第07講向量運算【學習目標】1、掌握平面向量的運算和探索其運算性質．2、體會平面向量運算的作用．【考點目錄】考點一：向量的加法運算考點二：向量的減法運算考點三：與向量的模有關的問題考點四：向量的數乘運算考點五：共線向量與三點共線問題考點六：平面向量數量積的運算考點七：平面向量模的問題考點八：向量垂直（或夾角）問題【基礎知識】知識點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任一向量，我們規定．知識點詮釋：兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點．知識點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有2、向量加法的運算律（1）交換律：；（2）結合律：知識點三：向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當不共線時，；（2）當同向且共線時，同向，則；（3）當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．知識點四：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質就是把向量減法化為向量加法．知識點詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實質是一樣的．（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個向量的差仍是一個向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．知識點五：數乘向量1、向量數乘的定義實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作：（1）；（2）①當時，的方向與的方向相同；②當時．的方向與的方向相反；③當時，．2、向量數乘的幾何意義由實數與向量積的定義知，實數與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=-，與互為相反向量；當時，=．實數與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數乘的運算律設為實數結合律：；分配律：，知識點六：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數，使，那么由實數與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理是一個非零向量，若存在一個實數，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質定理若向量與非零向量共線，則存在一個實數，使．知識點詮釋：（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據，其本質是位置關系與數量關系的相互轉化，體現了數形結合的高度統一．知識點七：平面向量的數量積1、平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量叫與的數量積，記作，即有．并規定與任何向量的數量積為0．2、如圖（1），設是兩個非零向量，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內任取一點O，作．過點M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識點詮釋：1、兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由的符號所決定．（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成；今后要學到兩個向量的外積，而是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分．符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實數中，若，且，則；但是在數量積中，若，且，不能推出．因為其中有可能為0．2、投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為；當=180時投影為．3、投影向量是一個向量，當對于任意的，都有．知識點八：平面向量數量積的幾何意義數量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數量，即．事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以．知識點九：向量數量積的性質設與為兩個非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當與同向時，；當與反向時，．特別的或4、5、知識點十：向量數量積的運算律1、交換律：2、數乘結合律：3、分配律：知識點詮釋：1、已知實數、、，則．但是；2、在實數中，有，但是顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【考點剖析】考點一：向量的加法運算例1．(2023·新疆·克拉瑪依市高級中學高一階段練習）等于（

）A． B． C． D．例2．(2023·福建·上杭縣第二中學高一階段練習）向量化簡后等于（

）A． B． C． D．例3．(2023·全國·高一課前預習）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則等于（

）A． B．C． D．考點二：向量的減法運算例4．在四邊形中，對角線與交于點O，若，則四邊形一定是（）A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形例5．如圖，已知向量，，求作向量．考點三：與向量的模有關的問題例6．（1）已知、、的模分別為1、2、3，求|++|的最大值；（2）如圖所示，已知矩形ABCD中，，設，，，試求|++|的大小．例7．已知平面上不共線的四點，若，則等于（）A． B． C．3 D．2例8．已知非零向量，滿足，，且|－|=4，求|+|的值．考點四：向量的數乘運算例9．計算下列各式：（1）4（+）3（）；（2）3（2+）（2+3）；（3）．例10．如圖所示，的兩條對角線相交于點，且用表示考點五：共線向量與三點共線問題例11．設兩非零向量和不共線，（1）如果求證三點共線．（2）試確定實數，使和共線．例12．已知向量，，其中，不共線，向量，問是否存在這樣的實數λ，μ，使向量與共線？例13．如圖所示：，在中，向量，AD與BC交于點M，設，在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設＝p，＝q，求證：＋＝1．考點六：平面向量數量積的運算例14．(2023·全國·高一課時練習）已知等邊的邊長為3，則________例15．(2023·全國·高一課時練習）已知，，且向量與的夾角為120°，則______．例16．(2023·安徽·歙縣教研室高一期末）已知向量，，滿足，，，，，則_________．例17．已知，且向量與向量的夾角．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量．考點七：平面向量模的問題例18．(2023·吉林·長春市實驗中學高一階段練習）已知，，，則（

