第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年陜西省榆林市高一下學期期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=xy=lnx+1，B=xA.?∞,?1 B.?∞,0 C.?1,+∞ D.0,+∞2.已知復數z=1+2i?i9(i為虛數單位)，則z的虛部為A.?1 B.1 C.2 D.33.已知邊長為2的正方形ABCD中，點E，F分別為AB，BC的中點，則AF?AE=A.1 B.2 C.3 D.44.某種化學物質的衰變滿足冪函數模型，每周該化學物質衰減20%，則經過n星期后，該化學物質的存量低于該化學物質的15，則n的最小值為(

)(參考數據：lgA.6 B.7 C.8 D.95.已知平面向量a=1,2，b=2,3，則向量b?aA.25,45 B.?256.已知a,b>0，滿足點1a+1,1b在直線x+y=1上，則2a+bA.1+22 B.1+2 C.7.在?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，若B=60°，b=33，?ABC只有一個解，則cA.0,33 B.0,33 C.8.已知正三棱錐O?ABC，滿足OA⊥OB，OB⊥OC，OA⊥OC，OA=3，點P在底面ABC上，且OP=6，則點P的軌跡長度為A.π2 B.2π2 C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列說法正確的是(

)A.若a//b，b?α，a?α，則a//α

B.若a⊥α，b⊥α，則a//b

C.若α⊥β，α∩β=b，a⊥b，則a⊥β

D.若a，b為兩條異面直線，a?α，b?β，a//β，b//α10.已知隨機事件A,B，滿足PA=0.3，PB=0.6A.若A,B為互斥事件，則PA+B=0.18

B.若PA+B=0.8，則A,B可能為互斥事件

C.若A,B為獨立事件，則PAB=0.2811.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點M為BC的中點，點PA.直線B1M到平面A1D1DA的距離為2

B.點A到C1M到的距離為305

C.直線MP與平面A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知甲、乙、丙三名同學站在一排進行拍照，則甲在中間的概率

．13.已知sinx+π3?sinx=114.已知甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽，每人輸兩次即被淘汰，比賽順序為甲、乙先比，丙輪空，之后勝者與丙比賽，敗者輪空，以此類推直到比出獲勝者，假如甲、乙、丙三人實力相當，則丙獲勝的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知向量a，b滿足a=3，b=6，(1)求3a(2)若向量2b+ka與b?216.(本小題12分)某學校高一年級進行某學科的考試，所有學生的成績做成的頻率分布直方圖如圖所示，第一組成績在50,60，第二組成績在60,70，第三組成績在70,80，第四組成績在80,90，第五組成績在90,100．(1)求圖中a的值；(2)年級準備表揚在本次考試中成績在前14(3)現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，進行成績情況調研.若抽取的同學中，第二組的成績的平均數和方差分別為65和40，第四組的成績的平均數和方差分別為83和70，據此估計第二組和第四組抽取的所有同學中成績的方差．17.(本小題12分)已知?ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a、b、c，點D為邊BC上一點，滿足AD+(1)求證：AD=b；(2)若AD為內角A的角平分線，滿足BD=2CD，求sin18.(本小題12分)如圖，已知三棱錐A?BCD，三角形ABD為等邊三角形，BD=AC，BC⊥CD．(1)若點O為BD的中點，證明：AO⊥OC；(2)當BC=CD時，求異面直線AB與CD所成角的余弦值；(3)當異面直線AB與CD所成角的余弦值為14時，求BCCD19.(本小題12分)在銳角三角形ABC中，內角A,B,C所對應的邊分別為a，b，c，點M，N分別為邊BC,AB的中點，滿足AM?(1)求邊a，b，c之間的

