第十一章

計數原理、概率、隨機變量及其分布第一節

兩個基本計數原理、排列與組合11

強基礎

知識回歸22

研考點

題型突破課標解讀1.了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義，并會簡單運用.2.理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式；能解決簡單的實際問題.01強基礎

知識回歸知識梳理一、兩個基本計數原理

3.分類加法計數原理和分步乘法計數原理，區別在于：分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.二、排列與組合1.排列與組合的概念名稱定義排列組合一定的順序2.排列數與組合數

不同排列不同組合3.排列數、組合數的公式及性質公式性質

1

知識拓展

區別三:分類加法計數原理：各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的；分步乘法計數原理：各步之間是相互依存的，并且既不能重復，也不能遺漏.2.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）.分類時標準應統一，避免出現重復或遺漏.3.對于分配問題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區別，避免重復或遺漏.自測診斷1.把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有(

)

C

2.現有高一學生5名，高二學生4名，高三學生3名.從中任選1人參加市團委組織的演講比賽，不同的選法有(

)

DA.60種

B.45種

C.30種

D.12種[解析]

因為三個年級共有12名學生，由分類加法計數原理可得,從中任選1人參加市團委組織的演講比賽，共有12種不同的選法.故選D.3.一個市禁毒宣傳講座要到4個學校開講，一個學校講一次，不同的次序種數為(

)

C

D

5.某省專家組為評審某市是否達到“生態園林城市”的標準，從包含甲、乙兩位專家在內的8人中選出4人組成評審委員會，若甲、乙兩位專家已經被邀請，則組成該評審委員會的不同方式共有(

)

BA.30種

B.15種

C.20種

D.25種

02研考點

題型突破題型一

兩個基本計數原理角度1

分類加法計數原理典例1

將編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有(

)

BA.16種

B.12種

C.9種

D.6種[解析]

由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時，放球方法：當1號球與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當1號球與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當1號球與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當2號球與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當2號球與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當3號球與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法.因此，不同的放球方法有12種.故選B.［對點訓練1］若在一個三位數的自然數各位數字中，有且僅有兩個數字一樣，我們就把這樣的三位數定義為“單重數”.例如：232，114等，則不超過200的“單重數”中，從小到大排列第22個“單重數”是(

)

BA.166

B.171

C.181

D.188

規律方法分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.（1）根據題目特點選擇一個恰當的分類標準.（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復.（3）分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.角度2

分步乘法計數原理典例2

用紅、黃、藍、綠、黑這5種顏色隨機給如圖所示的四塊三角形區域涂色，則“在任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為(

)

A

CA.10種

B.13種

C.15種

D.25種

規律方法（1）在用分步乘法計數原理解決問題時，要注意按事件發生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.（2）必須滿足的兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續，逐步完成.題型二

排列問題角度1

特殊元素與特殊位置典例3（1）

用數字0,1,2,3,4組成沒有重復數字且大于3

000的四位數，這樣的四位數有(

)

CA.250個

B.249個

C.48個

D.24個

（2）將3個不同顏色的小球放入排成一排的6個相同的盒子，每個盒子最多可以放一個小球，則3個空盒中恰有2個空盒相鄰的放法共有____種.（用數字作答）72

［對點訓練3］用1，2，3，4，5這五個數字，可以組成比20

000大，并且百位數不是數字3的沒有重復數字的五位數共有(

)

BA.96個

B.78個

C.72個

D.64個

規律方法對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置.角度2

捆綁與插空典例4（1）

8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.若正、副組長相鄰而坐，有______種坐法;若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有_____種坐法.

240

（2）某居民小區內一條街道的一側并排安裝了5盞路燈，在滿足晚上不同時間段照明的前提下，為了節約用電，小區物業通過征求居民意見，決定每天00：00以后隨機關閉其中3盞燈，則2盞亮著的路燈不相鄰的概率為____.0.6

［對點訓練4］

（1）6月也稱畢業月，高三的同學們都要與相處了三年的同窗進行合影留念.現有4名男生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則排法的種數為(

)

CA.24

B.120

C.240

D.140

AA.24

B.32

C.48

D.64

規律方法題型三

組合問題角度1

“至多”與“至少”問題典例5

某市市場監督管理局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現從35種商品中選取3種.（1）其中某一種假貨必須在內，不同的取法有多少種？

（2）其中某一種假貨不能在內，不同的取法有多少種？

（3）恰有2種假貨在內，不同的取法有多少種？

（4）至少有2種假貨在內，不同的取法有多少種？

（5）至多有2種假貨在內，不同的取法有多少種？

［對點訓練5］（多選題）某班有50名學生，其中正、副班長各1人，現選派5人參加一項活動，要求正、副班長至少有1人參加，問共有多少種選派方法？下面是學生提供的四種計算方法，其中正確的算法有(

)

ABD

規律方法（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.（2）“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.角度2

“分組”與“分配”問題典例6

某旅游公司為推出新的旅游項目，特派出五名工作人員前往贛州三個景點進行團隊游的可行性調研.若每名工作人員只去一個景點且每個景點至少有一名工作人