所以能構成集合；小于的正整數分別為，所以能夠組成集合.故選：題型2：元素與集合的關系例4．(2023·全國·高一專題練習)給出下列關系：①；②；③；④．其中正確的個數為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是有理數，是無理數，均為實數，①正確，②錯誤；，為自然數及有理數，③④正確.故選：C.例5．(2023·四川內江·高一四川省內江市第六中學校考開學考試)已知集合,那么(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知集合，故，故A正確，D錯誤，，故B錯誤，，故C錯誤，故選：A例6．(2023·全國·高三專題練習)已知，若，則實數構成的集合的元素個數是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】讓集合中每個元素等于1，求得，檢驗符號集合中元素的互異性，得的值，從而可得結論．①，∴，，則，不可以，②，∴，，則，可以，或，∴，，則，不可以，③，，，則，不可以，或，∴，，則，不可以，∴，故選：B．變式2．(2023·高一課時練習)設有下列關系：①；②；③；④．其中正確的個數為．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】D【解析】表示實數集

，則①正確表示有理數集

，則②正確表示自然數集

，則③正確是集合的一個元素

，則④正確本題正確選項：變式3．(2023·河北·高三學業考試)若不等式3-2x<0的解集為M,則下列結論正確的是

()A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M【答案】B【解析】當x=0時,3-2x=3>0,所以0不屬于M,即0?M;當x=2時,3-2x=-1<0,所以2屬于M,即2∈M.選B變式4．(2023·全國·高三專題練習)設集合，若，則的值為(

