2023年無錫市中考數學模擬試題二一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑。）1．在，2，，0四個數中，最小的數是（

）A． B．1 C． D．02．要使分式有意義，則應滿足的條件是（

）A． B． C． D．3．菲爾茲獎是數學領域的一項國際大獎，被視為數學界的諾貝爾獎，其規定獲獎數學家年齡不得超過40歲．截止目前，菲爾茲獎得主中最年輕的8位數學家獲獎時年齡分別為：29，27，31，31，31，29，29，31，則該組由年齡組成的數據的眾數和中位數是（

）A．29，31 B．29，29 C．31，30 D．31，314．方程有增根，則增根是（）A． B． C． D．5．如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則的長為（）A． B． C． D．6．我國是一個歷史悠久的多民族國家，每個民族都有自己的特色元素，針對各民族的特色元素，某設計師設計了56幅“似圖似字”的圖案．下面是其中的四幅，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．7．如圖，正六邊形，P點在上，記圖中的面積為，已知正六邊形邊長，下列式子中不能確定的式子的是（

）A． B． C． D．第7題 第9題 第10題8．下列說法中，錯誤的是（

）A．平行四邊形的對角線互相平分 B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．菱形的對角線互相垂直 D．對角線互相垂直的四邊形是正方形9．如圖，分別過反比例函數圖像上任意兩點A、B作x軸的垂線，垂足分別為點C、D，連接、，設與的交點為E，與梯形的面積分別為，，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．不能確定10．如圖，在平行四邊形中，點分別在邊上，，四邊形四邊形，相似比，則下列一定能求出面積的條件（

）A．四邊形和四邊形的面積之差 B．四邊形和四邊形的面積之差C．四邊形和四邊形的面積之差 D．四邊形和四邊形的面積之差二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應的位置上。）11．“碧玉妝成一樹高，萬條垂下綠絲絳”．每到春天，人們流連于柳綠桃紅之間的同時也被漫天飛舞的柳絮所煩擾．據測定，柳絮纖維的直徑約為米，該數值用科學記數法可表示為（其中），則整數的值為__________．12．計算：________．13．若，則__________．14．已知一次函數經過點且y隨x增大而減小，請寫出一個滿足上述條件的函數關系式：_______．15．如圖，在中，，點D是的中點，AE是邊上的高．若，，則______．第15題 第16題 第18題16．如圖，在中，，，．是的內切圓，分別與、、相切于點、、，則圓心到頂點的距離________．17．已知二次函數，當，且時，的最小值為，的最大值，則的值為___________．18．如圖，中，，中，，直線與交于，當繞點任意旋轉的過程中，到直線距離的最大值是______．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等。）19．（本題8分）計算：(1)． (2)20．（本題8分）（1）解方程組：； （2）解不等式：21．（本題10分）如圖，在中，連接，點E為線段的中點，連接并延長與的延長線交于點F，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中的四個等腰三角形（除外）22．（本題10分）中國古典長篇小說四大名著是指《水滸傳》、《三國演義》、《西游記》、《紅樓夢》這四部巨著，它們承載著無數文化精華，代表了中國古典小說的巔峰，是悠悠中國文學史上燦爛輝煌的一筆．甲、乙兩人從四大名著中隨機選擇一本進行研讀，假設選擇時不受四本名著封面厚度等影響，且每一本被選到的可能性相同．(1)求甲選擇研讀《三國演義》的概率；(2)若甲先從四本名著中隨機選擇一本(不放回)，乙從剩余三本中隨機選擇一本，求甲、乙兩人選到的是《三國演義》和《紅樓夢》的概率．23．（本題10分）為評估九年級學生的學習成績狀況，以應對即將到來的中考做好教學調整，某中學抽取了部分參加考試的學生的成績作為樣本分析，繪制成了如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中提供的信息解答下列問題：(1)求本次抽樣的學生人數是多少；(2)通過計算將條形統計圖補充完整；(3)該校九年級共有1000人參加了這次考試，請估算該校九年級共有多少名學生的數學成績達到優秀？24．（本題10分）如圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，作的中線．(2)在圖②中，在邊上找一點E，連結，使．(3)在圖③中，在邊上找一點F，連結BF，使的面積為．25．（本題10分）如圖，在中，點O在斜邊上，以O為圓心，為半徑作圓，分別與，相交于點D，E，連接，已知．(1)求證：是的切線；(2)若求的半徑．26．（本題10分）2023春節檔電影《滿江紅》熱映，進一步激發觀眾愛國之情．帝都南陽與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統軍過南陽到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書前后《出師表》，為南陽留下了千古絕唱“三絕碑”．某超市采購了兩批同樣的《出師表》紀念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個掛件的進價是第二批的倍，且第二批比第一批多購進25個．(1)求第二批每個掛件的進價；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經市場調查發現，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？27．（本題10分）如圖，D，E分別是邊，上的點，且．(1)問題初探：如圖1，若，則與的對應高之比為．(2)嘗試解決：如圖2，在中，，，作矩形，頂點F，G在邊上，設，當取何值時，矩形面積最大？并求出其最大值．(3)思維拓展：在（2）的條件下，當矩形的面積最大時，該矩形以每秒移動1個單位長度的速度沿射線勻速運動（當點G與點C重合時停止運動）．若，設運動時間為t秒，矩形與重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

