2021-2022學年重慶市萬州第二高級中學高二上學期期末（B卷）數

學試題

一、單選題

1.已知橢圓長+5=1的一個焦點坐標為（°，2），則氏的值為（）

A.1B.3C.9D.81

答案：A

根據條件，利用橢圓標準方程中長半軸長短半軸長從半焦距c的關系列式計算即得.

由橢圓出+方=1的一個焦點坐標為（0,2）,則半焦距c=2,

于是得。+2）+22=7,解得上=1,

所以女的值為1.

故選：A

2.在等差數列｛七｝中，5“為前”項和，2%=%+5,則配=

A.55B.11C.50D.60

答案：A

由2%=%+5,%=5，S”=（%+；"）11=］以=55.

故選：A.

3.“a=-1”是"直線X+ay+6=0和直線（a—2）x+3y+2。=0平行”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：C

根據題意，若h〃b,則有lx3=ax（a-2）,解得a=-l或3,當a=-l時，，直線h：x-y+6=0,其斜率

為1,直線12：-3x+3y-2=0,其斜率為1,即h與12不重合，則h〃12,

當a=3時,直線h：x+3y+6=0,直線L：x+3y+6=0,h與I2重合，此時h與L不平行，

所以h〃120a=—1,即“。=-1”是“直線x+〃y+6=0和直線（a-2）x+3y+2a=0平行”的充要條件

故選：C.

4.如圖，E為正方體的棱4A上一點，且%=）,/為棱4）上一點，且NGEF=90。，則A尸：尸。=

AAJ

()

A.2:7B.2:6C.1:3D.2:5

答案：A

以。為坐標原點，射線OA,DC,。。的方向分別為元軸，丁軸，z軸正方向建立空間直角坐標系,

設正方體棱長為2“，分別求得取=(2”,-2凡-|’，麗=(x-2a,0,-f,然后根據

ZC,￡F=90°,由麻.甌=0求解.

如下圖，以O為坐標原點，射線D4,DC,。。的方向分別為*軸，＞軸，z軸正方向建立空間直

角坐標系，

設正方體棱長為2a,則￡(2。,0悔，，G(0,2a,2a),尸(x,0,0),

/.C、E=(2a,-24,-ga),EF-,

,?ZC,EF=90°,

AQEA.EF,即醞喬=0,

8,

**?-2a)+=0,

14

解得工=本-〃，

9

14144

：.FD=—aAF=2a——a=-a,

9999

:.AF:FD=2:7.

故選：A

本題主要考查空間向量垂直的坐標運算，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于基礎題.

5.設等比數列｛%｝的前及項和為S,,,若兒：5$=1:2,則胃內()

7997

A.-B.C.-D.--

2222

答案：B

根據題意，可知$°=；S5,設等比數列｛%｝的首項為卬，公比/可知qfl,由S“,：Ss=l：2并根

據等比數列的前〃項和公式得出進而得出&5=；邑，從而可求出5:，5的結果.

$10$5

解：由題可知，幾：$5=1:2,則&=gs5，

設等比數列｛q｝的首項為6,公比4,可知qwl,

因為卜「5、-；%-1+八；，所以八-；，

Ss4(1-4)1-q22

l-q

MY),y.f_iY

則九一1-4一[2)一3

則《一互))]_川-4，

3

所以幾=廣5，

139

Ss+兀+S”S5+2S5+4S5J=9

故q_q11

D

io052%—5S-S——2%S乙

故選：B.

6.在直三棱柱ABC—A4G中，AB=AC=AAi=lfABVAC，點E為棱A4的中點，則點G到

平面HEC的距離等于

A.|B.—C.邁

D.1

223

答案：C

根據三棱錐等體積法得到：三棱錐匕/由幾何圖形的特點分別

求出相應的底面積和高，代入上式得到距離.

連接CE,設點G到平面瓦EC的距離為d,

根據三棱錐等體積法得到：三棱錐SB,CCJh

A8=AC=1,在由AB_LAC,得至l18C=&，三角形B<G面積為gCG=；xlx&,點4到Bg的

距離即棱錐E-ACG的高為/?=_LBG=Y2；三角形4EC,B、E=CE=旦,4c=6,則三角形

222

的高為卜時-（竿J=冬面積為:X氐當,

根據等體積公式代入得到-3=%1cG=泊（/，

a=——.

3

故答案為C.