）A． B．2 C． D．4例19．(2023·云南保山·高一期末）向量，的夾角為120°，且，，則等于（

）A．2 B． C． D．例20．(2023·遼寧錦州·高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．5考點八：向量垂直（或夾角）問題例21．已知，且向量在向量方向上的投影數量為．（1）求與的夾角；（2）求；（3）當為何值時，向量與向量互相垂直？例22．已知，，，求：（1）與的夾角；（2）與的夾角的余弦值．例23．(2023·全國·高一課時練習）若單位向量滿足，且，則實數k的值為___________．例24．(2023·全國·高一課時練習）已知向量滿足，，與的夾角為，，則_______．【真題演練】1．(2023·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國·高考真題（文））已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．3．（2023·北京·高考真題（理））設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．(2023·全國·高考真題（理））設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．5．（2023·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________．6．（2023·全國·高考真題（理））設為單位向量，且，則______________．7．（2023·全國·高考真題（理））已知單位向量，的夾角為45°，與垂直，則k=__________．8．（2023·全國·高考真題（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________．【過關檢測】一、單選題1．(2023·湖北·襄陽四中高一階段練習）下列各式化簡正確的是（

）A． B．C． D．2．(2023·黑龍江·建三江分局第一中學高一期末）“平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．(2023·湖北省天門中學高一階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．4．(2023·內蒙古大學滿洲里學院附屬中學高一期末）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．5．(2023·全國·高一課時練習）設向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數，使得與垂直，則（

）A．2 B． C． D．6．(2023·江蘇·興化市楚水實驗學校高一階段練習）已知非零向量、滿足，且，則的形狀是（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形7．(2023·全國·高一課時練習）已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．8．(2023·江蘇·金沙中學高一期末）如圖，矩形內放置5個邊長均為1的小正方形，其中，，，在矩形的邊上，且為的中點，則（

）A． B．C．5 D．7二、多選題9．(2023·全國·高一課時練習）向量是近代數學中重要和基本的概念之一，它既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為10．(2023·甘肅蘭州·高一期末）已知P是邊長為2的正六邊形內的一點，則的最小值與最大值分別是（

）A． B． C．4 D．611．(2023·安徽省岳西縣湯池中學高一階段練習）在中，D，E，F分別是邊的中點，點G為的重心，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．12．(2023·福建·福州黎明中學高一期末）已知，，為同一平面內的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則（

）A．與的夾角 B．C． D．三、填空題13．(2023·全國·高一課時練習）已知向量的夾角為，，，則______．14．(2023·全國·高一課時練習）在中，點滿足，則與的面積比為___________．15．(2023·全國·高一課時練習）已知向量滿足，，與的夾角為，則在上的投影為________．16．(2023·北京師大附中高一期末）已知平面向量，，滿足，且，則的值為________．四、解答題17．(2023·西藏拉薩·高一期末）已知平面向量滿足，且．（1）求；（2）若，求實數m的值．18．(2023·浙江·寧波咸祥中學高一期末）已知向量，若，（1）求與的夾角θ；（2）求；（3）當λ為何值時，向量與向量互相垂直？19．(2023·全國·高一課時練習）如圖所示，在中，D，F分別是邊BC，AC的中點，且，，．求證：B，E，F三點共線．20．(2023·上海市陸行中學高一期末）已知向量?的夾角為，且，設，．（1）求；（2）試用來表示的值；（3）若與的夾角為鈍角，試求實數的取值范圍．21．(2023·全國·高一課時練習）已知兩個不共線的向量、的夾角為，且，，為正實數．（1）若與垂直，求；（2）若，求的最小值及對應的的值．22．(2023·重慶市銅梁區教師進修學校高一期末）已知向量滿足：，，．（1）若，求在方向上的投影向量；（2）求的最小值．23．(2023·吉林·延邊第一中學高一期中）如圖所示，在中，與相交于點．（1）用和分別表示和；（2）若，求實數和的值．第07講向量運算【學習目標】1、掌握平面向量的運算和探索其運算性質．2、體會平面向量運算的作用．【考點目錄】考點一：向量的加法運算考點二：向量的減法運算考點三：與向量的模有關的問題考點四：向量的數乘運算考點五：共線向量與三點共線問題考點六：平面向量數量積的運算考點七：平面向量模的問題考點八：向量垂直（或夾角）問題【基礎知識】知識點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任一向量，我們規定．知識點詮釋：兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點．知識點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有2、向量加法的運算律（1）交換律：；（2）結合律：知識點三：向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當不共線時，；（2）當同向且共線時，同向，則；（3）當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．知識點四：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質就是把向量減法化為向量加法．知識點詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實質是一樣的．（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個向量的差仍是一個向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．知識點五：數乘向量1、向量數乘的定義實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作：（1）；（2）①當時，的方向與的方向相同；②當時．的方向與的方向相反；③當時，．2、向量數乘的幾何意義由實數與向量積的定義知，實數與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=-，與互為相反向量；當時，=．實數與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數乘的運算律設為實數結合律：；分配律：，知識點六：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數，使，那么由實數與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理是一個非零向量，若存在一個實數，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質定理若向量與非零向量共線，則存在一個實數，使．知識點詮釋：（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據，其本質是位置關系與數量關系的相互轉化，體現了數形結合的高度統一．知識點七：平面向量的數量積1、平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量叫與的數量積，記作，即有．并規定與任何向量的數量積為0．2、如圖（1），設是兩個非零向量，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內任取一點O，作．過點M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識點詮釋：1、兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由的符號所決定．（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成；今后要學到兩個向量的外積，而是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分．符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實數中，若，且，則；但是在數量積中，若，且，不能推出．因為其中有可能為0．2、投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為；當=180時投影為．3、投影向量是一個向量，當對于任意的，都有．知識點八：平面向量數量積的幾何意義數量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數量，即．事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以．知識點九：向量數量積的性質設與為兩個非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當與同向時，；當與反向時，．特別的或4、5、知識點十：向量數量積的運算律1、交換律：2、數乘結合律：3、分配律：知識點詮釋：1、已知實數、、，則．但是；2、在實數中，有，但是顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【考點剖析】考點一：向量的加法運算例1．(2023·新疆·克拉瑪依市高級中學高一階段練習）等于（

