第12講三角函數的圖像與性質（13大考點）

口考點考向

上室幺、余弦、正切函數的圖象與性質

函數y=sinxy=cosxy=tanx

i

圖象o\yx

卜JT

定義域RRx￡R,且xW〃n十萬,kH

值域[-1,1][—1,1]R

奇偶性奇函數偶函數奇函數

在

在［2〃n—n24

JTJI

——+2An,—+2AJi

n］（AGZ）上是遞、一方+4n，5+An）（AGZ）

在

單調性(4￡Z)上是遞增函數，增函數，在［24n,

"n3n-2“貝+or］（AeZ）上是遞增函數

—+2^n,裝一+24兀

上是遞減函數

(〃金Z)上是遞減函數

周期是2km（AGZ且在周期是2kw（AGZ

周期是Alt（A-eZ且MO）,最小

周期性W0）,最小正周期是2且抬0）,最小正

正周期是n

jt周期是2n

對稱軸是x=k"

nUeZ）,對稱中心

對稱軸是x=—+kTi

是對稱中心是傳■,o［（〃dZ）

對稱性

(aeZ),對稱中心是(A

（4”+-|-,0）（正

n,o)Uez)

Z）

二函數尸Zsin（0x+。）的圖象

1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖

（1）“五點法”作圖原理：

在正弦函數y=sinx,xW［0,2滅］的圖象上，五個關鍵點是：（0,0）,仔，1），（“，。），（竽，一1），（2

n,0).

在余弦函數尸cosx,［0,2n］的圖象上，五個關鍵點是：（0,1）,卜尸0）,（兀，—1）,（7，oj,（2

兀,1）.

（2）五點法作圖的三步驟：列表、描點、連線（注意光滑）.

2.函數y=Asin（（^x+小）的有關概念

y=4sin（口才+。）振幅周期頻率相位初相

2n13

(給0,。＞0)AT=-f——6＞才+(1＞0

3T2n

3.用五點法畫y=4sin（口/+。）一個周期內的簡圖

用五點法畫尸東in（3x+0）一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示:

_±Jl0Jl—03JT02——0

X

3233G)2333

Jl3Ji

3犬+00TJl231

尸力sin(GX+0)0A0-A0

4.由函數尸sinx的圖象變換得到尸4sin（3*+。）（力〉0,3＞0）的圖象的兩種方法

法一法二

步

畫出產sinu的圖致卜

驟|畫出片sin4的圖象

1

向左（平＞0）或

平移"1個單位橫坐標變為原來的《?倍

向右。＜0）步

得到廣sin（4+根）的圖象上驟

2得到廣sin3z的圖象

一向左（叩＞0）或平移粵個單位

橫坐標變為原來的4倍

曾向右（中＜0）

得到廣sin（s4+p）的圖象上

3得到，=曲1（3”力的圖象

縱坐標變為原來的4倍縱坐標變為原來的A倍

|得到片Asin（3"根）的圖象卜,

得到y=4sin（34+中）的圖象

u考點精講

三角函數的周期性（共8小題）

（多選）1.（2022秋?鞍山期中）已知函數/（x）=|sinA|*|cosx|,則有（）

A.（2ir,0）是/（x）的一個對稱中心

B./（%）的最小正周期為三

2

C./（%）的圖像關于直線乂?對稱

4

D.在區間g3冗［上單調遞減

L4

【分析】由題意利用二倍角的正弦公式可求/(X)=』kin2x|,作出函數/(X)的圖象，利用正弦函數的圖

2

象和性質即可逐項求解.

【解答】解：f(x)=|sinr|,|cosx|=A|sin2x|,

2

作出函數/(x)的圖象如圖所示，

由圖知函數/(X)的圖象關于直線》=今對稱，故C正確;

/(x)的最小正周期為工，故B正確；

2

/(x)在區間［e，二］上單調遞減，故。錯誤；

42

/(x)的圖象無對稱中心，故A錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查了二倍角的正弦公式，正弦函數的圖象和性質的應用，考查了數形結合思想和函數思想

的應用，屬于中檔題.

