2．4圓的方程【知識點梳理】知識點一：圓的標準方程，其中為圓心，為半徑．知識點詮釋：（1）如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是．有關圖形特征與方程的轉化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標軸相切時：；過原點：（2）圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現了圓的幾何特點．（3）標準方程的優點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數法．知識點二：點和圓的位置關系如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內知識點三：圓的一般方程當時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點詮釋：由方程得（1）當時，方程只有實數解．它表示一個點．（2）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形．（3）當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識點四：用待定系數法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數法”．用“待定系數法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據題意，選擇標準方程或一般方程．（2）根據已知條件，建立關于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程．知識點五：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量之間的方程．1．當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關點法）．2．求軌跡方程時，一要區分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當的直角坐標系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．【題型歸納目錄】題型一：圓的標準方程題型二：圓的一般方程題型三：點與圓的位置關系題型四：二元二次曲線與圓的關系題型五：圓過定點問題題型六：軌跡問題【典型例題】題型一：圓的標準方程例1．(2023·重慶南開中學高一期末）與直線切于點，且經過點的圓的方程為（

）A． B．C． D．例2．(2023·全國·高三專題練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8例3．(2023·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．例4．（多選題）(2023·全國·高二課時練習）圓上的點（2，1）關于直線x＋y＝0的對稱點仍在圓上，且圓的半徑為，則圓的方程可能是（

）A． B．C． D．例5．(2023·全國·高二專題練習）過點，且圓心在直線上的圓的方程為_______．例6．(2023·全國·高二課時練習）圓心在直線y＝x上且與x軸相切于點的圓的方程是______．例7．(2023·江蘇·高二）已知，則以為直徑的圓的方程為________．例8．(2023·天津·二模）過點，且與直線相切于點的圓的方程為__________．例9．(2023·江蘇·高二）圓關于直線的對稱圓的標準方程為_______．例10．(2023·全國·高三專題練習）圓心在直線y＝－2x上，并且經過點，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______．，例11．(2023·全國·高二課時練習）已知圓過點，．（1）求圓心所在直線的方程；（2）求周長最小的圓的標準方程；（3）求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的標準方程；（4）若圓心的縱坐標為2，求圓的標準方程．例12．(2023·江蘇·高二專題練習）求下列圓的方程（1）若圓的半徑為，其圓心與點關于直線對稱，求圓的標準方程；（2）過點的圓與直線相切于點，求圓的標準方程．【方法技巧與總結】確定圓的方程的主要方法是待定系數法，即列出關于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心和半徑r，一般步驟為：（1）根據題意，設所求的圓的標準方程為；（2）根據已知條件，建立關于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程．題型二：圓的一般方程例13．(2023·全國·高二課時練習）已知一個等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點的坐標分別是?，求它的外接圓的方程．例14．(2023·全國·高二課時練習）與圓同圓心，且過點的圓的方程是（