關系；(2)求cos∠B的值域．

答案解析1.D

【解析】對于y=lnx+1可知x+1>0，解得x>?1，即對于y=x可知x≥0，即所以A∩B=0,+∞故選：D．2.A

【解析】因為z=1+2i?i9=1+2i?i=1+i所以z的虛部為?1．故選：A．3.B

【解析】因為點E，F分別為AB，BC的中點，則AE=12AB=1，且AF所以AF?故選：B．4.C

【解析】設某種化學物質的原始量為1，經過n星期后，該化學物質的存量為y，則y=0.8當經過n星期后，該化學物質的存量低于該化學物質的15時，有y=0.故n>log0.81故選：C．5.C

【解析】因為a=1,2，b=則(b故選：C．6.A

【解析】點1a+1,1b在直線2a+b=2當且僅當2a+1b=故選：A．7.D

【解析】?ABC的外接圓O的半徑R=b如圖所示，AC=33，可知點B在優弧AC?上(不包括端點)當B為B′時，此時c取到最大值2R=6；當點B從點A到B′時，此時c越來越大，且c∈0,6當點B從點B′到C時，此時c越來越小，且c∈3綜上所述：若?ABC只有一個解，則c的取值范圍為0,3故選：D．8.C

【解析】AB=BC=AC=3設M為等邊三角形ABC中心，則OM⊥平面ABC，連接BM，則BM=2所以OM=PM=而M點到AC的距離為13M點到A的距離為6所以P點軌跡是以M點為圓心，以3且與?ABC的三邊各有2個交點的三段相等圓弧，如圖，設圓弧與AB相交于E、F兩點，作MH⊥AB，則ME=MF=MH=62，所以EH=可得P點的軌跡在?ABC內部的弧所對的圓心角為2π?3π則弧長為π2故選：C．9.ABD

【解析】對于A：若a//b，b?α,a?α，根據線面平行的判定定理可知a//α，故A正確；對于B：若a⊥α,b⊥α，根據線面垂直的性質可知a//b，故B正確；對于C：當a?α時，α⊥β,α∩β=b,a⊥b，由面面垂直的性質定理可得a⊥β，當a?α時，α⊥β,α∩β=b,a⊥b，則a//β或a?β或a與β相交，故C錯誤；對于D：因為a?α，b//α，所以存在b′?α使得b′//b，又b?β，b′?β，所以b′//β，又a//β且a,b為異面直線，所以平面α內的兩直線b′、a必相交，所以α//β，故D正確．故選：ABD．10.ABD

【解析】對于AB，A,B為互斥事件，則PA+B=PA對于C，因為PA=0.3,PB因為PAB=P對于D，PAB=P所以隨機事件A,B為獨立事件，故D錯．故選：ABD．11.ACD

【解析】對于選項A：因為平面B1C1CB//平面A1所以直線B1M到平面A1D1且A1B1⊥平面A1D1DA，所以直線對于選項B：連接AM,C1M,AC1，設點A則AM=C在?AC1M中，可得邊A由三角形面積可得12×2所以點A到C1M到的距離為2對于選項C：直線MP與平面A1B1C1取B1C1的中點E則ME//BB1，且又因為BB1⊥平面A1B可知直線MP與平面A1B1C1可知當P與D1(或A1)重合時，即tan∠MPE取到最小值，可得∠MPE此時PM=3，可得sin∠MPE=所以直線MP與平面A1D1DA上任意直線所成角中的最小角的正弦值為對于D，取CS=1可知RN//SM,RN=SM，即R、N、M、S共面，在底面正方形中易知CSCM=1結合正方體的性質可知MN⊥底面ABCD，AM?底面ABCD，所以AM⊥MN，而MN∩SM=M,MN,SM?平面RNMS，所以AM⊥平面RNMS，故P在線段RN上運動，易知RN=12故選：ACD關鍵點點睛：對于D：利用轉化的思想，把線線垂直轉化為線面垂直，根據題意結合垂直關系分析可得AM⊥平面RNMS，進而可得軌跡．12.13【解析】已知甲、乙、丙三名同學站在一排，則有：(甲、乙、丙)，(甲、丙、乙)，(乙、甲、丙)，(乙、丙、甲)，(丙、甲、乙)，(丙、乙、甲)，共6個基本事件，設甲在中間為事件A，則有(乙、甲、丙)，(丙、甲、乙)，共2個基本事件，所以PA故答案為：1313.?7【解析】因為sinx+即cosx+所以cos2x+故答案為：?714.716【解析】根據賽制，最小比賽4場，最多比賽5場，比賽結束，假如甲、乙、丙三人實力相當，則每局比賽雙方獲勝的概率均為12比賽進行4場，丙最終獲勝，則后3場丙全勝，概率為2×1比賽進行5場，丙最終獲勝，則從第二場開始的4場比賽按照丙的勝負輪空結果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為1所以丙獲勝的概率為18故答案為：715.解：(1)因為向量a，b滿足a=3，b=6，所以3=(2)因為向量2b+ka所以(2b所以2b所以2×36?4×9+9k?18k=0，解得k=4