（多選）2.（2022秋?沈陽期中）（x）=cos2Qx+>/3sinWXCos?則下列說

法正確的是()

A.3=1

B.f(x)的最大值為2

C.x吟為/(X)的一條對稱軸

D.(-2L,為『Ct)的一個對稱中心

【分析】先利用三角恒等變換化簡/(X)，由周期公式求出3,得到函數/(X)的解析式，利用正弦函數的

性質即可逐項求解.

2=A

［解答】解：f(x)=cosWx+\/3sinWxcosWx+^-sin2o)x=sin(2(ox+-^-)+［,

對于A,f(x)的最小正周期可得3=i,故正確；

23

對于B,由A可得/(x)=sin(2X+-ZL)+A,因為sin(2x+3~)G(-1,1),可得f(x)max=—f故錯

6262

誤；

對于c,/(2L)=Sin(2X2L+2L)+2=sin?L+工=3,所以函數關于*=三對稱，故正確；

66622226

對于O,/(-A)=sinL2X(-2L)+2Lj+A=sinO+A=A,所以(-工，A)為一(X)的一個對稱中

12126222122

心，故正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了三角函數的綜合應用，涉及了二倍角公式以及輔助角公式的應用，三角函數周期公式

的應用，正弦函數的性質的應用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

3.(2021秋?雁塔區校級期末)已知函數/(x)=|coWsinx,下列說法正確的序號是②③.

①函數的周期為m

②20214型；

、3,4

@fCx)在區間［工，三］上單調遞增；

44

@f(x)的圖象關于點(工，0)中心對稱.

2

【分析】/(X+TT)司(x),可判斷①，計算/(2021兀)的值可判斷②；xe［工，匹］時/(x)=lsinlr,

3442

易判斷單調性可判斷③，/(-_2L)手小-衛)，可判斷④.

44

【解答】解：①由函數/(%)=|cosx|sinx,

V/(x+n)壬/(元)，函數/(x)的周期不是n,故①不正確.

對于②，)(2。紅三)=/(673TT+.22L)=|COS(TT+-22L)|sin(TT+^L)=-cos2Lsin-=-返，②正

3333334

確；

對于③，當_-工,時，f(x)=|cosAl,sirLr=Asin2x,

442

/(x)在區間［工，匹］上單調遞增，③正確；

44

r/兀、_71

/(------)=|c?os(z---7--T-\)?|s.inz(—-x)=-cos-T-T--s.inJ-T---_=--1,

444442

/c(z-—3——幾)、=_|cIos(/"—3——兀\)?|si*n/(-—3——兀)、_=-cos——TTsin7T_=-1

444442

則/(-2L)^-/(-12L),

44

所以『(X)的圖象不關于點(手，0)中心對稱，故④不正確.

故答案為：②③.

【點評】本題考查了命題的真假性的判斷以及三角函數的單調性，奇偶性，周期性和對稱軸的綜合的應用

能力，屬于中檔題.

4.(2021秋?茂名期末)已知/(x)=sin(2Lv+_2L),則/(1)+f(2)+f(3)+-+f(2022)=0.

36

【分析】根據題意，分析函數的周期，由誘導公式可得/(x+3)即可得/(I)+/'(2)+/-(3)

+f(4)4/(5)+f(6)=0,由此可得答案.

【解答】解：根據題意，f(x)=sin(2L+三)，其周期7=等=6,則有f(x+6)=/(%),

362L

3

f(尤+3)=sin(n+_ZLvr+.ZL)=-sin=-f(x),

3636

則/(I)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,

則有f(l)+f(2)+f(3)+???+/■(2022)=337X|y(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]=0,

故答案為：0.

【點評】本題考查三角函數的性質，涉及函數值的計算，屬于基礎題.

5.（2022秋?吳忠校級期中）已知函數f（x）=2sin3xcos(3xV~)(O<3<3)在?處取

得最大值.

（1）求函數/（x）的最小正周期;

（2）若AABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且f（A）卷，c=2,求a

【分析】⑴利用三角恒等變換化簡f（x）=sin（23XT），結合f哈）=1以及0<3<3求解即可;

（2）由f（A）總以及Ae（°，皿），可得人號，再結合三角形內角和以及正弦定理，即得解?