）A． B．C． D．例15．(2023·全國·高三專題練習）若圓的弦MN的中點為，則直線MN的方程是（

）A． B． C． D．例16．(2023·全國·高考真題（文））過四點中的三點的一個圓的方程為____________．例17．(2023·全國·高二課時練習）已知圓C經過兩點，，且圓心在直線上，則圓C的一般方程為__________．【方法技巧與總結】（1）若一個圓可用一般方程表示，則它具備隱含條件，解題時，應充分利用這一隱含條件．（2）一般地，當給出了圓上的三點坐標，特別是當這三點的橫坐標和橫坐標之間、縱坐標和縱坐標之間均不相同時，選用圓的一般方程比選用圓的標準方程簡捷；而在其他情況下的首選應該是圓的標準方程，此時要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯系的可用條件．題型三：點與圓的位置關系例18．(2023·全國·高二課時練習）若點（1，1）在圓的外部，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例19．(2023·河南·油田一中高二階段練習（文））已知點在圓的外部，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【方法技巧與總結】如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內題型四：二元二次曲線與圓的關系例20．(2023·全國·高一）畫出方程表示的曲線．例21．(2023·全國·高二課時練習）已知方程表示一個圓．（1）求實數m的取值范圍；（2）求圓的周長的最大值．例22．(2023·全國·高二課時練習）已知圓N的標準方程為．（1）若點M（6，9）在圓N上，求半徑a；（2）若點P（3，3）與Q（5，3）有一點在圓N內，另一點在圓N外，求實數a的取值范圍．例23．（多選題）(2023·江蘇·高二專題練習）方程（，不全為零），下列說法中正確的是（

）A．當時為圓B．當時不可能為直線C．當方程為圓時，，滿足D．當方程為直線時，直線方程例24．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）關于曲線：，下列說法正確的是（

）A．曲線圍成圖形的面積為B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形D．曲線是以為圓心，為半徑的圓例25．(2023·江蘇·高二）方程表示圓，則的取值范圍為______．例26．(2023·山東濟寧·高二期中）若某圓的方程為，則a的值為______．例27．(2023·全國·高三專題練習）已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】待定系數法題型五：圓過定點問題例28．(2023·全國·高三專題練習）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和例29．(2023·全國·高二課時練習）已知方程表示的曲線恒過第三象限內的一個定點，若點又在直線：上，則（）A．1 B．2 C．3 D．4例30．(2023·全國·高三專題練習）判別方程（k為參數，）表示何種曲線?找出通過定點的坐標．例31．(2023·全國·高三專題練習）求證：對任意實數，動圓恒過兩定點．例32．(2023·全國·高二專題練習）已知動圓經過坐標原點，且圓心在直線上．（1）求半徑最小時的圓的方程；（2）求證：動圓恒過一個異于點的定點．例33．(2023·全國·高二專題練習）已知點和以為圓心的圓．（1）求證：圓心在過點的定直線上，（2）當為何值時，以為直徑的圓過原點．【方法技巧與總結】合并參數，另參數的系數為零解方程即可．題型六：軌跡問題例34．(2023·全國·高二課時練習）已知點，，動點滿足，則點P的軌跡為___________．，例35．(2023·全國·高二期中）當點A在曲線上運動時，連接A與定點，則AB的中點P的軌跡方程為______．例36．(2023·廣東·東莞市東方明珠學校高一期中）圓內有一點，設過點的弦的中點為，則點的軌跡方程為______．例37．(2023·全國·高三專題練習）已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動．（1）求線段AB的中點P的軌跡的方程；（2）設圓與曲線的兩交點為M，N，求線段MN的長；（3）若點C在曲線上運動，點Q在x軸上運動，求的最小值．例38．(2023·全國·高三專題練習）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例39．(2023·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于（