28．（本題10分）如圖，拋物線經過點，，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，若點E是直線上方拋物線上的點，軸于點G，交于點F，當時，求點E的坐標；(3)如圖②，點在線段上，點Q線段上，且．以為邊作矩形，使點M在y軸上，直接寫出當m為何值時，恰好有矩形的頂點落在拋物線上．2023年無錫市中考數學模擬試題二一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑。）1．在，2，，0四個數中，最小的數是（

）A． B．1 C． D．0答案:A分析：正數大于0，負數小于0，正數大于負數，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小．【詳解】解：∵，∴最小的數是，故選：A．【點睛】本題考查了有理數的比較大小，注意兩個負數比較大小，絕對值大的反而小．2．要使分式有意義，則應滿足的條件是（

）A． B． C． D．答案:D分析：根據分式有意義的條件可得，再解即可得到答案．【詳解】解：根據題意得：，解得：故選：D．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握：分式有意義，分母不為0．3．菲爾茲獎是數學領域的一項國際大獎，被視為數學界的諾貝爾獎，其規定獲獎數學家年齡不得超過40歲．截止目前，菲爾茲獎得主中最年輕的8位數學家獲獎時年齡分別為：29，27，31，31，31，29，29，31，則該組由年齡組成的數據的眾數和中位數是（

）A．29，31 B．29，29 C．31，30 D．31，31答案:C分析：由數據可知，31出現4次，次數最多，所以眾數為31；將數據按從小到大的順序排列，可求出中位數．【詳解】解：由數據可知，31出現4次，次數最多，所以眾數為31；將數據從小到大排列為：27，29，29，29，31，31，31，31所以中位數為：；故答案為：C．【點睛】本題考查眾數和中位數，屬于基礎題，解題的關鍵在于理解眾數和中位數的定義，并將數據按大小順序排列．4．方程有增根，則增根是（）A． B． C． D．答案:C分析：根據增根的定義可知，最簡公分母為零的未知數的值是增根，根據分式方程判斷出最簡公分母，令最簡公分母為零即可求出的值．【詳解】解：∵分式方程有增根，∴最簡公分母，∴，即分式方程增根為故選：C【點睛】此題考查了分式方程的求解．注意增根形成的原因：最簡公分母為零．5．如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則的長為（）A． B． C． D．答案:D分析：設圓錐的底面的半徑為，則，，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到，解方程求出，然后計算即可．【詳解】解：設圓錐的底面的半徑為，則，，根據題意得，解得，所以．故選：D．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．6．我國是一個歷史悠久的多民族國家，每個民族都有自己的特色元素，針對各民族的特色元素，某設計師設計了56幅“似圖似字”的圖案．下面是其中的四幅，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、是軸對稱圖形，符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形的定義．7．如圖，正六邊形，P點在上，記圖中的面積為，已知正六邊形邊長，下列式子中不能確定的式子的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：連接，交于，設正六邊形邊長為，在正六邊形中求得則，易得，，，設，則，分別求得計算即可．【詳解】解：連接，交于，設正六邊形邊長為，在正六邊形中求得，則，，，易得四邊形是矩形，，，，，，設，則，，，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形的性質，三角形面積的有關計算，角所對的直角邊等于斜邊的一般以及勾股定理解直角三角形；解題的關鍵是熟練掌握正多邊形的性質．8．下列說法中，錯誤的是（