【解答】解：(1)由題目，f(x)=2sin3xcos(3x

=2sin#x(/cos3x-^^-sin3x)+^~=sin3xcos^xW3sin23x

=^sin2Wx-V3Xl-cos23x

24

_1V3,冗、

—7^sin23x+-cos23x=sin(23

由題意可知23W-=2k兀+今-(t￡Z>可得3=12攵+1(xWZ).

因為OV3V3,所以3=1,

故f（x）=sin（2XT>所以函數f（x）的最小正周期為n.

(2)由f(4)9可得sin(2A+^^)V，

故2A">^-=2k兀■或2k兀+^~(k€Z)-

因為AC(0,TT),所以A=^".

由B=^~，以及A+B+C=n,可得C=5兀

石

csinAV2V2472

由正弦定理可得a==2>/3-2.

sinC.5冗,/冗,兀、V6+V2

sipsinCyk

【點評】本題主要考查三角恒等變換，正弦型函數的性質，正弦定理的應用，考查轉化思想與運算求解能

力，屬于中檔題.

6.(2021秋?拱墅區校級期末)已知函數f(x)=2c。S2X-2X/3sin(x-?^y")cos(x+^~)xER.

（1）求函數/（x）的最小正周期;

（2）若/G）在區間［工，m］上的最大值為2,求，"的最小值.

3

【分析】（1）利用三角函數恒等變換化簡函數解析式可得=sin（2r-2L）+1,進而利用正弦函數的

6

周期公式即可求解.

(2)由題意可求范圍標-三日-/,2/M-2L1，可得sin(2X-2L)的最大值為1,利用正弦函數的性

6666

質可得2機-工》三，即可解得m的最小值.

62

【解答】解：(1)(x)=2COS2X-2\/3sin(x-t,^-)cos(x-+^~)

=l+cos2x-V3sin(2X+AZL)

3

=l+cos2r-V3(--sin2x+^^-cos2x)

_22

=l+^^-sin2x-ACOS2X

22

IT

=sin(2r-—)+1,

6

所以函數f(x)的最小正周期r=2±=n；

2

(2)因為xe[-L,m]，

3

所以2r-匹a一且L,2m--],

666

又因為f(x)的最大值是2,所以sin(2r-2L)的最大值為1,

所以2，〃一匹》匹，

62

所以,W2三，

3

所以，〃的最小值為三.

3

【點評】本題考查了三角函數恒等變換以及正弦函數的性質的應用，考查了轉化思想和函數思想的應用,

屬于中檔題.

7.(2021秋?武漢期末)已知函數f(x)=FcosxCR.

(1)求函數/(x)的最小正周期以及單調遞增區間；

(2)求函數/(x)在區間x€[0,g]上的最小值及相應的x的值.

【分析】(1)利用余弦函數的周期求解最小正周期，結合余弦函數的單調性，求解/(x)的單調遞增區間.

(2)當x€[0,3]時，￥<2x吟《詈，然后根據余弦函數的圖象與性質，求出F(x)最小值即

可.

【解答】解：(1)f(x)W^cos(2x*G)最小正周期丁上券=兀.

令-兀+2k兀42xT<2k兀(k€Z)-

解得+kJl<x<T^+k兀(kEZ),

.V(X)的單調遞增區間是[二需+k兀，-2L+kK](kez)-

⑵當xC[0,時，V《2x吟《等，

.,.當2乂哈=兀，即x=箸時，函數取得最小值3cos(兀)=—而，

函數fG)的最小值為蓊，此時

【點評】本題考查三角函數的周期的求法，函數的最值以及函數的單調區間的求法，是基礎題.

8.(2021秋?麗水期末)已知函數f(x)=sin

(I)求函數/(nx)的最小正周期；

(|[)當xE[0,時，求y=f+f(x4^-)的取值范圍?

266

【分析】(I)由題意利用正弦函數的周期性，得出結論.

(II)三角恒等變換，正弦函數的定義域和值域，

【解答】解：（I）???函數f（x）二sin（x《），

.二函數/（TLX）=sin（HX+-5-）,故/（TU）的最小正周期為"=2

7T

（II）;y=f（x^^-）+f（%4^-）=sin（x+看）+cosx=^^-sinx+^cosx二V§sin

??u「n兀7,兀u「兀5兀-i

?xt[0，丁1?*x-+^t二—卜

Noou

Asin（x-*^-）€[y?1〉f（x）€?V3]>

所以，y=f（x工）+f（xE）的取值范圍是[近，?]?