本題涉及到點面距離的求法，點面距可以通過尋找面面垂直，再直接過點做交線的垂線即可;當點

面距離不好求時，還可以等體積轉化.

7.在我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述：今有良馬與弩馬發長安至齊，齊去長

安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；鴛馬初日行九十七里，日減半里：良

馬先至齊，復還迎鴛馬，二馬相逢.問相逢時弩馬行（）日？

A.8B.9C.10D.II

答案：B

結合等差數列，將良馬和鴛馬日行里程表示為等差數列，結合等差數列前“項和即可求解.

由題，不妨設q=103,4=13,貝lJS,,=103"+￡"（"-l）,偽=97,4=-；,?；=97〃一與力，令S,+%=2250,

即/+31〃-360=0,解得〃=YO（舍去）或”=9,故9日相逢.

故選：B

8.己知雙曲線心,卓=1（">°8>°）的左、右焦點分別為尸2,點P在雙曲線C的右支上，過工

作與。尸（點0為坐標原點）垂直的直線交線段可尸于點“，若滿足1KMi=2|MP|=與，則該雙曲線的

離心率為（）

A.0B.2C.亞D.20

答案：B

根據題意作出圖形，然后根據平面幾何性質得到內。的關系，進而求出離心率.

解析過點。作。片//鳥”，交KP于點E,設0P與6M的交點為N.

因為|O娟=|。國，所以但周=|目0|=四尸|=3，所以M為叱的中點，

從而N為。戶的中點，鳥”是線段0P的中垂線，從而歸閭=|。閭=，，則

\PFt\=4a=c+2a,所以c=2a,離心率為2.

故選：B.

二、多選題

9.直線a的方向向量為Z，平面a,4的法向量分別為入m，則下列命題為真命題的是（）

A.若2_LG,則直線a〃平面a；

B.若加后，則直線aJ■平面a；

C.若cosGW）=g，則直線a與平面a所成角的大小為2；

D.若cos（而則平面a,夕的夾角為

答案：BCD

【解析】根據直線的方向向量與平面法向量之間的關系，逐一判斷線面、面面關系即可得結論.

若￡，/；,則直線a〃平面a或在平面a內，故選項A不正確；

若蘇啟，貝丘也是平面a的一個法向量，所以直線aL平面a；故選項B正確;

直線與平面夾角的正弦值等于直線與平面法向量夾角的余弦值的絕對值，所以若cos,,同=g,則

直線“與平面a所成角的大小為故選項C正確；

兩個平面夾角與他們法向量所成的不大于90的角相等，故選項D正確，

故選：BCD

10.已知數列也｝的前〃項和為S“，6=1,%=2,且+a?=0（〃eN*）.記

…則下列說法正確的是（）

M52s“

A.｛%｝為等差數列B.a?=n+\

答案：ACD

由4+2-2a,用+q=0可得數列｛凡｝為等差數列，進而求得a”,S“，由裂項求和法可求，.

由限-2a?tl+a?=0變形得an+2-an+]=a?+1-an,即｛4｝為等差數列,

因為q=l,4=2,所以4,=〃，邑=&誓

2n

所以7；=—+—+?+—=

4J，n+\

故ACD正確.

故選：ACD

11.己知直線/：（G"?+l卜-叼-1=0,圓C：Y+V=4X,則下列結論正確的是（）

A.直線/與圓C恒有兩個公共點

B.當〃?=-立時，直線/與圓C相切

2

C.存在一個加值，使直線/經過圓心C

D.若直線/與圓C相交的弦長為26，則機=-走

4

答案：BC

根據直線/方程求出直線/過定點（1,右），而定點（1，石）在圓C：V+y2=4x上，從而可判斷直線/

與圓C的位置關系，即可判斷A選項；當機=_#時，設圓心C（2,o）到直線/：-lx+^y-1=0

的距離為d,利用點到直線的距離公式求出d,并與「比較，即可得出直線/與圓C的位置關系,

即可判斷B選項；將圓心C（2,0）代入直線/的方程求出〃?的值，即可判斷C選項；由直線/與圓C

相交的弦長為2g,根據直線與圓的弦長公式求出d=l,再利用點到直線的距離公式求出d,進

而可求出機的值，即可判斷D選項.

