§1.1集合考試要求1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算．知識梳理1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數集的記法集合非負整數集(或自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算表示運算集合語言圖形語言記法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B補集{x|x∈U，且x?A}?UA常用結論1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．2．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(×)(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．(√)教材改編題1．(多選)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，則下列結論正確的是()A．2eq\r(2)?A B．8?AC．{4}∈A D．{0}?A答案AD2．已知集合M＝{eq\r(a)＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，則a＋b＝________.答案－1解析∵M＝N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋1＝2，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴a＋b＝－1.3．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，則A∩B＝____________，A∪(?UB)＝____________.答案{x|2≤x≤3}{x|－2<x≤3}解析∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}＝{x|x≤－2或x≥2}，∴?UB＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪(?UB)＝{x|－2<x≤3}.題型一集合的含義與表示例1(1)(2020·全國Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數為()A．2B．3C．4D．6答案C解析A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4個元素．(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實數a＝________.答案0或1解析①當a－3＝－3時，a＝0，此時A＝{－3，－1，－4}，②當2a－1＝－3時，a＝－1，此時A＝{－4，－3，－3}舍去，③當a2－4＝－3時，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，則當a＝1時，A＝{－2,1，－3}，綜上，a＝0或1.教師備選若集合A＝{x|kx2＋x＋1＝0}中有且僅有一個元素，則實數k的取值集合是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))解析依題意知，方程kx2＋x＋1＝0有且僅有一個實數根，∴k＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝1－4k＝0，))∴k＝0或k＝eq\f(1,4)，∴k的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).思維升華解決集合含義問題的關鍵有三點：一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．跟蹤訓練1(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x－2)∈Z))))，則集合A中的元素個數為()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析∵eq\f(4,x－2)∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x的值分別為－2,0,1,3,4,6，又x∈N，故x的值為0,1,3,4,6.故集合A中有5個元素．(2)已知a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則a2023＋b2023＝________.答案0解析∵{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))且a≠0，∴a＋b＝0，∴a＝－b，∴{1,0，－b}＝{0，－1，b}，∴b＝1，a＝－1，∴a2023＋b2023＝0.題型二集合間的基本關系例2(1)設集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關系是()A．M＝P B．P∈MC．MP D．PM答案D解析因為P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，因此PM.(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實數m的取值范圍是________．答案[－1，＋∞)解析∵B?A，①當B＝?時，2m－1>m＋1，解得m>2；②當B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))解得－1≤m≤2.綜上，實數m的取值范圍是[－1，＋∞)．延伸探究在本例(2)中，若把B?A改為BA，則實數m的取值范圍是________．答案[－1，＋∞)解析①當B＝?時，2m－1>m＋1，∴m>2；②當B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1<4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1>－3，,m＋1≤4.))解得－1≤m≤2.綜上，實數m的取值范圍是[－1，＋∞)．教師備選已知M，N均為R的子集，若N∪(?RM)＝N，則()A．M?N B．N?MC．M??RN D．?RN?M答案D解析由題意知，?RM?N，其Venn圖如圖所示，∴只有?RN?M正確．思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．跟蹤訓練2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，則滿足AC?B的集合C的個數為()A．4 B．6C．7 D．8答案C解析∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且AC?B，∴集合C的所有可能為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7個．(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實數a的值為________．答案0，±1解析∵M＝{－1,1}，且M∩N＝N，∴N?M.若N＝?，則a＝0；若N≠?，則N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，∴eq\f(1,a)＝1或eq\f(1,a)＝－1，∴a＝±1綜上有a＝±1或a＝0.題型三集合的基本運算命題點1集合的運算例3(1)(2021·全國乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T等于()A．?B．SC．TD．