662

【點評】本題主要考查正弦函數的周期性，三角恒等變換，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題.

正弦函數的圖象（共6小題）

9.（2022秋?福田區校級月考）已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A吟，a=\,b=我，

若函數/（X）=sin（2x+B）在（0,上存在零點，貝lj8=()

c.一D.22L

B/嗒63

【分析】由已知利用正弦定理可得sin5=四,

可求B=2L,或B="，分類討論，利用正弦函數的性

233

質即可求解.

1_M即sin”近,

【解答】解：在AABC中,由正弦定理可得

?兀sinB2

sirrT

從而8=三，或8=2工

33

若B=E_,則/(x)=sin（2X+A）在（0,工）上沒有零點，不符合題意;

334

若B=-=^-,則f(x)—sin(2x+2.2L）在（0,2L）上存在零點，符合題意.

34

故選：D.

【點評】本題考查了正弦定理，正弦函數的性質的應用，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

（多選）10.（2021秋?武漢期末）已知三角函數f（x）=2sin（2xf），以下對該函數的說法正確的是

（）

A.該函數的最小正周期為TT

B.該函數在（工，工）上單調遞增

66

C.x=工為其一條對稱軸

6

D.該函數圖像關于點（工，0）對稱

6

【分析】由三角函數的解析式逐一考查題中所給的三角函數的性質是否正確即可.

【解答】解：由題意可得，三角函數的最小正周期丁上券=兀，選項A正確；

若x€（工，工），則（0,2兀），故函數在區間（工，工）上不單調遞增，選項8錯

663366

誤；

當x=4時，2x玲=0,則函數關于點（4，0）中心對稱，不關于直線x=T對稱，

選項C錯誤，選項。正確.

故選：AD.

【點評】本題主要考查三角函數最小正周期的求解，三角函數的單調性，三角函數的對稱性等知識，屬于

基礎題.

11.（2022秋?青銅峽市校級期中）設函數f（x）=sin（3x*）（3>0），已知/⑺在◎2m有且僅

有5個零點，下述四個結論：

GY（x）在（0,2n）有且僅有3個極大值點②/'（x）在（0,2n）有且僅有2個極小值點

③f（x）在（0,今）單調遞增④3的取值范圍是陪，瑞）

其中所有正確結論的編號是①③⑷.

【分析】對①②可以通過作圖判別，對于④令t=3x+（3〉0），由犬10,2司，結合題意得到不等式

23兀+^二￡［5冗，6兀），解出范圍即可，對于③證明出當x€（0，—）時，

510

2L<3什三<乎處~=<49兀〈三即可.

551051002

【解答】解：已知f（x）=sin（3xf）（3>0）在［0,2TT］有且僅有5個零點，如圖，

O

其圖象的右端點的橫坐標在⑷b）上，此時/G）在（0,2K）有且僅有3個極大值點，但在（0,2TT）

可能有2或3個極小值點，所以①正確，②不正確;

令t=3xJ(3>0>???比［0,2n］,，tC［―,23兀-］且y=sinf,'：f(x)在［0,2ir］上有且

555

僅有5個零點,

二y=sim在［工，237T-JL］上有且僅有5個零點，，23兀E［5兀，6兀），

555

0）￡［卷，瑞），故④正確.

當且xrE/（no,三兀、）時舟’北r（/于兀，3兀兀、

又f)3兀兀nn49兀49兀《兀

10L05，100)

100

兀3冗nn

...y=sinr在（［-,上手吟）上單調遞增.，y=f（x）在（0,上單調遞增，故③正確.

故答案為：①③④.

【點評】本題主要考查正弦函數的圖象與性質，考查整體思想與運算求解能力，屬于中檔題.

12.（2022秋?南開區校級月考）設函數/（x）=sin（3"匹）在區間（0,n）恰有三個極值點、兩個零點,

3

則3的取值范圍是（烏當.

6-3

【分析】由題意利用正弦函數的極值點和零點，即可求得3的取值范圍.