解：由于直線/：+即（JIr-y）機+工一1=0,

令￡;二;°'解得：則直線/過定點（1,石），

而定點（1,6）在圓C：J+y2=4x上，

所以直線/與圓C有1個或2個公共點，故A錯誤；

當機=一立B寸，直線/：-~x+—y-\=O,

222'

而圓C：x2+y2=4x,即（x-2『+y2=4,可知圓心C（2,0）,半徑r=2,

X2+0-1

設圓心C（2,0）到直線/的距離為d,則"=

73

所以直線/與圓C相切，故B正確;

若直線/：（6〃+1卜-妝-1=0經過圓心。（2,0）,

x2-m-0-l=0,解得：機=_走

6

所以存在一個加值，使直線/經過圓心C,故C正確;

若直線/與圓C相交的弦長為26，

設圓心C（2,0）到直線/：（6m+l）x-"?y-l=0的距離為4,

則2,產一加=2百，即2,4一解=2G＞解得：d=l,

X2-0-1

而"=

\j4rn2+2石機+1

解得:加=0或"?=——-,故D錯誤.

故選：BC.

12.已知點P，,；），O為坐標原點，A,B為曲線C上的兩點，F為其焦點.下列說法正

確的是（）

A.點F的坐標為（g,0

B.△PAG周長的最小值為9+5

8

C.若P為線段4B的中點，則直線AB的斜率為-2

D.若直線4B過點F,且|「。|是|A目與忸目等比中項，則|A8|=10

答案：BD

由曲線方程可判斷A,利用拋物線的定義可判斷B,利用點差法可判斷C,利用焦點弦公式及韋達

定理可判斷D.

由曲線C：則焦點為噌0）,故A錯誤；

由曲線C：y2=^-x,可知其準線為/：X=-：,設A到準線的距離為“，則d=|AF|,

28

所以△必產周長為|PF|+|B4|+d,當PAJJ時，|玄|+"取得最小值=ARA尸周長取得

的最小值為\=怨區，故B正確;

若尸為線段48的中點，設4（1%）,8（4,為），則=；》4，靖=gxp,%+）l=1,

所以心%2=卜-9，所以加=W=屐而6,故C錯誤；

若直線A3過點F,且忙。|是|A耳與忸目等比中項，則|A百忸F|=|PO「

設A（X1,y）,8（X2，%）,則|M=X|+J，|陰=々+：,

OO

.?.1+{|卜+{|"31+動+專號

設=代入>2=gx,得％意=0,所以占匕=1，

；.」+：（%+工2）+47=[，即%+工2=孚，???|4川=玉+%2+!=孚+!=10,故D正確.

64864441444

故選：BD.

三、填空題

13.已知數列｛。,,｝的前”項和為S,,,且S“=”2,則4+4>+40=.

答案：51

根據題意，可知當”=1時，卬=￡=1,當“22時，根據a“=S“-S,i求出a”

,再檢驗〃=1,從而得出通項公式％,即可求出4+%+%）的結果.

解：由題可知，當”=1時，4=S1=1,

22

當“22時，an=S?=/?-（n-1）=2n-\,

可知〃=1時上式成立，所以%=2〃-1（〃21）,

則“8=15,%=17,4（）=19,

所以4+%+%o=15+17+19=51.

故答案為：51.

14.已知空間向量:二（1,0,1）,萬=（2,-1,2）,則向量￡在向量坂上的投影向量的坐標是.

答案：與堂）

根據投影向量的計算公式，計算出正確答案.

abb4（2,-1,2）<848]

=，-,

向量分在向量坂上的投影向量的坐標是下=§---3-|<999/

故答案為：自（8，一4.，以8、

22

15.已知雙曲線C:；■-與■=1（4>0,/?>0）,直線/:y=-\/5工+Jia與。的右支分別交于點A、

a~b~

B,與y軸交于點".若麗=-2麗，則c的漸近線方程為.

答案：y=±-^-x

2

利用三角形相似求出點3的坐標，代入雙曲線方程可得〃力的關系，由此可得漸近線方程.

本題考查雙曲線方程與幾何性質.如圖，作軸，垂足為。，直線y="（x-。）過A（a,0）,

即過C的右頂點，直線/的傾斜角為夸，則NMAO=NBAO=(,在中，|。4|=。，則

\AM\^2a,\OM\^y/3a,又因為|A邳=2|AM|,△M4O?△BAD,所以|明=2a,忸4=2區,

則B(3a,-26a),所以/-竽=1,解得則C的漸近線方程為y=士*x.

