專題07分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算（三）（新知講練+高頻易錯(cuò)點(diǎn)+三考點(diǎn)講練+難度分層練）編者的話：同學(xué)你好，這份講義包含：①新課講授知識(shí)精講：從復(fù)習(xí)到預(yù)習(xí)，典例精講，理解知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用方法，逐步掌握新課內(nèi)容！結(jié)合變式訓(xùn)練提升知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用能力，自學(xué)效果也很好！②高頻易錯(cuò)點(diǎn)撥精講：對(duì)常考題型易錯(cuò)點(diǎn)內(nèi)容指點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用，查漏補(bǔ)缺，給出解決方案，提高學(xué)生的解題謹(jǐn)慎度、細(xì)心度！③考點(diǎn)精講練：對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致劃分，逐個(gè)學(xué)習(xí)新知，學(xué)生理解更透徹，結(jié)合變式演練，舉一反三訓(xùn)練，掌握知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用技巧！④【基礎(chǔ)夯實(shí)+沖刺拔高】真題練：結(jié)合近兩年常考真題，易錯(cuò)題，經(jīng)典題型等進(jìn)一步鞏固所學(xué)內(nèi)容，提升解題能力，熟悉考點(diǎn)考察題型，達(dá)到事半功倍！TOC\o"1-3"\h\u考點(diǎn)01：已知比一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù) 6考點(diǎn)02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量 9考點(diǎn)03：用轉(zhuǎn)化法或倒推法解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 11基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練 15能力拔高練 221.用方程表達(dá)分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算問題中的等量關(guān)系。2.解決相應(yīng)的實(shí)際問題，發(fā)展分析和解決問題的能力。3.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，教育學(xué)生節(jié)約用水，培養(yǎng)勤儉節(jié)約的好習(xí)慣。八月用水多少噸？八月用水多少噸？說說你知道了什么數(shù)學(xué)信息？說說你知道了什么數(shù)學(xué)信息？思考：估一估，哪個(gè)月份用水少？哪個(gè)月份用水多？說一說：要求八月用水多少噸？你是如何思考的？思考：八月份的用水量不知道，能不能找一下等量關(guān)系，用方程來解決這個(gè)問題？你找到等量關(guān)系了嗎？你找到等量關(guān)系了嗎？14-14-×14=12，x=14是方程的解。解：設(shè)八月用水x噸。x－x=12x=12x=14答：八月用水14噸。14×14×（1－）=12，x=14是方程的解。解：設(shè)八月用水x噸。（1－)x=12x=12x=14答：八月用水14噸。小結(jié)：利用方程解決與分?jǐn)?shù)運(yùn)算有關(guān)的實(shí)際問題，根據(jù)我們的分析和數(shù)量關(guān)系式，已知比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾，求這個(gè)數(shù)，我們一般可以用方程來解決。淘氣家八月用水14噸，比九月多用了，九月用水多少噸？解：設(shè)九月用水x噸x+x=14x=14x=12答：九月用水12噸。書店運(yùn)來一批文藝書，售出后，還剩下1260本。這批文藝書共有多少本？學(xué)習(xí)任務(wù)：找出題中的等量關(guān)系，畫一畫、說一說。解：設(shè)九月用水x噸。x－x=1260x=1260x=3360答：這批文藝書共有3360本。解：設(shè)九月用水x噸。（1－）x=1260x=1260x=3360答：這批文藝書共有3360本。知識(shí)點(diǎn)01：已知比一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)主要考察的是對(duì)分?jǐn)?shù)增減運(yùn)算的逆向應(yīng)用。題目通常會(huì)給出某個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾，然后給出具體的結(jié)果，要求求出原來的數(shù)。解題步驟：理解題意：明確題目中給出的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”以及具體的結(jié)果。設(shè)立未知數(shù)：設(shè)原來的數(shù)為x。建立方程：根據(jù)題目描述，建立包含x的方程。解方程：解出x的值。知識(shí)點(diǎn)02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量這個(gè)知識(shí)點(diǎn)主要考察的是對(duì)分?jǐn)?shù)比例的應(yīng)用。題目會(huì)給出總量中的一部分量所占的比例以及另一部分量的具體數(shù)值，要求求出總量。解題步驟：理解題意：明確題目中給出的比例和具體數(shù)值。設(shè)立未知數(shù)：設(shè)總量為x。建立方程：根據(jù)題目描述，利用比例關(guān)系建立包含x的方程。解方程：解出x的值。知識(shí)點(diǎn)03：運(yùn)用轉(zhuǎn)化法或倒推法解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題在解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，轉(zhuǎn)化法和倒推法是非常有效的解題技巧。轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化法是將題目中的復(fù)雜條件或問題轉(zhuǎn)化為簡單、易于理解的形式。例如，可以將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或?qū)?fù)雜的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單的等式。倒推法：倒推法是從問題的結(jié)果出發(fā)，逆向推導(dǎo)出問題的初始條件或已知條件。這種方法在解決逆向思維問題時(shí)特別有效。