第1頁/共1頁北京大學2024年強基計劃筆試數學試題1.求模7的余數.【答案】1【解析】【分析】只要注意到19與20的相鄰關系，容易將高斯取整寫成普通的計算式，剩下就只需要對冪次進行常規的同余計算.【詳解】因為，所以，上述中用到，，所以.2.求.【答案】【解析】【分析】由，化簡得到，，化簡得到，從而將原式化簡為，利用，求出，即可求解.【詳解】因為，從而得到：，則由于，，所以，因為因為所以，即，解得：或(舍去)所以3.求的排列的個數，使得排列中沒有出現連續的.【答案】【解析】【分析】先考慮包含連續的排列對應的七個集合，計算它們通過取交得到的集合的元素個數，然后利用容斥原理得到不滿足條件的排列數，再用總排列數與該數相減即得答案.【詳解】對有限集合，記其元素個數為.在的所有排列中，設為所有包含連續的的排列構成的集合，這里.則對而言，集合中的所有排列，都相當于在將需要相鄰的數進行捆綁以后，個整體元素的全排列，從而.故由容斥原理即得.這就表明出現了連續的中之一的排列有個，所以不出現連續的的排列有個.故所求排列的個數為.4.已知數列，求第2024項模5的余數.【答案】4【解析】【分析】設，可得，從而得到，即可求解【詳解】設數列滿足：，，，，，，，，，，，設，所以，，則，故所以64模5余數為45.求四元組的個數，使得，且.【答案】25【解析】【分析】根據，可得可能的取值，再利用排列組合求得四元組的個數.【詳解】因為，且，所以的取值有三種不同的組合：或或，即，當時，四元組有個，當時，四元組有1個當時，四元組有個，故滿足題意的四元組的個數為個.6.求上方程的解的個數.【答案】【解析】【分析】根據指數函數和三角函數的性質可得只能，分別比較和時，的大小關系，再根據函數和的凹凸性即可得解.【詳解】由，只能，當時，，當時，，令，則，所以在上單調遞減，，所以函數是凹函數，令，則函數在上單調遞減，，，所以函數是凸函數，所以函數與有兩個交點，即上方程的解的個數為個.7.求上方程的解的個數.【答案】【解析】【分析】用反證法證明原方程的解都滿足，即，然后逐一代入驗證即可.【詳解】一方面，假設原方程有一個滿足的根，則.令，則.對，有，故；對，有，故.所以對，都有，從而由知，矛盾.所以無解，故原方程的解，只有滿足，即，直接驗證即知都是原方程的解.所以原方程一共有個解.8.求上方程的解的個數.【答案】【解析】【分析】由得，由得，解得的范圍，得可能取值為，代入計算檢驗即可.【詳解】由得，所以，因為，所以，得，解得，此時可能取值為，分別代入計算可得，經檢驗不符合題意，故方程的解只有4個.【點睛】關鍵點點睛：根據得不等式組，進而得可能取值，代入計算可得.9.在體積為的正方體內取一個點，過這個點作三個平行于正方體面的平面，將正方體分為個長方體，求這些小長方體中體積不大于的長方體個數的最小值.【答案】【解析】【分析】先通過不等式方法證明這個長方體中至少有個的體積不超過，再說明當，，時，這個長方體中恰有個的體積不超過，即可說明這些小長方體中體積不大于的長方體個數的最小值為.【詳解】設該正方體的長寬高分別被切成長度為和，和，和的兩段，這里，且根據據對稱性，可不妨設.此時，個長方體的體積分別是.由，可知，.由于，故.而，故和中至少有一個數不超過，所以這個長方體中至少有個的體積不超過.當，，時，個長方體的體積分別是，此時這個長方體中恰有個的體積不超過.綜上，這些小長方體中體積不大于的長方體個數的最小值為.10.在離心率為的橢圓中，是兩個焦點，是橢圓上一點，且，求.【答案】【解析】【分析】根據離心率確定，根據橢圓定義及求出，在中，由余弦定理求得，再計算面積即可.【詳解】由題意得，即，由橢圓定義知，，又，所以，在中，由余弦定理得，解得，所以11.用表示正整數的數碼和，求滿足與均為5的倍數的的最小值.【答案】49999【解析】【分析】利用的必要條件為得到最小為4,得到最后的結果.【詳解】設的末尾有個9,即,所以,此時必要條件為,所以最小為4,當時不符合題意,所以最小可能為五位數,經檢驗最小值為49999.12.稱正整數為好數,當它各位數字均不相同，且對于所有正整數滿足，都有，求最大好數的范圍（）A.B.C.D.以上均不對【答案】D.【解析】【分析】利用題目給的“好數”的定義，設，結合由，得到的最大可能值為4，從而求出最大的好數為3570.【詳解】設,由可得，其中所以的最大可能值為4.當,由,得,有,解得,經檢驗最大的好數為3570.故選：D.13.在中，求的最小值或下確界.【答案】【解析】【分析】要使最小，則為鈍角三角形，不妨假設為鈍角，可得，利用余弦值的范圍可得，即可得到答案.【詳解】在中，要使最小，則為鈍角三角形，不妨假設為鈍角，則，，所以，則，，，所以則則，當為等腰三角形，且無限接近于時，無限接近于，即下確界為14.在中，若邊上的高為，求的范圍.【答案】【解析】【分析】利用三角形面積公式和余弦定理得到，從而表達出，求出，結合基本不等式求出，得到結論.【詳解】由三角形面積公式得，即，由余弦定理得，故，，其中，當且僅當，即時，等號成立，又，當且僅當時，等號成立，故.15.在中，若在上，比較與的大小.【答案】【解析】【分析】由余弦定理求出三角形每個內角的余弦值，從而求出對應正弦，在和分別利用正弦定理得到：和，化簡，即可求解.【詳解】在中，若在上由余弦定理可得：，同理：，，在中，，，所以，，設，，則，在，由正弦定理可得：，同理在，，所以，所以16.在中，若為形外一點，滿足，線段與線段交于，且，，求.【答案】【解析】【分析】使用平面幾何知識證明點是外接圓的圓心，然后利用圓的相交弦定理即得結果.詳解】由于線段與線段有交點，故點和點一定在線段的同側（否則線段和整體各位于線段的兩側且端點不同，不可能有交點）.而，，且和在的同側，故由圓心角是圓周角的2倍，可知點一定是外接圓的圓心.記的外接圓為，并設為在上的對徑點，則根據相交弦定理有.再由已知有，故.17.在中，若在上，平分的內心與的外心重合，求.【答案】【解析】【分析】利用與全等，得到求出【詳解】設題中的內心和外心為，即圖中兩點，一方面在的角平分線上，又所以與為等腰三角形，又所以所以所以得到.另一方面,所以,綜上可得.18.在中，若在上，平分，求的周長.【答案】【解析】【分析】設，先利用角平分線定理得出的關系，再利用雙余弦定理求出，即可得解.【詳解】設，由角平分線定理可得，則，由余弦定理得，即，將代入化簡得，即解得或（舍去），經檢驗只能，所以的周長為.19.在中，求的最大值的取等條件.【答案】，【解析】【分析】先分析得最大，再利用和差化積公式得到，再利用換元法構造函數，，結合導數研究得最大值，從而得解.【詳解】顯然要使取最大值，則最大，所以，都為銳角，，，由于，所以，則，當時，取等號；令，，構造函數，，所以，令，解得：或(舍去)，因為，所以，且，當時，，在單調遞增；時，，在單調遞減；所以當