故答案為：y=+^-x

2

四、雙空題

16.如圖所示的平行六面體ABC￡)-AB|GR中，已知A8=A4(=A。，ZBAD=^DAA,=60°,

ZBA4,=30°,N為AR上一點，且AN=/L4Q1.若8OL4V,則4的值為_；若M為棱。R的中

點，3"http://平面48以，則，的值為_.

答案：\/3-1-

【解析】①BD1AN,不妨取AB=AA,=AD=],利用

BD.AN=(AD-AB).(A^+AAD)=AD?AA^+2AD.AD-麗?麗-AAD^AB=0,即可得出4.

②連接A3與A片交于點E.連接AM,交AN于點F,連接￡尸.BM//平面AB^N,可得

HM//EF.根據E點為4田的中點，可得尸點為A例的中點.延長AN交線段。。的延長線于點

P.利用平行線的性質即可得出.

解：?BD±AN,不妨取4B=AA=A/)=1,

BD.AN=(AD-AB)?(AA^+AAD)=AD-X\+AAD?AD-通.鬲'-AAD?AB=cos600+2-cos300-Acos60°=1--+^2=0

A=>/3—1.

②連接AB,與AB1交于點E.連接AM,交.AN于點、F,連接EF.

?.?^///平面4與汽,，.〃".

?.?￡點為AB的中點，.?.廠點為AM的中點.

延長AN交線段DD,的延長線于點p.

rAAJIDD、,"=FM.

:.AAi=MP=2D,P.

,到=空=2

"ND,D、P，

而爸而.

則彳=(2.

故答案為：6-1,—.

本題考查了向量三角形法則、數量積運算性質、平行線的性質、線面平行的性質定理，考查了推理

能力與計算能力，屬于中檔題.

五、解答題

17.已知數列｛4｝是公差為2的等差數列，其前”項和為S“，4，%,生成等比數列.

(D求數列｛《,｝的通項公式；

s

(2)令數列2=與，它的前〃項和為，，求7“的最小值.

n

答案：⑴，=2〃-11

(2)-45

(1)根據q,%,4成等比數列，求得％,從而可得答案；

(2)利用等差數列前"項和公式求得5“，從而可求得么,，再根據等差數列前〃項和的函數性質即

可得解.

(1)

解：因為4，4，死成等比數列，

所以即(q+6)2=4(q+8),解得q=-9,

所以=2〃-11；

(2)

..(-9+2〃-11)〃/、

解T：S?=-----------=n(n-10),

則2=一4=19,

n

E(-9+rt-10)n1/,2\

則Tn=--------乙=-(?-19/7),

所以當〃=9或10時?，刀,取最小值-45,

所以7“的最小值為-45.

18.已知直線/：kx-y+\+2k=0(keR).

(1)已知尸(1,5),若點P到直線的距離為"，求”最大時直線的方程.

(2)若直線/交x軸負半軸于點4,交y軸正半軸于點B,求AAQB面積的最小值.

答案：⑴3x+4y+2=0

(2)4

(1)將直線化成點斜式，由垂直關系可求出左值，進而得解；

(2)由直線方程分別求出A8,表示出具.3，結合基本不等式可求“108面積的最小值.

(1)

由依-y+l+2Z=0變形得y=A:(x+2)+l,則設直線過用要使點到直線距離最大，則滿足

4333

kk=-\kMp=<貝|左=一:，直線方程為一?x_y+]_=0,即3x+4y+2=0；

MP93447：2；

(2)

由題知,k>0,…(x+2)+。令x=0得『二]",即3(0,24+1),令y=o得x=_：-2,即

則%'8=4《+2)(2左+1)=((4+生+4?.(4+24)=4,當且僅當時等號成

立，故1,”陽的最小值為4.

19.已知焦點在)'軸上的拋物線過P(2,2)

(1)求拋物線的標準方程及準線方程；

(2)已知直線/:)，=X+6(6H0)與拋物線交于點A,B,若以A8為直徑的圓過原點。，求直線/的方

程.

答案：⑴f=2y；》=-；；

(2)y=%+2

(1)根據題意可設拋物線的方程為代入點尸(2,2)求得參數值，即可得出答案；

(2)設冬.乂),磯々,％),聯立利用韋達定理求得用+*2，*/，根據以AB為直徑的

圓過原點。，可得。4LC?,則西.麗=0,求得參數6,即可得解.