）A． B． C． D．例40．(2023·全國·高二單元測試）已知點，圓，過點的動直線與圓交于兩點，線段的中點為，為坐標原點．（1）求的軌跡方程；（2）當時，求l的方程及的面積例41．(2023·全國·高三專題練習）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點．求點的軌跡方程；例42．(2023·全國·高三專題練習）已知圓，平面上一動點滿足：且，．求動點的軌跡方程；例43．(2023·全國·高二課時練習）在①過點，②圓E恒被直線平分，③與y軸相切這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知圓E經過點，且______．（1）求圓E的一般方程；（2）設P是圓E上的動點，求線段AP的中點M的軌跡方程．例44．(2023·江蘇·高二）已知圓過三個點．（1）求圓的方程；（2）過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段的中點的軌跡．例45．(2023·全國·高二課時練習）已知A，B是平面內的兩點，且，用坐標法判斷平面內滿足下列條件的動點P是否存在．如果存在，求出軌跡方程；如果不存在，說明理由．（1）；（2）．例46．(2023·全國·高二課時練習）已知點和點，以為斜邊，求直角頂點A的軌跡方程．例47．(2023·西藏·拉薩中學高一期中）已知圓上的一定點，點為圓內一點，，為圓上的動點．（1）求線段中點的軌跡方程；（2）若，求線段中點的軌跡方程．例48．(2023·全國·高一課時練習）設定點，動點在圓上運動，以，（為坐標原點）為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程．例49．(2023·北京十五中高二期中）已知圓，則圓C的坐標為____，圓C的半徑為_______．【方法技巧與總結】用直接法求曲線方程的步驟如下：（1）建系設點：建立適當的直角坐標系，設曲線上任一點坐標為；（2）幾何點集：寫出滿足題設的點的集合；（3）翻譯列式：將幾何條件用坐標、表示，寫出方程；（4）化簡方程：通過同解變形化簡方程；（5）查漏除雜：驗證方程表示的曲線是否為已知的曲線，重點檢查方程表示的曲線是否有多余的點，曲線上是否有遺漏的點．求軌跡時常用的方法：代入法對于“雙動點”問題，即若已知一動點在某條曲線上運動而求另一動點的軌跡方程時，通常用這一方法．代入法是先設所求軌跡的動點坐標為，在已知曲線上運動的點的坐標為，用，表示，，即，，并將它代入到已知曲線方程，即求出所求動點的軌跡方程．一般情況下，證明可以省略不寫，如有特殊情況，可適當予以說明，即扣除不合題意的解或補上失去的解．【同步練習】一．單選題1．若圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為A． B． C． D．2．過點且與直線相切的半徑最小的圓方程是A． B． C． D．3．已知點在圓的外部，則的取值范圍是A．， B．，， C．，， D．，，4．設甲：實數；乙：方程是圓，則甲是乙的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知圓方程的圓心為A． B． C． D．6．某圓經過，兩點，圓心在直線上，則該圓的標準方程為A． B． C． D．7．已知直線，，若圓的圓心在軸上，且圓與、都相切，則圓的半徑為A． B． C．或 D．或8．德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點、是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當的外接圓與邊相切于點時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點．的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點，當最大時，點的橫坐標為A．1 B． C． D．2二．多選題9．已知圓的方程是，則下列坐標表示點在圓外的有A． B． C． D．10．若方程表示以為圓心，4為半徑的圓，則下列結論正確的是A． B．圓關于直線對稱 C．圓與軸相切 D．的最大值為911．已知圓在曲線的內部，則實數的值可以是A．0 B．1 C．2 D．312．已知的三個頂點坐標分別為，，，以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則該圓的方程為A． B． C． D．三．填空題13．設點在直線上，點和均在上，則的方程為．14．過點，且與直線相切于點的圓的方程為．15．如圖，點，，那么在軸正半軸上存在點，使得最大，這就是著名的米勒問題．那么當取得最大時，外接圓的標準方程是．16．已知點、，過、作兩條互相垂直的直線和，則和的交點的軌跡方程為．（化為標準形式）四．解答題17．已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若，點是圓上的動點，求線段中點的軌跡方程，并說明表示什么曲線．18．已知圓經過點，，．（1）求圓的方程；（2）求直線截圓所得兩段弧長之比．19．求滿足下列條件的圓的方程：（1）經過點，，圓心在軸上；（2）經過直線與的交點，圓心為點．20．1765年瑞士數學家萊昂哈德歐拉在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出著名的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心位于同一直線上（這條直線稱之為三角形的歐拉線），而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．