第第頁§9.2用樣本估計總體課標要求1.會用統計圖表對總體進行估計，會求n個數據的第p百分位數.2.能用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度．知識梳理1．百分位數一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．2．平均數、中位數和眾數(1)平均數：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位數：將一組數據按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數據(當數據個數是奇數時)或最中間兩個數據的平均數(當數據個數是偶數時)．(3)眾數：一組數據中出現次數最多的數據(即頻數最大值所對應的樣本數據)．3．方差和標準差(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.(2)標準差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).4．總體方差和總體標準差(1)一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為eq\x\to(Y)，則總體方差S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2.(2)加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.常用結論1．若x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數為meq\x\to(x)＋a.2．數據x1，x2，…，xn與數據x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數據經過平移后方差不變．3．若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)對一組數據來說，平均數和中位數總是非常接近．(×)(2)方差與標準差具有相同的單位．(×)(3)如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這組數的平均數改變，方差不變．(√)(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數的估計值．(√)2．在下列統計量中，用來描述一組數據離散程度的量是()A．平均數B．眾數C．百分位數D．標準差答案D解析標準差反映了數據分散程度的大小，所以說標準差是用來描述一組數據離散程度的統計量，故D正確．3．甲、乙、丙、丁四人參加射擊項目選拔賽，成績如下，則他們中參加奧運會的最佳人選是______．甲乙丙丁平均環數8.58.88.88方差3.53.52.18.7答案丙解析由平均數及方差的定義知，丙的平均成績較高且較穩定，是最佳人選．4．有一組數據：－1，a，－2,3,4,2，它們的中位數是1，則這組數據的平均數是________．答案1解析數據－1，a，－2,3,4,2，已知除a以外的數據從小到大排序為－2，－1,2,3,4，要使得中位數為1，則a在第3位或第4位，即eq\f(2＋a,2)＝1，a＝0，經檢驗符合題意，所以這組數據的平均數是eq\f(－2－1＋0＋2＋3＋4,6)＝1.題型一樣本的數字特征的估計例1(1)(多選)某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了30名黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統計，統計數據如下．則下列對該單位黨員一周學習黨史時間的敘述，正確的有()黨史學習時間(小時)7891011黨員人數48765A．眾數是8 B．第40百分位數為8C．平均數是9 D．中位數是9答案ACD解析由題意，隨機抽取30名黨員，由表可知，黨史學習時間為8小時的人最多，為8人，故眾數是8，故A正確；因為30×40%＝12，第40百分位數為eq\f(8＋9,2)＝8.5，故B錯誤；平均數為eq\f(1,30)×(7×4＋8×8＋9×7＋10×6＋11×5)＝9，故C正確；因為共有30名黨員，故中位數為第15項和第16項的平均數，因為第15項和第16項均為9，故中位數為9，故D正確．(2)(多選)有一組樣本數據x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數等于x1，x2，…，x6的平均數B．x2，x3，x4，x5的中位數等于x1，x2，…，x6的中位數C．x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差答案BD解析取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數等于2，標準差為0，x1，x2，…，x6的平均數等于3，標準差為eq\r(\f(22,3))＝eq\f(\r(66),3)，故A，C均不正確；根據中位數的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數是中間兩個數的算術平均數，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數的算術平均數，與x1，x2，…，x6的中位數相等，故B正確；根據極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確．思維升華計算一組n個數據第p百分位數的步驟跟蹤訓練1(1)(多選)在某次演講比賽中，由兩個評委小組(分別為專業人士“小組A”和觀眾代表“小組B”)給參賽選手打分，根據兩個評委小組給同一名選手打分的分值繪制成如圖所示的折線圖，則下列結論正確的是()A．小組A打分的分值的平均數為48B．小組B打分的分值的中位數為66C．小組A打分的分值的極差大于小組B打分的分值的極差D．小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差答案ABD解析由圖可知，小組A打分的平均數為eq\f(1,9)×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正確；將小組B打分從小到大排列為36,55,58,62,66,68,68,70,75，所以中位數為66，故B正確；小組A打分的分值的極差為54－43＝11，小組B打分的分值的極差為75－36＝39，故C錯誤；小組A打分的分值相對更集中，所以小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差，故D正確．(2)某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數是________．答案32.5解析由莖葉圖知數據從小到大排列為27,28,32,33,36,36,38,40,45,52,54,58，因為12×25%＝3，所以第25百分位數是eq\f(32＋33,2)＝32.5.題型二總體集中趨勢的估計例22024年，安徽、甘肅、廣西、貴州、黑龍江、吉林、江西七省區作為第四批實施改革的省份進入新高考.2023年10月，進入新高考的七個省份相繼公布了高考選考科目的試卷結構．某考試機構舉行了新高考適應性考試，在聯考結束后，根據聯考成績，考生可了解自己的學習情況，作出升學規劃，決定是否參加強基計劃．在本次適應性考試中，某學校為了解高三學生的聯考情況，隨機抽取了100名學生的聯考數學成績作為樣本，并按照分數段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求出圖中a的值并估計本次考試的及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學生所占比例)；(2)估計該校學生聯考數學成績的第80百分位數；(3)估計該校學生聯考數學成績的眾數、平均數．