(1)

解：根據題意可設拋物線的方程為x2=2py(p>0),

代入點P(2,2)得4=4小解得°=1,

所以拋物線的標準方程f=2y,

準線方程為y=-；；

(2)

解:設A(X|，x),5(毛,%),

2=2v

聯立<x」消>得：x2-2x-2b=0,

y=X+b

△=4+8b>0,則方>一,，

2

x}+x2=2,x}x2=-2b,

因為以A3為直徑的圓過原點0,

所以Q4_LO8,則次.麗=0,

即中2+乂％=°，

1

即x,x,+(%+/?)(x,+6)=2為W+/?(%,+x2)+b=0,

所以4-從=0,解得匕=±2,

又b>—g,所以b=2,

所以直線/的方程為y=*+2.

20.1.如圖所示，已知平行四邊形ABC￡>中，45=2,CD=41,ZAOC=45°,AE±BC,垂足

為E,沿直線AE將AS4￡翻折成AB'A￡,使得平面現4E_L平面AEC3；連接用。，尸是上的

點.

(1)當笈「=田時，求證：CP_L平面A3'。；

(2)當8尸=2尸。時，求二面角P-AC-3'的余弦值.

答案：(1)證明見解析

⑵原

'J33

(1)由面面垂直可直接建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量，證明向量垂直即可;

(2)通過建立空間直角坐標系，分別求出其法向量，代入公式即可.

(1)

AELBC,平面B'AE_L平面AECD,：.B'E_L平面AECD,

以E為原點，EC為x軸，E4為y軸，E3'為z軸，建立空間直角坐標系,

B'

E（o）

則4(0,1,0),9(0,0,1),C(l,0,0),0(2,1,0),￡(0,0,0),

府=(0,-1,1),AD=(2,0,0),CP=(0,^3

VCPAB7=-1+1=0,CPAD=0,

：.CPA-AB',CPLAD.

又，CPJ_平面8'AD.

⑵

設P(x,y,z),則坪=(x,y,z-l),PD=(2-x,\-y,-z)

x=4-2x

由前=2而得：Jy=2-2y,解得x=54，y=52，z=§1

z-l=-2z

唁咎],麗=信,-*],/=(1,-1,0).

1333J(333)

萬麗=乞」+兔=0

設面PAC的法向量為“=(%,%,z，，則｛_333.

n-AC=X]-*=0

取X|=x=1,Z1=-3,則5=(1,1,-3),

設平面AC9的法向量為正=(入2，〉2*2),

tn-AB'=—y,+2,=0一

則｛_____,取七=1，平面ACB'的法向量為m=(1,1,1),

tn-AC=x2—y2=0

由題可知，二面角尸-4。-？為銳二面角，

局國1-11J33

設二面角P-AC-B'的大小為。，則cos6=同用=c拒=.

所以cos0=整3.

33

21.數列｛凡｝和｛■｝滿足:4=4=1,%=q川-an9%=3bn.

⑴求數列｛q｝,也｝的通項公式；

⑵若%=2?log?（2%+1）求數列｛%｝的前八項和.

答案：（l）a“=U，2=3”T

⑵伽-1）3+1

4

（1）由2*1=32易求｛〃,｝的通項公式，再結合2M=4川-4,,由累加法可求｛%｝的通項公式；

（2）化簡得c"=”-3"T,結合錯位相減法可求｛c,,｝的前”項和.

（1）

由題可知，4=々=1,偽=%-4也=3么，所以低｝為等比數列，4=1,4=3,〃,=3"T,由

aa1

b“H=tt+i~n可得%=an—a,,.,=3",

2

a?~a?.｝=3"-',a?_t-a?_2=3"-,--；a2-at=3',

邛一RV—1

累加得4-q=3、32+L3,T=F上，即可=不一,

所以q=亨，d=3*

⑵

（3n-1、

,,

c?=/>?-log3（2a?+l）=3--log32-^—+1=〃.3"\設｛%｝的前〃項和為S“，

I乙）

S“=L3°+2?3'+3?32+…〃Ji

niii”

,2n,/,

3Sn=l-3+2-3+...（H-l）-3-+n-3,

兩式作差得-2S“=1?30+1?31+…+1?化簡得S“=（2"手'+1'

故｛%｝的前"項和為（2":3"+l.

22.已知橢圓氏W+￡=l（a＞匕＞0）的離心率為且，橢圓E的長軸長為2遍.

ab~3

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)設A(0,-1),3(0,2),過A且斜率為尢的動直線