)．A．，2 B． C．，，2 D．，2【答案】D【解析】由集合中元素的確定性知或．當時，或；當時，．當時，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求；當時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求．綜上，或．故選：D．題型3：集合中元素特性的簡單應用例7．(2023·全國·高三專題練習)集合中實數的取值范圍是_________．【答案】.【解析】由集合，根據集合元素的互異性，可得，即實數的取值范圍是.故答案為：.例8．(2023·上海閔行·高三閔行中學校考開學考試)已知集合與相等，則實數__________．【答案】2【解析】因為集合與相等，則，解得．故答案為：2.例9．(2023·全國·高三專題練習)含有三個實數的集合既可表示成，又可表示成，則______________.【答案】【解析】要使得有意義，則，由集合，故可得，此時，故只需或，若，則集合不滿足互異性，故舍去.則只能為.則.故答案為：.變式5．(2023·高一課時練習)由構成的集合中，元素個數最多是______.【答案】2【解析】當時，，此時元素個數為1；當時，，所以一定與或中的一個一致，此時元素個數為2.所以由構成的集合中，元素個數最多是2個.故答案為:2.變式6．(2023·河北·高三學業考試)設集合，，，則中的元素個數為______．【答案】4【解析】因為集合中的元素，，，所以當時，，2，3，此時，6，7．當時，，2，3，此時，7，8．根據集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個元素．故答案為：4．變式7．(2023·上海·高三統考學業考試)“notebooks”中的字母構成一個集合，該集合中的元素個數是______________【答案】7【解析】根據集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個，故該集合中的元素個數是7；故答案為：7.題型4：列舉法表示集合例10．(2023·全國·高三專題練習)用列舉法寫出集合＝__________.【答案】【解析】由且，得或或或或或或，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，，當時，，當時，.故.故答案為：例11．(2023·高一課時練習)設a，b是非零實數，那么可能取的所有值組成集合是______.【答案】【解析】a，b是非零實數，當時，，當時，，當時，，所以所求集合是.故答案為：例12．(2023·全國·高一專題練習)已知集合，用列舉法表示M＝______．【答案】【解析】根據題意，應該為6的因數，故可能取值為1，2，3，6，其對應的值分別為：4，3，2，.又，所以的值分別為：4，3，2.故集合.故答案為：變式8．(2023·上海徐匯·高一上海市西南位育中學校考期末)用列舉法表示_________．【答案】【解析】.故答案為：變式9．(2023·高一課時練習)已知集合為小于6的正整數}，為小于10的素數}，集合為24和36的正公因數}．(1)試用列舉法表示集合且；(2)試用列舉法表示集合且．【解析】由題意，，.(1).(2).且變式10．(2023·高一課時練習)用列舉法表示下列集合(1)以內非負偶數的集合；(2)方程的所有實數根組成的集合；(3)一次函數與的圖象的交點組成的集合．【解析】(1)以內的非負偶數有，所以構成的集合為，(2)的根為，所以所有實數根組成的集合為，(3)聯立和，解得，所以兩個函數圖象的交點為，構成的集合為題型5：描述法表示集合例13．(2023·上海崇明·高一統考期末)直角坐標平面上由第二象限所有點組成的集合用描述法可以表示為_____________．【答案】【解析】依題意，第二象限所有點組成的集合是.故答案為：例14．(2023·高一課時練習)用描述法表示所有奇數組成的集合________．【答案】【解析】根據奇數可寫成的形式即可得出.所有奇數可寫成的形式，所以所有奇數組成的集合為.故答案為：.例15．(2023·高一課時練習)用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整數的集合．(2)坐標平面內第一象限內的點的集合．(3)大于4的所有偶數．【解析】(1)因為集合中的元素除以3余數為1，所以集合表示為：；(2)第一象限內的點，其橫坐標、縱坐標均大于0，所以集合表示為：；(3)大于4的所有偶數都是正整數，所以集合表示為：．變式11．(2023·高一課時練習)試用集合表示圖中陰影部分(含邊界)的點.【解析】由題意可得，所以圖中陰影部分(含邊界)的點組成的集合為.變式12．(2023·河南周口·高一周口恒大中學校考階段練習)用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整數組成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有實數解組成的集合；(4)拋物線上所有點組成的集合；(5)集合.【解析】(1)所有被3整除的整數組成的集合，用描述法可表示為：(2)不等式的解集，用描述法可表示為：.(3)方程的所有實數解組成的集合，用描述法可表示為：.(4)拋物線上所有點組成的集合，用描述法可表示為：.(5)集合，用描述法可表示為：且.題型6：集合表示的綜合問題例16．(2023·全國·高三對口高考)設是整數集的一個非空子集，對于，如果，，那么稱是的一個“孤立元”.給定，由的個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______個.【答案】【解析】由題意可知，不含“孤立元”的個元素的集合中，集合中的個元素一定是連續的個自然數，列舉出符合條件的集合，即可得出結果.由題意可知，由的個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”時，這三個元素一定是連續的三個自然數，故這樣的集合有：、、、、、，共個.故答案為：.例17．(2023·全國·高三專題練習)已知集合中的所有元素之和為1，則實數的取值集合為_____．【答案】【解析】集合中的所有元素之和為1，則：①當時，集合只有0和1兩個元素，故滿足所有的元素和為1．②當沒有實根時,，即，解得：.綜合①②得:.故答案為.例18．(2023·全國·高三專題練習)已知集合.(1)若中有兩個元素，求實數的取值范圍；(2)若中至多有一個元素，求實數的取值范圍.【解析】(1)由于中有兩個元素，∴關于的方程有兩個不等的實數根，∴，且，即，且.故實數的取值范圍是且(2)當時，方程為，，集合只有一個元素；當時，若關于的方程有兩個相等的實數根，則中只有一個元素，即，，若關于的方程沒有實數根，則中沒有元素，即，.綜上可知，實數的取值范圍是或變式13．(2023·高一課時練習)已知集合，其中.(1)1是中的一個元素，用列舉法表示A；(2)若中至多有一個元素，試求a的取值范圍.【解析】(1)因為，所以，得，所以.(2)當中只有一個元素時，只有一個解，所以或，所以或，當中沒有元素時，無解，所以，解得，綜上所述：或.變式14．(2023·高一課時練習)集合M滿足：若，則(且)已知，試求集合M中一定含有的元素.【解析】，，，，，∴在M中還有元素，，.故集合M一定含有的元素有.變式15．(2023·高一課時練習)集合A中的元素是實數，且滿足條件①若，則，②，求：(1)A中至少有幾個元素？(2)若條件②換成，A中至少含有的元素是什么？(3)請你設計一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.【解析】(1)因為，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少有3個元素.(2)因為，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少含有的元素是.(3)令，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少含有的其它元素是.【過關測試】一、單選題1．(2023·陜西榆林·高一校考階段練習)下列各組對象不能構成集合的是(

)A．上課遲到的學生B．2022年高考數學難題C．所有有理數D．小于x的正整數【答案】B【解析】對于B中難題沒有一個確定的標準，對同一題有人覺得難，但有人覺得不難，故2022年高考數學難題不能構成集合，組成它的元素是不確定的.其它選項的對象都可以構成集合.故選：B2．(2023·高一課時練習)由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數不是2，則實數a的取值可以是(

)A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由題意由，，3組成的一個集合A，A中元素個數不是2，因為無解，故由，，3組成的集合A的元素個數為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯誤，D正確，故選：D3．(2023·北京·統考模擬預測)設集合，則(