解(1)由頻率分布直方圖的性質，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率為(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)得分在110以下的學生所占比例為(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的學生所占比例為0.66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位數位于[110,130)內，由110＋20×eq\f(0.8－0.66,0.94－0.66)＝120，估計第80百分位數為120.(3)由圖可得，眾數的估計值為100.平均數的估計值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.思維升華頻率分布直方圖中的數字特征(1)眾數：最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數：中位數左邊和右邊的矩形的面積和應該相等．(3)平均數：平均數在頻率分布直方圖中等于各組區間的中點值與對應頻率之積的和．跟蹤訓練2某市共有居民60萬人，為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數據按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數；(2)估計該市居民月均用水量的眾數和中位數．解(1)由頻率分布直方圖，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1，解得a＝0.3；月均用水量不少于3噸的人數為(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72000.(2)由圖可估計眾數為2.25；設中位數為x，因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2<x<2.5，由0.50(x－2)＝0.5－0.48，可得x＝2.04，故居民月均用水量的中位數為2.04.題型三總體離散程度的估計例3某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10)．試驗結果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數為eq\x\to(z)，樣本方差為s2.(1)求eq\x\to(z)，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\x\to(z)≥2eq\r(\f(s2,10))，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．解(1)由題意得zi＝xi－yi的值分別為9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12，則eq\x\to(z)＝eq\f(1,10)×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝eq\f(1,10)×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.(2)由(1)知，eq\x\to(z)＝11,2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，故有eq\x\to(z)≥2eq\r(\f(s2,10))，所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高．思維升華總體離散程度的估計標準差(方差)反映了數據的離散與集中、波動與穩定的程度．標準差(方差)越大，數據的離散程度越大；標準差(方差)越小，數據的離散程度越小．跟蹤訓練3(2024·江門模擬)某果園試種了A，B兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統計了這20棵桃樹的產量如下表，記A，B兩個品種各10棵產量的平均數分別為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，方差分別為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070(1)分別求這兩個品種產量的極差和中位數；(2)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(3)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據以上計算結果分析選種哪個品種更合適，并說明理由．解(1)這10棵A品種桃樹的產量從小到大分別為30,40,50,50,60,60,70,70,80,90，這10棵A品種桃樹產量的極差為90－30＝60，中位數為eq\f(60＋60,2)＝60，這10棵B品種桃樹產量從小到大分別為20,40,50,50,60,60,70,80,80,80，這10棵B品種桃樹產量的極差為80－20＝60，中位數為eq\f(60＋60,2)＝60.(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)×(30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90)＝60，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80)＝59，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2＋(80－60)2＋(90－60)2]＝300，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(20－59)2＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2]＝349.(3)由(1)可知這兩個品種極差和中位數都相等，由(2)可知eq\x\to(x)>eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)，則A品種桃樹平均產量高，波動小，所以應該選種A品種桃樹．課時精練一、單項選擇題1．某鞋店試銷一種新款女鞋，銷售情況如表：鞋號3435363738394041日銷量/雙259169532如果你是鞋店經理，那么下列統計量中對你來說最重要的是()A．平均數 B．眾數C．中位數 D．極差答案B解析鞋店經理最關心的是哪個鞋號的鞋銷量最大，由表可知，鞋號為37的鞋銷量最大，共銷售了16雙，所以這組數據最重要的是眾數．2．某校高三年級一共有1200名同學參加數學測驗，已知所有學生成績的第80百分位數是103分，則數學成績不小于103分的人數至少為()A．220B．240C．250D．300答案B解析由1200×80%＝960(人)，所以小于103分的學生最多有960人，所以大于或等于103分的學生有1200－960＝240(人)．3．為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”正式服役，增強學生的國防意識，某校組織1000名學生參加了“逐夢深藍，山河榮耀”國防知識競賽，從中隨機抽取20名學生的考試成績(單位：分)，成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．