【解答】解：當3<0時，不能滿足在區間（0,n）極值點比零點多，所以3>0；

函數f（x）=sin（3/匹）在區間（0,n）恰有三個極值點、兩個零點，

3

可得3X+工€（―I-,（OTt+—1-）,

333

可得.5N_<31T+』-W3TC,

23

求得區<3W2,即3的取值范圍是（至，1］.

6363

故答案為：（迫，1］,

63

【點評】本題主要考查正弦函數的極值點和零點，屬于中檔題.

13.（2021秋?保定期末）已知函數/（x）=3sin（3X-］一）的最小正周期為n,其中3>0.

（1）求3的值；

（2）當在［-［二工］時，求函數/（x）的單調區間；

44

（3）求函數/（X）在區間［0,當上的值域.

2

【分析】（1）由空=m解3即可；

0)

(2)由(1)知f(x)=2sin(2x--),可求單調區間；

6

(3)由x的范圍，結合三角函數的性質逐步計算易得值域.

【解答】解：(1)由題意可得空解得3=2；

3

(2)由(1)知f(x)=3sin(2x-2L),

由2&TT--工＜2也+工可得kn-k€Z.又x&[-2L],

2626344

;/=o時，單調增區間為：[-2L,2L],

64

2z：Tt+2Lw2x-解得jtez.

26236

k=-i時，又xq-二，2L],單調減區間為：[-三，-2L],

4446

/.sin(2x-2I_)G[-A,1J,

62

/.3sin(2r--ZL)[-3,3],

62

...函數f(x)在區間[0,2□上的值域為[-3,3]

22

【點評】本題考查三角函數的周期性和單調性，以及最值，屬基礎題.

14.(2021秋?武漢期末)已知函數f(x)=sin(Sx；)(3〉())?

(1)當3=2時;求/(x)在［0,子］的值域；

(2)若至少存在三個x°E(0,—使得/(刈)=-1.求/(x)最小正周期的取值范圍；

(3)若f(x)在(工，兀)上單調遞增，且存在(；,兀)，ffiWf(2m--求3的取

22332

值范圍.

【分析】(1)由題意可得當《2x4《等，據此即可求得函數的值域;

(2)由題意得到關于最小正周期的不等式，求解不等式即可確定最小正周期的取值范圍;

(3)由題意得到關于3的不等式，求解不等式即可確定3的取值范圍.

【解答】解：⑴當3=2時，f(x)=sin

4兀

由xt[0,

3

?V（X）的值域為[考,1].

⑵：對于函數f（x）=sin（3xf）（3>0），至少存在三個x°E（0,千），使得“X。）=-1，

設/（x）最小正周期為T,

71

9JT---

（__3T+T+yT）<^->

'2兀43

即當<三，.-.<<42L.

1230T31

即最小正周期的取值范圍是（0,-V

、31,

（3）若/（x）在（g,兀）上單調遞增，（三:T，3兀W）,3兀義43

,344，

6

二.存在（微~,兀），使得f（2nr即sin[①（2nr"'^_）讓:]■能成"

即sin23m>（?能成立?

JTTTTT1

?2^m€（3兀，23兀）G（―T-,—T->??23兀,?3

6348

綜上可得，1<O<1.

8個6

即3的取值范圍是得，1].

【點評】本題主要考查三角函數值域的求解，三角函數最小正周期范圍的求解，由三角函數的性質求3的

取值范圍等知識，屬于中等題.

三.正弦函數的定義域和值域（共4小題）

15.（2021秋?銀川期末）已知命題p：SxGR,X2+6X=-10,命題q：VxeR,sin2r+cos2r<3,則下列命題

2

中為真命題的是（）

A.pi\qB.pVLq）C.（「p）A（-D.Lp）/\q

【分析】直接利用三角函數的關系式的變換，真值表，命題真假的判定求出結果.

【解答】解：對于命題p：由于，+6工+10=（x+3）2+121,故/+6%=-10無解，故命題p為假命題;

對于命題q：VxGR,sin2x+cos2x=sin（2乂」二）故命題q為真命題；

故p/\q為假命題，pVLq）為假命題，Lp）A（"為假命題，（fp）八q為真命題；

故選：D.