Z答案C解析方法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，則t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T?S，所以T∩S＝T.方法二S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，觀察可知，T?S，所以T∩S＝T.(2)(2022·濟南模擬)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，則集合(?RA)∪B等于()A．[－1,5) B．(－1,5)C．(1,4] D．(1,4)答案B解析因為集合A＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，又B＝{x|1＜x＜5}，所以?RA＝(－1,4)，則集合(?RA)∪B＝(－1,5)．命題點2利用集合的運算求參數的值(范圍)例4(1)(2022·廈門模擬)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2個子集，則實數a的取值范圍為()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由題意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2個子集，∴A∩B中的元素個數為1；∵1∈(A∩B)，∴a?(A∩B)，即a?B，∴a≤0或a≥2，即實數a的取值范圍為(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a<x<a＋3}，若A∩B＝?，則實數a的取值范圍是()A．a<－eq\f(10,3)或a>eq\f(1,2)B．a≤－eq\f(10,3)或a≥eq\f(1,2)C．a<－eq\f(1,6)或a>2D．a≤－eq\f(1,6)或a≥2答案B解析A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1))))，①B＝?，2a≥a＋3?a≥3，符合題意；②B≠?，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq\f(10,3)或eq\f(1,2)≤a<3.∴a的取值范圍是a≤－eq\f(10,3)或a≥eq\f(1,2).教師備選(2022·銅陵模擬)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(?RB)≠?，則實數a的取值范圍是()A．1≤a≤2 B．1<a<2C．a≤1或a≥2 D．a<1或a>2答案D解析A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，所以?RB＝{x|a－1<x<a＋1}；又A∩(?RB)≠?，所以a－1<0或a＋1>3，解得a<1或a>2，所以實數a的取值范圍是a<1或a>2.思維升華對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．跟蹤訓練3(1)(2021·全國甲卷)設集合M＝{x|0<x<4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤5))))，則M∩N等于()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,3))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<4))))C．{x|4≤x<5} D．{x|0<x≤5}答案B解析因為M＝{x|0<x<4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤5))))，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<4)))).(2)(2022·南通模擬)設集合A＝{1，a＋6，a2}，B＝{2a＋1，a＋b}，若A∩B＝{4}，則a＝________，b＝________.答案22解析由題意知，4∈A，所以a＋6＝4或a2＝4，當a＋6＝4時，則a＝－2，得A＝{1,4,4}，故應舍去；當a2＝4時，則a＝2或a＝－2(舍去)，當a＝2時，A＝{1,4,8}，B＝{5,2＋b}，又4∈B，所以2＋b＝4，得b＝2.所以a＝2，b＝2.題型四集合的新定義問題例5(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定義集合A，B之間的運算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，則A*B中的所有元素數字之和為()A．15B．16C．20D．21答案D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因為A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素數字之和為21.(2)非空數集A如果滿足：①0?A；②若?x∈A，有eq\f(1,x)∈A，則稱A是“互倒集”．給出以下數集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；②{x|x2－6x＋1≤0}；③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,x)，x∈[1，4]))))，其中是“互倒集”的序號是________．答案②③解析①中，{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，二次方程判別式Δ＝a2－4，故－2<a<2時，方程無根，該數集是空集，不符合題意；②中，{x|x2－6x＋1≤0}，即{x|3－2eq\r(2)≤x≤3＋2eq\r(2)}，顯然0?A，又eq\f(1,3＋2\r(2))≤eq\f(1,x)≤eq\f(1,3－2\r(2))，即3－2eq\r(2)≤eq\f(1,x)≤3＋2eq\r(2)，故eq\f(1,x)也在集合中，符合題意；③中，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,x)，x∈[1，4]))))，易得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤y≤2))))，0?A，又eq\f(1,2)≤eq\f(1,y)≤2，故eq\f(1,y)也在集合A中，符合題意．教師備選對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，記A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，則A*B＝____________.答案{x|－3≤x＜0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}．∴A*B＝{x|－3≤x＜0或x>3}．思維升華解決集合新定義問題的關鍵解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，緊扣題目所給定義，結合題目所給定義和要求進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆．跟蹤訓練4若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規定：當且僅當A1＝A2時，(A1，A2)與(A2，A1)是集合A的同一種分拆．若集合A有三個元素，則集合A的不同分拆種數是________．答案27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，當A1＝?