已知中，，，的歐拉線方程為．（1）求外接圓的標準方程；（2）求點到直線的距離．注：重心是三角形三條中線的交點，若的頂點為，，，，，，則的重心是．21．已知方程．（1）若此方程表示圓，求實數的取值范圍；（2）若的值為（1）中能取到的最大整數，則得到的圓設為圓，若圓與圓關于軸對稱，求圓的一般方程．22．設圓的圓心在軸的正半軸上，與軸相交于點，且直線被圓截得的弦長為．（1）求圓的標準方程；（2）設直線與圓交于，兩點，那么以為直徑的圓能否經過原點，若能，請求出直線的方程；若不能，請說明理由．2．4圓的方程【知識點梳理】知識點一：圓的標準方程，其中為圓心，為半徑．知識點詮釋：（1）如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是．有關圖形特征與方程的轉化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標軸相切時：；過原點：（2）圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現了圓的幾何特點．（3）標準方程的優點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數法．知識點二：點和圓的位置關系如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內知識點三：圓的一般方程當時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點詮釋：由方程得（1）當時，方程只有實數解．它表示一個點．（2）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形．（3）當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識點四：用待定系數法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數法”．用“待定系數法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據題意，選擇標準方程或一般方程．（2）根據已知條件，建立關于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程．知識點五：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量之間的方程．1．當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關點法）．2．求軌跡方程時，一要區分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當的直角坐標系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．【題型歸納目錄】題型一：圓的標準方程題型二：圓的一般方程題型三：點與圓的位置關系題型四：二元二次曲線與圓的關系題型五：圓過定點問題題型六：軌跡問題【典型例題】題型一：圓的標準方程例1．(2023·重慶南開中學高一期末）與直線切于點，且經過點的圓的方程為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】設圓的方程為，根據題意可得，解得，所以該圓的方程為．故選：D．例2．(2023·全國·高三專題練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8答案：B【解析】圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，∴，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為9．故選：B．例3．(2023·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．例4．（多選題）(2023·全國·高二課時練習）圓上的點（2，1）關于直線x＋y＝0的對稱點仍在圓上，且圓的半徑為，則圓的方程可能是（

）A． B．C． D．答案：AD【解析】由題意可知圓心在直線x＋y＝0上，設圓心坐標為（a，－a），則，解得a＝0或a＝1，∴所求圓的方程為或，故選：AD．例5．(2023·全國·高二專題練習）過點，且圓心在直線上的圓的方程為_______．答案：【解析】設圓的標準方程為，因為圓過點，且圓心在直線上，則有，解得，所以所求圓的方程為．故答案為：．例6．(2023·全國·高二課時練習）圓心在直線y＝x上且與x軸相切于點的圓的方程是______．答案：【解析】設圓的圓心，半徑為，由條件可知，所以圓的方程是．故答案為：例7．(2023·江蘇·高二）已知，則以為直徑的圓的方程為________．答案：【解析】因為，所以線段PQ的中點為（0，0），，所以以為直徑的圓的方程為，故答案為：例8．(2023·天津·二模）過點，且與直線相切于點的圓的方程為__________．