【點評】本題考查的知識要點：三角函數的關系式的變換，真值表，命題真假的判定，主要考查學生的運

算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

16.(2021秋?伊州區校級期末)已知函數f(x)=W5sin(2x，)，g(x)=-x+a，若存在

Xxe,—]＞使得/(XI)=g(X2),則實數〃的取值范圍為—[工，工+W5]—?

【分析】分別求出xH-三，生]時函數/(X)、g(x)的值域，根據題意列不等式求出。的取值范圍.

64

【解答】解：xe[--,2L]時，2x+2Le[0,且L],所以sin(2X+2L)G[0,1],

64363

所以函數/(x)=2?sin(2X+2L)的值域為[0,2M1，

3

xG[-時，g(x)=-x+a的值域為]-2I_+a,.ZL+a]；

6446

若存在x-[-三，：]，使得/(?)=g(X2)，

貝I]ow--+a^2yf3,或0《2L+aW2百；

46

解得2LW“W2L+2標或-2Lw“w-工+2百，

4466

所以實數〃的取值范圍是[-匹，—+243].

64

故答案為：[-21,2L+2V31.

64

【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，也考查了轉化思想，是中檔題.

17.(2021秋?伊州區校級期末)已知函數f(x)=l-a2-sin2x+2asinx,x€[―,

63

(1)若f(看)=1，求實數a的值；

(2)若函數/(x)有兩個零點，求實數"的取值范圍.

【分析】(1)利用三)=1解方程求出a的值.

6

(2)利用換元法，令sin_r=3函數化為y=l-a?-p+2w,根據零點的定義求出.=4土1,再由y=sinr在[-

—,”]上的圖象與性質，求出/(X)有兩個零點時”的取值范圍.

63

【解答】解：(1)因為fg)=l-a21+a=l，

64

所以a2-a==0,解得

(2)令sinx=f,則y=/(x)=1-tz2-P+lat,

由1-/-p+2成=0,解得t=a±L

K

又因為y=sinx在［-二］上是增函數，在［三,空］上是減函數,

6223

且sin(-2L)=-sin.—兀—_——1,si.ri'K_—:sin”=sin-ZL=1,

6623322

所以圾時

，X有兩個值；

r=l或」〈返■時，x有一個值;

2飛2

其它情況，x的值不存在；

所以〃=0時/=±1函數/G)只有1個零點為三，

2

a>0時，?+1>1,要/(x)有2個零點,哼

所以1a<2;

a〈0時，要/(x)有2個零點,l+a<r

所以亨°；

綜上，/(x)有兩個零點時，。的取值范圍是I.o)u[，2).

【點評】本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了轉化思想與分類討論思想，是中檔題.

18.(2021秋?天河區校級期末)如圖，A8C。是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為

90米的底面為扇形小山(P為TS上的點)，其余部分為平地.今有開發商想在平地上建一個邊落在及

CD上的長方形停車場PQCR.求長方形停車場PQCR面積的最大值及最小值.

—],則Sp℃R=f(。)=(100-90cos9)(100-90sine),令sinO+cose=f,

2

則f=J5sin(。+三)曰1,&],由二次函數的性質求得SPQCR的最大值和最小值.

4

【解答】解：設0G［O,則

2

SPQCR=f(0)=(100-9OCOS0)(100-90sin6)=81OOsin0cos0-9000(sin0+cos0)+10000.

令sinO+cosO=f,貝If=J^sin(0+-2L)e[l,y[2].

4

??.SPQCRM&MT2-9000r+10000-笆世，此二次函數的圖象開口向上，對稱軸為

229

故當仁號時，SPQCD最小值為950(W2),

當/=&時，SPQCD最大值為14050-9000、歷(w2).

【點評】本題主要考查正弦函數的定義域和值域，二次函數的性質的應用，屬于基礎題.

四.正弦函數的單調性(共3小題)

19.(2022秋?洪山區校級期中)函數f(x)=2sin(23x+*)(w>0)在今，兀)上單調遞增，則(0

的最大值為1

一6一

【分析】根據已知x的范圍，找到23X+三整體的范圍，再與y=shu,的單調增區間做比較，歹U出不等式即

6

可.