時，A2＝{1,2,3}，當A1＝{1}時，A2可為{2,3}，{1,2,3}共2種，同理A1＝{2}，{3}時，A2各有2種，當A1＝{1,2}時，A2可為{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4種，同理A1＝{1,3}，{2,3}時，A2各有4種，當A1＝{1,2,3}時，A2可為A1的子集，共8種，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(種)不同的分拆．課時精練1．(2021·全國乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，則?U(M∪N)等于()A．{5} B．{1,2}C．{3,4} D．{1,2,3,4}答案A解析方法一(先求并再求補)因為集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以?U(M∪N)＝{5}．方法二(先轉化再求解)因為?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)，?UM＝{3,4,5}，?UN＝{1,2,5}，所以?U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|eq\r(x＋3)>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，則A∩(?UB)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|eq\r(x＋3)>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴?UB＝(－∞，2)，∴A∩(?UB)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，則集合N中的元素個數為()A．2B．3C．8D．9答案B解析由題意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素個數為3.4．(2022·青島模擬)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a1＋a2＋a3等于()A．1 B．2C．3 D．6答案C解析集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集為{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，則所有非空真子集的元素之和為a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a1＋a2＋a3＝3.5．(2022·浙江名校聯考)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實數a的取值范圍是()A．a<－2 B．a≤－2C．a>－4 D．a≤－4答案D解析集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，由A∪B＝B可得A?B，作出數軸如圖．可知－eq\f(a,2)≥2，即a≤－4.6．(多選)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，則下列說法正確的是()A．P∪Q＝RB．P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}C．P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}D．P∩Q的真子集有3個答案BD解析聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}，故B正確，C錯誤；又P，Q為點集，∴A錯誤；又P∩Q有兩個元素，∴P∩Q有3個真子集，∴D正確．7．(多選)(2022·重慶北碚區模擬)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則集合B可能為()A．{2,3,4} B．{3,4,5}C．{4,5,6} D．{3,5,6}答案BD解析由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因為?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則有A∩B＝{3},3∈B，C不正確；對于A選項，若B＝{2,3,4}，則A∩B＝{2,3}，?U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正確；對于B選項，若B＝{3,4,5}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正確；對于D選項，若B＝{3,5,6}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正確．8．(多選)已知全集U的兩個非空真子集A，B滿足(?UA)∪B＝B，則下列關系一定正確的是()A．A∩B＝? B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(?UB)∪A＝A答案CD解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，滿足(?UA)∪B＝B，但A∩B≠?，A∩B≠B，故A，B均不正確；由(?UA)∪B＝B，知?UA?B，∴U＝A∪(?UA)?(A∪B)，∴A∪B＝U，由?UA?B，知?UB?A，∴(?UB)∪A＝A，故C，D均正確．9．設U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實數m＝________.答案－3解析由題意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3為方程x2＋mx＝0的兩個根，所以m＝－3.10．(2022·石家莊模擬)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，則下列Venn圖中陰影部分的集合為________．答案{－1,2,3}解析集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，Venn圖中陰影部分表示的集合是M∩(?RN)＝{－1,2,3}．11．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，則A∪B＝________.答案{－5，－2,4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，則A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；若m－3＝－2，則m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，綜上，有A∪B＝{－5，－2,4}．12．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(?RB)∪A＝R，則實數a的取值范圍是________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，?RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(?RB)∪A＝R，∴a≥2.13．若x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是“伙伴關系”集合，集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3，4))的所有非空子集中，具有“伙伴關系”的集合的個數為()A．15 B．16C．32 D．256答案A解析由題意知，滿足“伙伴關系”的集合由以下元素構成：－1,1，eq\f(1,2)，2，eq\f(1,3)，3，其中eq