答案：【解析】設圓的標準方程為，因為圓與直線相切于點，可得過點與直線垂直的直線方程為，又由，可得線段的垂直平分線的方程，聯立方程組，解得，即圓心坐標為，又由，即圓的半徑為，所以圓的方程為．故答案為：．例9．(2023·江蘇·高二）圓關于直線的對稱圓的標準方程為_______．答案：【解析】圓的標準方程為，圓心（2，2），半徑為2，圓心（2，2）關于直線的對稱點為原點，所以所求對稱圓的標準方程為，故答案為：例10．(2023·全國·高三專題練習）圓心在直線y＝－2x上，并且經過點，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______．答案：【解析】因為所求圓的圓心在直線y＝－2x上，所以可設圓心為，半徑為，由題意知，，又圓C與直線x＋y＝1相切，由點到直線的距離公式可得，，所以，解得，，所以所求圓C的方程為．故答案為：例11．(2023·全國·高二課時練習）已知圓過點，．（1）求圓心所在直線的方程；（2）求周長最小的圓的標準方程；（3）求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的標準方程；（4）若圓心的縱坐標為2，求圓的標準方程．【解析】（1）由題意可知線段AB的中點坐標是，∵直線AB的斜率，且圓心在線段AB的垂直平分線上，∴圓心所在直線的方程為，即x－3y＋3＝0．（2）當線段AB為圓的直徑時，過點A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段AB的中點（0，1），半徑為．則所求圓的標準方程為．（3）由（1）可知，圓心所在直線的方程為，又∵圓心也在直線2x－y－4＝0上，∴圓心是這兩條直線的交點，∴，解得，即圓心的坐標是（3，2），∴半徑，∴所求圓的標準方程是．（4）設圓心的坐標為（m，2），由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，∴圓的半徑，∴所求圓的標準方程為．例12．(2023·江蘇·高二專題練習）求下列圓的方程（1）若圓的半徑為，其圓心與點關于直線對稱，求圓的標準方程；（2）過點的圓與直線相切于點，求圓的標準方程．【解析】（1）點關于直線對稱的點為，圓是以為圓心，為半徑的圓，圓的標準方程為．（2）兩點在圓上，圓的圓心在垂直平分線上；，中點為，的垂直平分線方程為；直線與圓相切于點，直線與直線垂直，，直線方程為：，即；由得：，圓心，半徑，圓的標準方程為．【方法技巧與總結】確定圓的方程的主要方法是待定系數法，即列出關于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心和半徑r，一般步驟為：（1）根據題意，設所求的圓的標準方程為；（2）根據已知條件，建立關于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程．題型二：圓的一般方程例13．(2023·全國·高二課時練習）已知一個等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點的坐標分別是?，求它的外接圓的方程．【解析】由題意得，等腰三角形頂點的坐標為或．當頂點坐標為時，設三角形外接圓的方程為，則解得所以圓的方程為．當頂點坐標是時，同理可得圓的方程為．綜上，它的外接圓的方程為或．例14．(2023·全國·高二課時練習）與圓同圓心，且過點的圓的方程是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】依題意，設所求圓的方程為，由于所求圓過點，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：B例15．(2023·全國·高三專題練習）若圓的弦MN的中點為，則直線MN的方程是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由圓方程可知圓心，則，由題可知，所以，又MN過點，根據點斜式公式可知直線MN的方程是．故選：B．例16．(2023·全國·高考真題（文））過四點中的三點的一個圓的方程為____________．答案：或或或；【解析】依題意設圓的方程為，若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；例17．(2023·全國·高二課時練習）已知圓C經過兩點，，且圓心在直線上，則圓C的一般方程為__________．答案：【解析】設圓C的一般方程為，由題意可得，解得，即圓C的一般方程為．【方法技巧與總結】（1）若一個圓可用一般方程表示，則它具備隱含條件，解題時，應充分利用這一隱含條件．（2）一般地，當給出了圓上的三點坐標，特別是當這三點的橫坐標和橫坐標之間、縱坐標和縱坐標之間均不相同時，選用圓的一般方程比選用圓的標準方程簡捷；而在其他情況下的首選應該是圓的標準方程，此時要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯系的可用條件．題型三：點與圓的位置關系例18．(2023·全國·高二課時練習）若點（1，1）在圓的外部，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由題意可知，解得或a＞3，則實數a的取值范圍是，故選：C．