）A．平行四邊形的對角線互相平分 B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．菱形的對角線互相垂直 D．對角線互相垂直的四邊形是正方形答案:D分析：根據平行四邊形及特殊平行四邊形的判定和性質，逐項進行判斷即可．【詳解】A、平行四邊形的對角線互相平分，故A正確，不符合題意；B、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故B正確，不符合題意；C、菱形的對角線互相垂直，故C正確，不符合題意；D、對角線互相垂直的四邊形不一定是正方形，也可能是菱形等，故D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線四邊形及特殊平行四邊形的判定和性質，熟練掌握這些圖形的判定和性質定理是解題的關鍵．9．如圖，分別過反比例函數圖像上任意兩點A、B作x軸的垂線，垂足分別為點C、D，連接、，設與的交點為E，與梯形的面積分別為，，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．不能確定答案:C分析：根據點、在反比例函數圖像上結合反比例函數系數k的幾何意義即可得出，再根據、即可得出，此題得解．【詳解】解：點A、B在反比例函數圖像上，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，利用分割圖形求面積法找出、是解題的關鍵．10．如圖，在平行四邊形中，點分別在邊上，，四邊形四邊形，相似比，則下列一定能求出面積的條件（

）A．四邊形和四邊形的面積之差 B．四邊形和四邊形的面積之差C．四邊形和四邊形的面積之差 D．四邊形和四邊形的面積之差答案:C分析：分別過點，作的平行線，根據相似比，找出對應相似圖形的面積關系，然后找出符合的選項即可．【詳解】解：如圖，分別過點，作的平行線交于點，交于點，四邊形四邊形，相似比，，，，相似比，則，，，，選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了根據相似比求面積關系，平行四邊形性質，相似三角形性質等知識，適當添加輔助線，找出對應面積關系，采用面積作差方法是解題關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應的位置上。）11．“碧玉妝成一樹高，萬條垂下綠絲絳”．每到春天，人們流連于柳綠桃紅之間的同時也被漫天飛舞的柳絮所煩擾．據測定，柳絮纖維的直徑約為米，該數值用科學記數法可表示為（其中），則整數的值為__________．答案:分析：用科學記數法表示較小數時的形式為，其中，n為負整數，確定a的值時，把小數點放在原數從左起第一個不是0的數字后面即可，確定n的值時，n等于該數從左起第一個不為0的數字前所有0的個數的相反數．【詳解】解：∵，故答案為：．【點睛】本題考查科學記數法，解題的關鍵是熟練掌握科學記數法的表示方法．12．計算：________．答案:/分析：按照算術平方根和零指數冪化簡后，再進行加法計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】此題考查了實數的混合運算，熟練掌握算術平方根和零指數冪是解題的關鍵．13．若，則__________．答案:分析：根據平方差公式因式分解即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．14．已知一次函數經過點且y隨x增大而減小，請寫出一個滿足上述條件的函數關系式：_______．答案:（答案不唯一）分析：設一次函數的表達式為，由隨的增大而減小，則，圖像經過點，可得的值，綜合兩者取值即可．【詳解】解：設一次函數的表達式為，∵圖像經過點，∴，∵隨的增大而減小∴，即取負數，當時，函數解析式為．故答案為：．【點睛】此題主要考查了一次函數的性質，開放性試題，答案不唯一，滿足條件即可．15．如圖，在中，，點D是的中點，AE是邊上的高．若，，則______．答案:分析：勾股定理得到，取的中點為F，連接，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，則，由中位線定理得到則，進一步得到，即可得到．【詳解】解：取的中點為F，連接，∵AE是邊上的高．∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵點D是的中點，∴∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了中位線定理、直角三角形斜邊上中線的性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，添加輔助線是解題的關鍵．16．如圖，在中，，，．是的內切圓，分別與、、相切于點、、，則圓心到頂點的距離________．答案:分析：連接，通過勾股定理求得，由題意可得四邊形為正方形，利用切線長定理可得，即可求解．【詳解】解：連接，如下圖：由題意可得：，，，，則四邊形為正方形，即，由勾股定理可得：，設，則，，∵，∴，解得，∴，，由勾股定理可得：，故答案為：．【點睛】此題考查了圓與三角形的綜合應用，涉及了切線長定理，切線的性質定理，勾股定理以及正方形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識．17．已知二次函數，當，且時，的最小值為，的最大值，則的值為___________．答案:分析：由題意可得，，則的最小值為為負數，最大值為為正數．分兩種情況討論：①當時，時，取最小值，求出的值，當時，取最大值，可求得的值，即可得到的值；②當時，當時，取最小值，求出的值，當時，取最大值，求出的值，或時，取最小值，時，取最大值，分別求出，的值，故可求解．【詳解】解：二次函數的大致圖象如下：時，的最小值為，的最大值為，，，①當時，時，取最小值，即，解得：．當時，取最大值，即，解得：或均不合題意，舍去；②當時，當時，取最小值，即，解得：．當時，取最大值，即，解得：，或時，取最小值，時，取最大值，，，，所以．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的最值問題，二次函數的增減性，數形結合是解題的關鍵．18．如圖，中，，中，，直線與交于，當繞點任意旋轉的過程中，到直線距離的最大值是______．答案:/分析：數形結合，根據動點的運動情況判斷點的運動軌跡，在根據角度以及勾股定理求解最大值．【詳解】解：如圖旋轉，連接以為直徑作，以為半徑作過點作的切線交于點在和中∴點共圓，點共圓，點在上運動，的半徑為∴又∵，∴當點運動到點時，到直線距離的最大，過點作，過點作，，∴四邊形是矩形，