）A． B． C． D．答案：B【解析】故選：B例2．(2023·福建·上杭縣第二中學高一階段練習）向量化簡后等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由,故選：A例3．(2023·全國·高一課前預習）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則等于（

）A． B．C． D．答案：B【解析】.故選：B考點二：向量的減法運算例4．在四邊形中，對角線與交于點O，若，則四邊形一定是（）A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形答案：B【解析】∵，∴，∴，∴四邊形一定是梯形．故選：B．例5．如圖，已知向量，，求作向量．【解析】解：（1）如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；（2）如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；考點三：與向量的模有關的問題例6．（1）已知、、的模分別為1、2、3，求|++|的最大值；（2）如圖所示，已知矩形ABCD中，，設，，，試求|++|的大小．【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，∴|++|的最大值為6．（2）過點D作AC的平行線，交BC的延長線于E，如圖所示．∵DE∥AC，AD∥BE，∴四邊形ADEC為平行四邊形，∴，，于是，∴．例7．已知平面上不共線的四點，若，則等于（）A． B． C．3 D．2答案：C【解析】解：由，得，即，所以，即，故選：C．例8．已知非零向量，滿足，，且|－|=4，求|+|的值．【解析】如圖，，，則．以OA與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則．由于．故，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以OACB是矩形．根據矩形的對角線相等有，即|+|=4．考點四：向量的數乘運算例9．計算下列各式：（1）4（+）3（）；（2）3（2+）（2+3）；（3）．【解析】（1）原式=43+4+3=+7．（2）原式=36+32+3=7+6．（3）原式．例10．如圖所示，的兩條對角線相交于點，且用表示【解析】在中考點五：共線向量與三點共線問題例11．設兩非零向量和不共線，（1）如果求證三點共線．（2）試確定實數，使和共線．【解析】（1）證明

共線，又有公共點，∴三點共線．（2）解

∵和共線，∴存在，使，則由于和不共線，只能有則．例12．已知向量，，其中，不共線，向量，問是否存在這樣的實數λ，μ，使向量與共線？【解析】因為向量，，所以要使與共線，則應有實數，使，即，即得．故存在這樣的實數λ，μ，只要，就能使與共線．例13．如圖所示：，在中，向量，AD與BC交于點M，設，在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設＝p，＝q，求證：＋＝1．【解析】因為A，M，D三點共線，所以，因為B，M，C三點共線，所以，解得，所以，因為＝p，＝q，所以．因為共線，所以，即，所以＋＝1．考點六：平面向量數量積的運算例14．(2023·全國·高一課時練習）已知等邊的邊長為3，則________答案：【解析】.故答案為：例15．(2023·全國·高一課時練習）已知，，且向量與的夾角為120°，則______.答案：-268【解析】.故答案為：例16．(2023·安徽·歙縣教研室高一期末）已知向量，，滿足，，，，，則_________.答案：6【解析】由，得，兩邊平方，得，因為，所以，得.故答案為：.例17．已知，且向量與向量的夾角．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量．【解析】解：；（2）設與向量方向相同的單位向量為，則．向量在向量上的投影為：，所以向量在向量上的投影向量為．考點七：平面向量模的問題例18．(2023·吉林·長春市實驗中學高一階段練習）已知，，，則（