例19．(2023·河南·油田一中高二階段練習（文））已知點在圓的外部，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D【解析】由點在圓外知，即，解得，又為圓，則，解得，故．故選：D．【方法技巧與總結】如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內題型四：二元二次曲線與圓的關系例20．(2023·全國·高一）畫出方程表示的曲線．【解析】由題意得：，，方程兩邊平方得：，如圖所示：實線為所求方程表示的曲線為以為圓心，半徑為1的圓的右半部分．例21．(2023·全國·高二課時練習）已知方程表示一個圓．（1）求實數m的取值范圍；（2）求圓的周長的最大值．【解析】（1）原方程可化為，若方程表示一個圓，則，解得，即實數m的取值范圍是．（2）圓的半徑，當且僅當時，半徑r取得最大值，所以圓的周長的最大值為．例22．(2023·全國·高二課時練習）已知圓N的標準方程為．（1）若點M（6，9）在圓N上，求半徑a；（2）若點P（3，3）與Q（5，3）有一點在圓N內，另一點在圓N外，求實數a的取值范圍．【解析】（1）因為點M（6，9）在圓N上，所以，即，又，所以．（2）因為圓心，，，所以，，所以，故點P在圓N外，點Q在圓N內，又因為圓N的半徑為，所以，故實數a的取值范圍是．例23．（多選題）(2023·江蘇·高二專題練習）方程（，不全為零），下列說法中正確的是（

）A．當時為圓B．當時不可能為直線C．當方程為圓時，，滿足D．當方程為直線時，直線方程答案：ACD【解析】對于A，由題可得或，代入得或，都是圓，故A對；對于B，當時，化簡得是直線，故B錯；對于C，原式可化為，要表示圓，則必有，故C對；對于D，只有時，方程表示直線，故D對．故選：ACD．例24．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）關于曲線：，下列說法正確的是（

）A．曲線圍成圖形的面積為B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形D．曲線是以為圓心，為半徑的圓答案：AC【解析】曲線：如圖所示：對于A：圖形在各個象限的面積相等，在第一象限中的圖形，是以為圓心，為半徑的圓的一半加一個直角三角形所得，，所以曲線圍成圖形的面積為，故A正確；對于B，由圖可知，曲線所表示的圖形對稱軸有軸，軸，直線，直線四條，故B錯誤；對于C，由圖可知，曲線所表示的圖形是關于原點對稱的中心對稱圖形，故C正確；對于D，曲線的圖形不是一個圓，故D錯誤．故選：AC例25．(2023·江蘇·高二）方程表示圓，則的取值范圍為______．答案：或【解析】由題意知：，即，解得或．故答案為：或．例26．(2023·山東濟寧·高二期中）若某圓的方程為，則a的值為______．答案：2【解析】由，得或，當時，方程為，不滿足題意；當時，方程為表示圓．故答案為：2例27．(2023·全國·高三專題練習）已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】若表示圓，則，解得．“”是“”表示圓的必要不充分條件，所以實數的取值范圍是．故選：B【方法技巧與總結】待定系數法題型五：圓過定點問題例28．(2023·全國·高三專題練習）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和答案：D【解析】設點，則線段的中點為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經過定點坐標為、．故選：D．例29．(2023·全國·高二課時練習）已知方程表示的曲線恒過第三象限內的一個定點，若點又在直線：上，則（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】方程可化為．曲線恒過定點，，解得或．點在第三象限，，代入直線的方程，可得．故選：．例30．(2023·全國·高三專題練習）判別方程（k為參數，）表示何種曲線?找出通過定點的坐標．【解析】將原方程整理得，即，方程表示圓心在，半徑為的圓，將原方程整理為關于k的方程：，由解得即圓過定點．例31．(2023·全國·高三專題練習）求證：對任意實數，動圓恒過兩定點．【解析】證明：圓系方程可化為．設．∵對（）恒成立，∴，解得或．因此，圓系過定點和．例32．(2023·全國·高二專題練習）已知動圓經過坐標原點，且圓心在直線上．（1）求半徑最小時的圓的方程；（2）求證：動圓恒過一個異于點的定點．【解析】（1）因為圓心在直線上，所以設圓心的坐標為．又因為動圓經過坐標原點，所以動圓的半徑，所以半徑的最小值為．并且此時圓的方程為：．（2）設定點坐標，，因為圓的方程為：所以，即，因為當為變量時，，卻能使該等式恒成立，所以只可能且即解方程組可得：，或者，（舍去）所以圓恒過一定點，．例33．(2023·全國·高二專題練習）已知點和以為圓心的圓．（1）求證：圓心在過點的定直線上，（2）當為何值時，以為直徑的圓過原點．【解析】（1）由題可知圓心的坐標為，令消去，得．∵直線過點．∴圓心在過點的定直線上．（2）∵以為直徑的圓過原點，∴．∴，∴．即當時，以為直徑的圓過原點．【方法技巧與總結】合并參數，另參數的系數為零解方程即可．