是圓心，設解得：（舍去）∴故答案為：．【點睛】本題主要考查圓動點的最值問題。熟練運用四點共圓性質以及勾股定理解直角三角形是解決本題的關鍵．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等。）19．計算(1)．(2)答案:(1)(2)分析：（1）根據負整數指數冪，零指數冪，特殊角的三角函數值，進行計算即可求解；（2）根據分式的混合運算進行計算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：【點睛】本題考查了實數的混合運算，分式的混合運算，熟練掌握負整數指數冪，零指數冪，特殊角的三角函數值，分式的運算法則是解題的關鍵．20．（1）解方程組：；（2）解不等式：答案:（1）；（2）分析：（1）用加減消元法解方程組即可；（2）按照去分母、去括號、移項合并、化系數為1的步驟解不等式即可；【詳解】（1）解：，，得，解得：把代入①，得所以原方程組的解是：（2）解不等式：解：去分母得：，去括號得：，移項、合并得：，系數化為1得：．【點睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組、求一元一次不等式的解集；解題的關鍵是熟練掌握解題方法、正確求解．21．如圖，在中，連接，點E為線段的中點，連接并延長與的延長線交于點F，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中的四個等腰三角形（除外）答案:(1)見解析(2)，，，分析：（1）由平行四邊形的性質及中點的條件，易證，從而可得四邊形是平行四邊形，再由則可得四邊形是矩形；（2）由矩形的性質即可得到，，均是等腰三角形，再由是中位線，則可得也是等腰三角形．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴，∵點E是的中點，∴，∴．∴，∴四邊形是平行四邊形．又∵，∴四邊形是矩形．（2）∵四邊形是矩形，∴，則，，都為等腰三角形．∵，即點D是的中點，∴是中位線，∴，∴，∵，∴，∴∴也是等腰三角形．即，，，是等腰三角形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，矩形的判定與性質，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質，三角形中位線定理等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．22．中國古典長篇小說四大名著是指《水滸傳》、《三國演義》、《西游記》、《紅樓夢》這四部巨著，它們承載著無數文化精華，代表了中國古典小說的巔峰，是悠悠中國文學史上燦爛輝煌的一筆．甲、乙兩人從四大名著中隨機選擇一本進行研讀，假設選擇時不受四本名著封面厚度等影響，且每一本被選到的可能性相同．(1)求甲選擇研讀《三國演義》的概率；(2)若甲先從四本名著中隨機選擇一本(不放回)，乙從剩余三本中隨機選擇一本，求甲、乙兩人選到的是《三國演義》和《紅樓夢》的概率．答案:(1)(2)分析：（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中甲、乙兩人選到的兩本名著是《三國演義》和《紅樓夢》的結果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：甲選擇研讀《三國演義》的概率為；（2）把《水滸傳》、《三國演義》、《西游記》、《紅樓夢》這四部巨著分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中甲、乙兩人選到的兩本名著是《三國演義》和《紅樓夢》的結果有2種，∴甲、乙兩人選到的兩本名著是《三國演義》和《紅樓夢》的概率為．【點睛】此題考查的是用概率公式和用樹狀圖法或列表法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．23．為評估九年級學生的學習成績狀況，以應對即將到來的中考做好教學調整，某中學抽取了部分參加考試的學生的成績作為樣本分析，繪制成了如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中提供的信息解答下列問題：(1)求本次抽樣的學生人數是多少；(2)通過計算將條形統計圖補充完整；(3)該校九年級共有1000人參加了這次考試，請估算該校九年級共有多少名學生的數學成績達到優秀？答案:(1)本次抽樣的學生人數為人；(2)；(3)九年級大約共有名學生的數學成績達到優秀；分析：（1）根據兩種圖形中差的數值及比例即可得到抽樣人數；（2）利用總人數減去優良差的即可得到中的，在圖中補充即可得到答案；（3）利用學校總人數乘以優秀的占比即可得到答案；【詳解】（1）解：由圖像可得，（人），答：本次抽樣的學生人數為人；（2）解：由（1）得，（人），∴條形統計圖補充如圖所示，；（3）解：由樣本估計總體：（人）答：九年級大約共有200名學生的數學成績達到優秀．【點睛】本題考查條形統計圖與扇形統計圖結合問題，解題的關鍵是根據共有量解出樣本容量．24．如圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，作的中線．(2)在圖②中，在邊上找一點E，連結，使．(3)在圖③中，在邊上找一點F，連結BF，使的面積為．分析：（1）找出線段的中點D，連接即可；（2）找到格點M，連接，與線段的交點為點E，連接即可；（3）作線段的三等分點F，連接即可．【詳解】（1）解：如圖，線段即所得；（2）解：如圖，（3）解：如圖；【點睛】本題考查基本作圖，中線的定義、等腰三角形的性質、線段三等分點的作法，相似三角形的性質，熟練掌握三等分點的作法是解題的關鍵．25．如圖，在中，點O在斜邊上，以O為圓心，為半徑作圓，分別與，相交于點D，E，連接，已知．(1)求證：是的切線；(2)若求的半徑．分析：（1）連接,證明即可得出結論；（2）設圓O的半徑為r，根據解直角三角形分別求出、、的長，在中，由列出方程解得即可．【詳解】（1）證明：連接,∵，∴，∵，∴，在中，，，，∴,為半徑，是的切線；（2）解：設圓O的半徑為r，在中，，根據勾股定理得：，，在中，，，根據勾股定理得：，在中，，即，解得：，