)A．當時， B．對任意實數，C．當時， D．對任意實數，【答案】C【解析】當時，，將代入A得：成立，故，即A錯誤；若時，此時將代入不成立，即B錯誤；當時，此時將代入不成立，即C正確；若時，此時將代入A得成立，即D錯誤；故選：C.4．(2023·四川綿陽·統考模擬預測)已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，即集合B的可能元素，則有：由，則，可得；由，且，可得，且；由，且，可得，且；由，且，可得；綜上所述：.故選：D.5．(2023·全國·高三專題練習)設是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意，都有(除數)，則稱是一個數域，則下列集合為數域的是(

)A．N B．Z C．Q D．【答案】C【解析】，，故N不是數域，A選項錯誤，同理B選項錯誤；任意，都有(除數)，故Q是一個數域，C選項正確；對于集合，，，故不是數域，D選項錯誤.故選：C6．(2023·高一課時練習)方程組的解集可表示為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，將代入得，所以，故選：D7．(2023·全國·高一專題練習)已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為()A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】集合A滿足，，，故，，，，故，則集合A所有元素之和為：故選：C8．(2023·全國·高三專題練習)已知集合A＝，則集合A中的元素個數為()A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】，的取值有、、、，又，值分別為、、、，故集合中的元素個數為，故選C.考點：數的整除性二、多選題9．(2023·河南周口·高一周口恒大中學校考期末)下列說法中不正確的是(

)A．與表示同一個集合B．集合＝與＝表示同一個集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示【答案】ABC【解析】對于A中，是一個元素(數)，而是一個集合，可得，所以A不正確；對于B中，集合＝表示數構成的集合，集合＝表示點集，所以B不正確；對于C中，方程＝的所有解的集合可表示為，根據集合元素的互異性，可得方程＝的所有解的集合可表示為，所以C不正確；對于D中，集合含有無窮個元素，不能用列舉法表示，所以D正確.故選：ABC.10．(2023·廣東佛山·高一佛山市榮山中學校考期中)已知集合，則下列屬于集合A的元素有(

)A． B．3 C．4 D．6【答案】CD【解析】依題意，是的約數，而的約數有，即，則，因為，因此所以CD正確，AB錯誤.故選：CD11．(2023·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學校考開學考試)(多選)給出下列關系中正確的有()A． B． C． D．【答案】AD【解析】因為，，，，所以AD正確.故選：AD.12．(2023·云南·高一校聯考階段練習)已知集合，若，則的值可能為(

)A． B．2 C． D．12【答案】ABD【解析】因為，所以或.①當時，，，所以或，得或4.當時，不合題設，舍去.當時，，，此時.②當時，，，所以或，解得：或或當時，不合題設，舍去.當時，，此時.當時，，此時.故選：ABD三、填空題13．(2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模)已知，則__________.【答案】3【解析】因為，所以二次方程有兩個相等的實數根，則①，且方程的根為1，所以②，聯立①②解得：所以故答案為：.14．(2023·上海楊浦·復旦附中校考模擬預測)已知集合中的最大元素為，則實數________.【答案】1【解析】因為，所以，所以，解得或，顯然不滿足集合元素的互異性，故舍去，經檢驗符合題意．故答案為：15．(2023·高一課時練習)已知為非零實數，代數式的值所組成的集合是，則_____.【答案】【解析】當都為正數時，可得；當都為負數時，可得；當兩正一負時，可得；當一正兩負時，可得，所以集合.故答案為：.16．(2023·江蘇·高一專題練習)已知集合，若集合A中只有一個元素，則實數a的取值的集合是______．【答案】【解析】當時，，滿足條件；當時，只有1個元素，則二次方程判別式，解得.故或故答案為：四、解答題17．(2023·全國·高一專題練習)選擇適當的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有實數根組成的集合；(2)大于2且小于6的有理數；(3)由直線y＝－x＋4上的橫坐標和縱坐標都是自然數的點組成的集合．【解析】(1)方程的實數根為－1，0，3，所以方程的實數根組成的集合可以表示為{－1，0，3}；(2)由于大于2且小于6的有理數有無數個，可以用描述法表示該集合為{x∈Q|2<x<6}；(3)用描述法表示該集合為M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}.18．(2023·貴州安順·高一校考階段練習)已知集合，，若.(1)求實數的值；(2)如果集合是集合的列舉表示法，求實數的值.【解析】(1)∵，∴或者得或，驗證當時，集合，集合內兩個元素相同，故舍去∴(2)由上得，故集合中，方程的兩根為1、-3.由一元二次方程根與系數的關系，得.19．(2023·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市南崗中學校校考階段練習)已知集合，若，求實數a的取值集合．【解析】因為，所