）A． B．2 C． D．4答案：B【解析】因為，，，所以，故選：B例19．(2023·云南保山·高一期末）向量，的夾角為120°，且，，則等于（

）A．2 B． C． D．答案：D【解析】因為的夾角為120°，且，，所以，所以.故選：D例20．(2023·遼寧錦州·高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．5答案：C【解析】由，可得，則，將，代入可得：，可得：，則，故選：C.考點八：向量垂直（或夾角）問題例21．已知，且向量在向量方向上的投影數量為．（1）求與的夾角；（2）求；（3）當為何值時，向量與向量互相垂直？【解析】（1）因為，所以．又在方向上的投影數量為，所以，所以，所以．（2）．（3）因為與互相垂直，所以，所以，所以．例22．已知，，，求：（1）與的夾角；（2）與的夾角的余弦值．【解析】（1），，，設與的夾角為，則．又，；（2），，．，又．，設與的夾角為，則．即與的夾角的余弦值為．例23．(2023·全國·高一課時練習）若單位向量滿足，且，則實數k的值為___________.答案：6【解析】因為，所以，因為，所以，即，又是單位向量，所以，即.故答案為：例24．(2023·全國·高一課時練習）已知向量滿足,，與的夾角為，，則_______．答案：2【解析】因為，所以，即.又，,與的夾角為，則，所以．故答案為：2.【真題演練】1．(2023·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2答案：C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.2．（2023·全國·高考真題（文））已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．答案：B【解析】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．3．（2023·北京·高考真題（理））設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：C【解析】∵A?B?C三點不共線,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2?>0與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.4．(2023·全國·高考真題（理））設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．答案：【解析】設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．5．（2023·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.答案：【解析】∵∴∴.故答案為：.6．（2023·全國·高考真題（理））設為單位向量，且，則______________.答案：【解析】因為為單位向量，所以所以解得：所以故答案為：7．（2023·全國·高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.答案：【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．8．（2023·全國·高考真題（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________.答案：.【解析】因為，，所以，，所以，所以．【過關檢測】一、單選題1．(2023·湖北·襄陽四中高一階段練習）下列各式化簡正確的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】對于A，，故錯誤；對于B，，故錯誤；對于C，，故錯誤；對于D，，故正確；故選：D2．(2023·黑龍江·建三江分局第一中學高一期末）“平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】若平面向量，平行，則向量，方向相同或相反，所以或；若，則，即向量，方向相同，以及向量，平行．綜上，“平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的必要非充分條件．故選：B．3．(2023·湖北省天門中學高一階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為，，所以，所以，故選：A4．(2023·內蒙古大學滿洲里學院附屬中學高一期末）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，，即，即，又，，解得，，所以.故選：C5．(2023·全國·高一課時練習）設向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數，使得與垂直，則（

）A．2 B． C． D．答案：B【解析】因為在方向上的投影向量為，所以，所以，因為與垂直，所以，即，解得.故選：B.6．(2023·江蘇·興化市楚水實驗學校高一階段練習）已知非零向量、滿足，且，則的形狀是（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形答案：D【解析】因為和分別表示向量和向量方向上的單位向量，由，的角平分線與垂直，為等腰三角形，且，且，，又，，，三角形為等邊三角形．故選：D．7．(2023·全國·高一課時練習）已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】對于A，因為，,所以，故正確；對于B，因為,(為中點)，故錯誤；對于C，因為(為中點),(為中點),所以，故正確；對于D，因為，，所以，故正確.故選：B.8．(2023·江蘇·金沙中學高一期末）如圖，矩形內放置5個邊長均為1的小正方形，其中，，，在矩形的邊上，且為的中點，則（

）A． B．C．5 D．7答案：D【解析】由題圖知：，，，所以，由，，故.故選：D二、多選題9．(2023·全國·高一課時練習）向量是近代數學中重要和基本的概念之一，它既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為答案：BC【解析】，,,解得,故A錯誤,，由于，與的夾角為，故B正確,,故C正確在上的投影向量為，故D錯誤,故選：BC10．(2023·甘肅蘭州·高一期末）已知P是邊長為2的正六邊形內的一點，則的最小值與最大值分別是（

）A． B． C．4 D．6答案：AD【解析】根據數量積的幾何意義，可以看作和在上的投影向量的模的乘積，因為，所以當點在點處時數量積最小，最小為；當點在點處時數量積最大，最大為.故選：AD.11．(2023·安徽省岳西縣湯池中學高一階段練習）在中，D，E，F分別是邊的中點，點G為的重心，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】如圖：對于選項A，，即選