題型六：軌跡問題例34．(2023·全國·高二課時練習）已知點，，動點滿足，則點P的軌跡為___________．答案：【解析】，，化簡得：，所以，點P的軌跡為圓：故答案為：例35．(2023·全國·高二期中）當點A在曲線上運動時，連接A與定點，則AB的中點P的軌跡方程為______．答案：【解析】設，則由中點坐標公式可得，代入得整理得P的軌跡方程為．故答案為：例36．(2023·廣東·東莞市東方明珠學校高一期中）圓內有一點，設過點的弦的中點為，則點的軌跡方程為______．答案：【解析】，圓心，半徑，設過點的弦為，，當直線、斜率存在時，，，因為，所以，則，整理得；當直線斜率不存在時，直線方程為，，滿足；當直線斜率不存在時，直線方程為，，滿足，綜上所述，點的軌跡方程為，故答案為：．例37．(2023·全國·高三專題練習）已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動．（1）求線段AB的中點P的軌跡的方程；（2）設圓與曲線的兩交點為M，N，求線段MN的長；（3）若點C在曲線上運動，點Q在x軸上運動，求的最小值．【解析】（1）設，，點A在圓，所以有：，P是A，B的中點，，即，得P得軌跡方程為：；（2）聯立方程和，得MN所在公共弦所在的直線方程，設到直線MN得距離為d，則，所以，；（3）作出關于軸得對稱點，如圖所示；連接與x軸交于Q點，點Q即為所求，此時，所以的最小值為．例38．(2023·全國·高三專題練習）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】∵，即設，則，整理得故選：B．例39．(2023·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設點，則，化簡整理得，即，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所求圖形的面積為，故選：D．例40．(2023·全國·高二單元測試）已知點，圓，過點的動直線與圓交于兩點，線段的中點為，為坐標原點．（1）求的軌跡方程；（2）當時，求l的方程及的面積【解析】（1）由圓，可化為，所以圓心為，半徑為4，設，則，，由題設知，故，即．由于點P在圓C的內部，所以M的軌跡方程是．（2）由上可知M的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，由于，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而，因為ON的斜率為3，所以的斜率為，故的方程為，即，又，O到的距離為，，所以的面積為．例41．(2023·全國·高三專題練習）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點．求點的軌跡方程；【解析】設線段中點為，點，，，，，又因為點A在圓上，，即點C的軌跡方程為：．例42．(2023·全國·高三專題練習）已知圓，平面上一動點滿足：且，．求動點的軌跡方程；【解析】設，由，所以，整理得，即動點的軌跡方程．例43．(2023·全國·高二課時練習）在①過點，②圓E恒被直線平分，③與y軸相切這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知圓E經過點，且______．（1）求圓E的一般方程；（2）設P是圓E上的動點，求線段AP的中點M的軌跡方程．【解析】（1）方案一：選條件①．設圓的方程為，則，解得，則圓E的方程為．方案二：選條件②．直線恒過點．因為圓E恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標為，又圓E經過點，所以圓的半徑r＝1，所以圓E的方程為，即．方案三：選條件③．設圓E的方程為．由題意可得，解得，則圓E的方程為，即．（2）設．因為M為線段AP的中點，所以，因為點P是圓E上的動點，所以，即，所以M的軌跡方程為．例44．(2023·江蘇·高二）已知圓過三個點．（1）求圓的方程；（2）過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段的中點的軌跡．【解析】（1）設圓的方程為，因為圓過三個點，可得，解得，所以圓的方程為，即．（2）因為為線段的中點，且，所以在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，聯立方程組，解得或，所以點的軌跡方程為．例45．(2023·全國·高二課時練習）已知A，B是平面內的兩點，且，用坐標法判斷平面內滿足下列條件的動點P是否存在．如果存在，求出軌跡方程；如果不存在，說明理由．（1）；（2）．【解析】（1）以線段AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，設，因為，則，即，（2）設，因為，所以，即，這樣的點P不存在，所以點P的軌跡不存在．例46．(2023·全國·高二課時練習）已知點和點，以為斜邊，求直角頂點A的軌跡方程．【解析】方法一：設點，，，，，由題意可知：，，，整理得：，三點不共線，應去除．直角頂點的軌跡方程為：（除去兩點．