頻率分布直方圖中a的值為0.004B．估計這20名學生考試成績的第60百分位數為75C．估計這20名學生數學考試成績的眾數為80D．估計總體中成績落在[60,70)內的學生人數為150答案D解析由頻率分布直方圖可得10×(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)＝1，解得a＝0.005，故A錯誤；前三個矩形面積為(2a＋3a＋7a)×10＝0.6，即第60百分位數為80，故B錯誤；估計這二十人的眾數為eq\f(70＋80,2)＝75，故C錯誤；總體中成績落在[60,70)內的學生人數為3a×10×1000＝150，故D正確．4．為調查某地區中學生每天睡眠時間，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，現抽取初中生800人，其每天睡眠時間的平均數為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間的平均數為8小時，方差為0.5，則估計該地區中學生每天睡眠時間的方差為()A．0.94B．0.96C．0.75D．0.78答案A解析該地區中學生每天睡眠時間的平均數為eq\f(800,1200＋800)×9＋eq\f(1200,1200＋800)×8＝8.4(小時)，該地區中學生每天睡眠時間的方差為eq\f(800,1200＋800)×[1＋(9－8.4)2]＋eq\f(1200,1200＋800)×[0.5＋(8－8.4)2]＝0.94.5．在統計中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環比是指本月和上一個月相比較的增長率，如圖是2022年1月至2022年12月我國居民消費價格月度漲跌幅度統計圖，則以下說法錯誤的是()A．在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數據的中位數為2.1%B．在這12個月中，月度環比數據為正數的個數比月度環比數據為負數的個數多3C．在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數據的平均數為1.85%D．在這12個月中，我國居民消費價格月度環比數據的眾數為0.0%答案C解析在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數據由小到大依次為0.9%,0.9%,1.5%,1.6%,1.8%,2.1%,2.1%,2.1%,2.5%,2.5%,2.7%,2.8%，中位數為eq\f(2.1%＋2.1%,2)＝2.1%，平均數為eq\f(1,12)×(0.9%＋0.9%＋1.5%＋1.6%＋1.8%＋2.1%＋2.1%＋2.1%＋2.5%＋2.5%＋2.7%＋2.8%)≈1.958%，由數據可知我國居民消費價格月度環比的數據中，有6個月的數據為正數，3個月的數據為0.0%,3個月的數據為負數，所以月度環比數據為正數的個數比月度環比數據為負數的個數多3，且0.0%出現次數最多，故眾數為0.0%，故A，B，D正確，C錯誤．6．四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子向上的點數，根據四名同學的統計結果，可以判斷一定沒有出現點數6的是()A．平均數為2，方差為2.4B．中位數為3，方差為1.6C．中位數為3，眾數為2D．平均數為3，中位數為2答案A解析A選項，若5次結果中有6，因為平均數為2，則方差s2>eq\f(1,5)×(2－6)2＝3.2，因為3.2>2.4，則當平均數為2，方差為2.4時，一定不會出現點數6，故A正確；B選項，若5個點數為3,3,3,5,6，則此時滿足中位數為3，平均數為4，則方差s2＝eq\f(1,5)×[(3－4)2×3＋(5－4)2＋(6－4)2]＝1.6，故B錯誤；C選項，取5個點數為2,2,3,5,6，滿足中位數為3，眾數為2，故C錯誤；D選項，取5個點數為1,1,2,5,6，滿足中位數為2，平均數為3，故D錯誤．二、多項選擇題7．根據氣象學上的標準，如果連續5天的日平均氣溫都低于10℃即為入冬．現將連續5天的日平均氣溫的記錄數據(記錄數據都是自然數)作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標的有()A．平均數小于4B．平均數小于4且極差小于或等于3C．平均數小于4且標準差小于或等于4D．眾數等于5且極差小于或等于4答案BD解析舉反例，如0,0,0,0,15，平均數為3小于4，但不符合入冬標準，故A錯誤；假設有數據大于或等于10，由極差小于或等于3知，此組數據最小值大于或等于7，與平均值小于4矛盾，故假設不成立，故B正確；舉反例，如1,1,1,1,11，平均數為3，且標準差為4，但不符合入冬標準，故C錯誤；眾數等于5且極差小于或等于4時，最大數不超過9，故D正確．8．已知數據x1，x2，…，x9成公差大于0的等差數列，若去掉數據x5，則()A．極差不變 B．第25百分位數變大C．平均數不變 D．方差變小答案AC解析選項A，根據極差的定義，原數據的極差為x9－x1，去掉x5后的極差為x9－x1，即極差不變，故A正確；選項B，原數據的第25百分位數為x3，去掉x5后的第25百分位數為eq\f(1,2)(x2＋x3)<x3，即第25百分位數變小，故B錯誤；選項C，原數據的平均數為eq\x\to(x)＝x5，去掉x5后的平均數為eq\x\to(x′)＝eq\f(1,8)(x1＋…＋x4＋x6＋…＋x9)＝eq\f(1,8)×eq\f(8x1＋x9,2)＝x5＝eq\x\to(x)，即平均數不變，故C正確；選項D，原數據的方差為s2＝eq\f(1,9)[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，去掉x5后的方差為s′2＝eq\f(1,8)[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x4－x5)2＋(x6－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，故s2<s′2，即方差變大，故D錯誤．三、填空題9．數據68,70,80,88,89,90,96,98的第75百分位數為________．答案93解析因為8×75%＝6，根據百分位數的定義可知，該數學成績的第75百分位數為第6個數和第7個數的平均數為eq\f(90＋96,2)＝93.10．若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為3，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為________．答案6解析因為樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為3，故樣本數據x1，x2，…，x10的方差為9，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22×9＝36，故數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為6.11．某射擊運動員連續射擊5次，命中的環數(環數為整數)形成一組數據，這組數據的中位數為8，唯一的眾數為9，極差為3，則該組數據的平均數為________．答案7.8解析依題意，這組數據一共有5個數，中位數為8，則從小到大排列，8的前面有2個數，后面也有2個數，又唯一的眾數為9，則有兩個9，其余數字均只出現一次，則最大數字為9，又極差為3，所以最小數字為6，所以這組數據為6,7,8,9,9，所以平均數為eq\f(6＋7＋8＋9＋9,5)＝7.8.