【解析】(1)根據已知條件利用3a(2)由題意得(2b+ka16.解：(1)2a+3a+7a+6a+2a×10=1，解得(2)年級準備表揚在本次考試中成績在前14的同學，定為成績優勝，故求第75%0.01+0.015+0.035×10=0.6<0.75<0.01+0.015+0.035+0.03×10=0.9，故75%故第75%分位數的分數為80+0.150.3×10=85分，故此次考試成績優勝的分數線為(3)因為現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，所以第二組抽取的人數為20×0.15=3人，第四組抽取的人數為20×0.3=6人，由總體平均數的知識可知總體平均數為3×65+6×839由總體方差的知識可知總體方差為3×40+【解析】(1)根據頻率分布直方圖的面積之和為1即可求解；(2)根據頻率分布直方圖的百分位數的求法即可求解；(3)根據樣本平均數和方差估計總體平均數和方差的知識即可求解．17.解：(1)記CD的中點為E，可得AD+因為(AD+AC可知AE為CD的垂直平分線，所以AD=AC=b．(2)記∠CAD=θ，因為BD=2CD，且點D在線段BC內，可知又因為AD為內角A的平分線，則cb=BD在△ACD,△ABD中，分別由余弦定理得：b2+b在?ABC中，由余弦定理得cosA=且A∈0,π，所以sin

【解析】(1)記CD的中點為E，利用向量運算證明AE⊥BC即可；(2)先根據向量關系得BD=2DC，再由角平分線定理可得c=2b，分別在△ACD,△ABD使用余弦定理可得a2=9b218.解：(1)設BD=AC=2，取BD中點O，連接OA,OC，∴OD=1，∵?ABD為

等邊三角形，O為BD中點，∴BD=AD=AC=2,AO⊥BD，∵在?BCD中，O為中點，BC⊥CD，∴OC=∵在?AOD中，AD=2,OD=1，∴AO=∵在?AOC中，AO=∴AO⊥OC．

(2)設BD=AC=2，取BD中點O，連接OA,OC，∴OD=1，取AC,AD中點E,F，連接OF,EF,OE，由(1)得OF=12AC=1在△ACD,△ABD中，∵E,F,O為AD,AC,BD中點，∴OE//AB,EF//CD且OE=1故異面直線AB與CD所成角為OE與EF所成的角∠OEF，在?BCD中，BC=CD,BD=2,BC⊥CD，∴EF=1在?OEF中，cos∠OEF=故異面直線AB與CD所成角的余弦值為2(3)設EF=x，BD=AC=2，∵異面直線AB與CD所成角的余弦值為1由(2)可知cos∠OEF=∴x=12，故在?BCD中，CD=1,BD=2,BC⊥CD，∴BC=3，故【解析】(1)通過直角三角形和等邊三角形的性質，求出AO,OC，即可證明AO⊥OC．(2)取AC,AD中點E,F，連接OF,EF,OE，將異面直線AB與CD所成角變為OE與EF所成的角∠OEF，利用余弦定理即可求解．(3)根據