【解答】解：(――兀)，貝I2G)X+-^-6(Tt(o+-21X0)+-^—),

'2'666

：3>0,若f(x)在哈,n)上單調遞增,

需滿足Tt3+2L2-三+2質，且2n3+2Lw2L+2丘，依z,

6262

解得：-2+2ZW3W工+A,kwz,

36

p1

2k<7-+k

3o

解得

4"+k>06

6

,:keZ,：.k=0,

Vw>0,/.0<a)^A,

6

則3的最大值是上.

6

故答案為：1.

6

【點評】本題考查三角函數的單調性，屬于基礎題.

20.(2022秋?青銅峽市校級期中)已知函數f(x)=2sinxcosx+cos(2x-"Hcos(2x止百>在口

(1)求￡臉)的值；

(2)求函數/(x)在區間味，兀]上的單調區間.

【分析】(1)利用三角恒等變換可得f(x)=2sin(2x《)，然后根據特殊角的三角函數值即得;

(2)根據正弦函數的單調性結合條件即得.

【解答】解：(1)*?*f(x)=2sinxcosx+cos(2x-^-)+cos(2x-^~)

=?n..兀兀..兀

-sin2x+cos2xcos^-+sin2xsirr^-+cos2xcos^--sin2xsin-^~

=sin2x+V3cos2x=2(^sin2x+-7-cos2x)

_/兀、

-2sin

"fW^)=2sin(=2sin-^=2-

LCtO4

⑵vy<x<K.

小2xf<9

7K

，當等42x吟《等時，即與.時，f(x)單調遞減,

12

當爸42xf4號時，即果<x<兀時，仆)單調遞增，

故/(X)在區間號，冗］上的單調遞減區間為［三，*］,單調遞增區間為［果，兀］.

【點評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的單調性，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題.

21.(2022秋?魏縣校級期中)已知函數/(x)=V3sin2x-2sinW,再從下列條件①、條件②這兩個條件

中選擇一個作為已知.

條件①：/(x)的最大值與最小值之和為0:條件②：f(子)=0-

(1)求機的值;

(2)求函數/(x)在［0,上的單調遞增區間.

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數解析式為f(x)=2sin(2x吟)出rl，根據所選條件①或②可

得出關于實數m的等式，由此可解得對應的實數機的值;

(2)選①或②，由x￡［0,3］可得(2乂七卷)€［-y->-y-］>解不等式《卷《手即可得

解.

【解合】(1)解：若選①：?f(x)=V3sin2x_2sin2x+m=*/3sin2x-(l-cos2x)+m

=Fsin2x+cos2x+nr1=2sin()+mT，

=

則f(X)max=2+m-1=加+1,f(x)fnin-2+m-\=m-3,

由已知可得"z+1+m-3=2m-2=0,解得%2=1,此時f(x)=2sin(2乂土春),

若選②：,f(x)=V3sin2x-2sin2x+m=V3sin2x-(l-cos2x)tin

V3sin2x+cos2x+m-l=2sin(2x-^*~^_)+m-l,

TTTTTT

,

f(-2-)=2sin(-^-)+m-l=m-2=0解得"?=2,ittHjf(x)=2sin(2x-**-^-)+1,

(2)解：由xC[0,可得(2x4)E[?，?]'

2666

山看與解得。＜x4看，

故函數/(X)在[0,工]上的單調遞增區間為[0,—

26

【點評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的最值、定義域和值域，屬于中檔題.

五.正弦函數的奇偶性和對稱性(共5小題)

(多選)22.(2022秋?玄武區校級期中)若函數f(x)=sin(2x。)，則下列命題正確的是()

A.函數y=f(x)的圖象與丫文05(2xf)的圖象重合

c-f+f(—^--x)=0

D.存在唯一的x°E[0,卷],使得f(x。)*

【分析】逐項代入驗證，化簡即可得到結果.

【解答】解：對A選項，...y=cos(2x—^~)=cos(2x+《—5~)=sin(2x+^~>'A選項正確;

對8選項，：f(-^--x)=sinc|?兀-2xV-)=sin(兀-2x)=sin2x，

TTQ7T7T

f(x"t^-)=sin(2x+-*j-^")=sin(2x+兀)=-sin2x,

f(-^-x)B選項錯誤；

時C選項，f(X4-^-)=sin(2x-*^--+^-)=s