∴的半徑為

．【點睛】本題考查圓的切線的判定定理、解直角三角形和勾股定理的應用，熟練掌握圓的切線定理是解題的關鍵．26．2023春節檔電影《滿江紅》熱映，進一步激發觀眾愛國之情．帝都南陽與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統軍過南陽到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書前后《出師表》，為南陽留下了千古絕唱“三絕碑”．某超市采購了兩批同樣的《出師表》紀念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個掛件的進價是第二批的倍，且第二批比第一批多購進25個．(1)求第二批每個掛件的進價；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經市場調查發現，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？答案:(1)40元(2)售價定為55元時，最大利潤是1350元分析：（1）設第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為元，根據題意列出方程，求解即可；（2）設每個售價定為m元，每周所獲利潤為W元，則可列出W關于m的函數關系式，再根據“每周最多能賣90個”得出m的取值范圍，根據二次函數的性質可得出結論．【詳解】（1）解答：解：(1）設第二批每個掛件進價是每個x元，根據題意得解得，經檢驗，是原方程的解，也符合題意，∴，答：第二批每個掛件進價是每個40元；（2）設每個掛件售價定為m元，每周可獲得利潤W元，∵每周最多能賣90個，∴，解得，根據題意得，∵，∴當時，y隨x的增大而減小，∵，∴當時，W取最大，此時．∴當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．【點睛】本題綜合考查分式方程和二次函數的應用，根據題意列出函數關系式是解題關鍵．27．如圖，D，E分別是邊，上的點，且．(1)問題初探：如圖1，若，則與的對應高之比為．(2)嘗試解決：如圖2，在中，，，作矩形，頂點F，G在邊上，設，當取何值時，矩形面積最大？并求出其最大值．(3)思維拓展：在（2）的條件下，當矩形的面積最大時，該矩形以每秒移動1個單位長度的速度沿射線勻速運動（當點G與點C重合時停止運動）．若，設運動時間