方法二：設BC中點為D（），則DB＝DC＝DA，即A在以D為圓心，為半徑的圓上（不能和B、C重合），故A的軌跡方程為（除去兩點）．例47．(2023·西藏·拉薩中學高一期中）已知圓上的一定點，點為圓內一點，，為圓上的動點．（1）求線段中點的軌跡方程；（2）若，求線段中點的軌跡方程．【解析】（1）設，則，設線段中點坐標為，則，解得，代入，得，即；（2）設線段中點坐標為，因為，所以，因為，所以，即，化簡得．例48．(2023·全國·高一課時練習）設定點，動點在圓上運動，以，（為坐標原點）為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程．【解析】如圖所示，連接，．設，，則線段的中點坐標為，線段的中點坐標為．因為平行四邊形的對角線互相平分，所以，，所以．又點在圓上，所以，即所求點的軌跡方程為，但應除去兩點和（點在直線上的情況）．例49．(2023·北京十五中高二期中）已知圓，則圓C的坐標為____，圓C的半徑為_______．答案：（0，2）

2【解析】因為圓，即圓，所以圓的圓心為（0，2），半徑為2．故答案為：（0，2），2．【方法技巧與總結】用直接法求曲線方程的步驟如下：（1）建系設點：建立適當的直角坐標系，設曲線上任一點坐標為；（2）幾何點集：寫出滿足題設的點的集合；（3）翻譯列式：將幾何條件用坐標、表示，寫出方程；（4）化簡方程：通過同解變形化簡方程；（5）查漏除雜：驗證方程表示的曲線是否為已知的曲線，重點檢查方程表示的曲線是否有多余的點，曲線上是否有遺漏的點．求軌跡時常用的方法：代入法對于“雙動點”問題，即若已知一動點在某條曲線上運動而求另一動點的軌跡方程時，通常用這一方法．代入法是先設所求軌跡的動點坐標為，在已知曲線上運動的點的坐標為，用，表示，，即，，并將它代入到已知曲線方程，即求出所求動點的軌跡方程．一般情況下，證明可以省略不寫，如有特殊情況，可適當予以說明，即扣除不合題意的解或補上失去的解．【同步練習】一．單選題1．若圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為A． B． C． D．【解析】圓可化為，圓心為，半徑為1，圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑為1，圓的方程為：，即，故選：．2．過點且與直線相切的半徑最小的圓方程是A． B． C． D．【解析】過點作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，其中，設，則，解得：，故的中點，即圓心為，即，故該圓為．故選：．3．已知點在圓的外部，則的取值范圍是A．， B．，， C．，， D．，，【解析】圓的圓心為，半徑，由于點在圓的外部，所以，解得．即．故選：．4．設甲：實數；乙：方程是圓，則甲是乙的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】方程是圓，，解得：，故命題甲是命題乙成立的必要不充分條件，故選：．5．已知圓方程的圓心為A． B． C． D．【解析】因為，即，所以圓心坐標為；故選：．6．某圓經過，兩點，圓心在直線上，則該圓的標準方程為A． B． C． D．【解析】因為圓經過，兩點，所以圓心在中垂線上，聯立解得圓心，所以圓的半徑，故所求圓的方程為，故選：．7．已知直線，，若圓的圓心在軸上，且圓與、都相切，則圓的半徑為A． B． C．或 D．或【解析】設圓的半徑為，圓心為，則由已知可得，解得或0，當時，，當時，，故選：．8．德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點、是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當的外接圓與邊相切于點時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點．的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點，當最大時，點的橫坐標為A．1 B． C． D．2【解析】因為點、是軸正半軸上的兩個定點，點是軸正半軸上的一個動點，根據米勒定理可知，當的外接圓與軸相切時，最大，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線必過的外接圓圓心，所以弦中點的縱坐標，即為外接圓半徑的大小，即，依題意，可求得的外接圓的方程為，令，求得點的橫坐標為，故選：．二．多選題9．已知圓的方程是，則下列坐標表示點在圓外的有A． B． C． D．【解析】因為，所以點在圓外．因為，所以點在圓內．因為，所以點在圓內．因為，所以點在圓外．故選：．10．若方程表示以為圓心，4為半徑的圓，則下列結論正確的是A． B．圓關于直線對稱 C．圓與軸相切 D．的最大值為9【解析】方程表示以為圓心，4為半徑的圓，故它的標準方程為，故，，，，故正確；由于圓心在直線上，故圓關于直線對稱，故正確；由于圓心到軸的距離為2，小于半徑4，故圓和軸相交，故錯誤，結合圓心到點的距離為5，而表示圓上的點到點的距離，故的最大值為，故正確，故選：．11．已知圓在曲線的內部，則實數的值可以是A．0 B．1 C．2 D．3【解析】圓，即圓，表示以為圓心，半徑為的圓，圓在曲線的內部，故圓心到直線的距離大