易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：已知比一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)：理解題意不清：學(xué)生可能沒有正確理解題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤。設(shè)立方程錯(cuò)誤：在設(shè)立未知數(shù)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)將未知數(shù)設(shè)立在錯(cuò)誤的位置，導(dǎo)致方程建立不正確。計(jì)算錯(cuò)誤：在解方程的過程中，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，導(dǎo)致最終答案不正確。解題策略：仔細(xì)審題，明確題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”是指哪個(gè)數(shù)與哪個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)立未知數(shù)，通常設(shè)要求的數(shù)為未知數(shù)。根據(jù)題目描述，建立包含未知數(shù)的方程。解方程，得出未知數(shù)的值。易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量求總量易錯(cuò)點(diǎn)：比例關(guān)系理解不清：學(xué)生可能沒有正確理解題目中給出的比例關(guān)系，導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤。計(jì)算錯(cuò)誤：在根據(jù)比例關(guān)系計(jì)算總量時(shí)，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。解題策略：仔細(xì)審題，明確題目中給出的比例關(guān)系以及另一部分量的具體數(shù)值。設(shè)立未知數(shù)，通常設(shè)總量為未知數(shù)。根據(jù)比例關(guān)系，建立包含未知數(shù)的方程。解方程，得出未知數(shù)的值，即總量。易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：運(yùn)用轉(zhuǎn)化法或倒推法解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題易錯(cuò)點(diǎn)：轉(zhuǎn)化方法不當(dāng)：學(xué)生可能沒有找到合適的轉(zhuǎn)化方法，導(dǎo)致問題復(fù)雜化。倒推步驟錯(cuò)誤：在使用倒推法時(shí)，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)步驟錯(cuò)誤，導(dǎo)致最終答案不正確。解題策略：轉(zhuǎn)化法：仔細(xì)審題，找出題目中的關(guān)鍵信息。嘗試將題目中的復(fù)雜條件或問題轉(zhuǎn)化為簡單、易于理解的形式。轉(zhuǎn)化后，按照常規(guī)方法解題。倒推法：從問題的結(jié)果出發(fā)，逆向推導(dǎo)出問題的初始條件或已知條件。逐步倒推，每一步都要確保正確無誤。得出最終答案后，檢查是否符合題目要求。考點(diǎn)01：已知比一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)【典例精講】（23-24六年級(jí)上·廣東湛江·期末）學(xué)校圖書館有故事書420本，______，科技書有多少本？為了解決這個(gè)問題，樂樂補(bǔ)充一條信息后，設(shè)科技書有x本，列出的方程是“”，樂樂補(bǔ)充的信息是（

）。A．故事書比科技書少 B．故事書比科技書多C．科技書比故事書少 D．科技書比故事書多【答案】A【思路點(diǎn)撥】A．如果補(bǔ)充“故事書比科技書少”，科技書本數(shù)是單位“1”，故事書是科技書的（1－），設(shè)科技書有x本，根據(jù)科技書本數(shù)×故事書對(duì)應(yīng)分率＝故事書本數(shù)，列方程；B．如果補(bǔ)充“故事書比科技書多”，科技書本數(shù)是單位“1”，故事書是科技書的（1＋），設(shè)科技書有x本，根據(jù)科技書本數(shù)×故事書對(duì)應(yīng)分率＝故事書本數(shù)，列方程；C．如果補(bǔ)充“科技書比故事書少”，故事書本數(shù)是單位“1”，科技書是故事書的（1－），故事書本數(shù)×科技書對(duì)應(yīng)分率＝科技書本數(shù)；D．如果補(bǔ)充“科技書比故事書多”，故事書本數(shù)是單位“1”，科技書是故事書的（1＋），故事書本數(shù)×科技書對(duì)應(yīng)分率＝科技書本數(shù)。【規(guī)范解答】A．補(bǔ)充“故事書比科技書少”，設(shè)科技書有x本，可以列出方程：；B．補(bǔ)充“故事書比科技書多”，設(shè)科技書有x本，可以列出方程：；C．補(bǔ)充“科技書比故事書少”，可以直接列式：420×（1－）；D．補(bǔ)充“科技書比故事書多”，可以直接列式：420×（1＋）。樂樂補(bǔ)充的信息是故事書比科技書少。故答案為：A【變式演練01】（23-24六年級(jí)上·遼寧·課后作業(yè)）說一說圖意，再列式計(jì)算。【答案】說一說見詳解；20支【思路點(diǎn)撥】從圖中可知，鋼筆有25支，鋼筆比中性筆的支數(shù)多，把中性筆的支數(shù)看作單位“1”，則鋼筆的支數(shù)是中性筆的（1＋），單位“1”未知，用鋼筆的支數(shù)除以（1＋），即可求出中性筆的支數(shù)。【規(guī)范解答】圖意：鋼筆有25支，鋼筆比中性筆的支數(shù)多，中性筆有多少支？25÷（1＋）＝25÷＝25×＝20（支）即中性筆有20支。【變式演練02】（23-24六年級(jí)上·陜西商洛·期末）元旦假期，奇奇和爸爸媽媽一起去姥姥家。請(qǐng)你根據(jù)下面的信息幫奇奇解決問題。（1）如果今年還坐火車去姥姥家，那么需要用（

）小時(shí)。（2）如果今年坐高鐵去姥姥家，那么需要用多長時(shí)間？【答案】（1）20（2）8小時(shí)【思路點(diǎn)撥】（1）去年乘火車用了24小時(shí)，今年火車比去年提前的時(shí)間到達(dá)。把去年乘火車用的時(shí)間看作單位“1”，則今年乘火車用的時(shí)間是去年的（1－），根據(jù)“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算”，用24乘（1－），即可求出今年坐火車需要的時(shí)間。（2）現(xiàn)在火車比高鐵多花的時(shí)間，把坐高鐵花的時(shí)間看作單位“1”，則現(xiàn)在坐火車需要的時(shí)間是高鐵時(shí)間的（1＋），根據(jù)“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法計(jì)算”，用求得的現(xiàn)在坐火車需要的時(shí)間除以（1＋），即可求出坐高鐵需要的時(shí)間。【規(guī)范解答】（1）24×（1－）＝24×＝20（小時(shí)）則如果今年還坐火車去姥姥家，需要用20小時(shí)。（2）20÷（1＋）＝20÷＝20×＝8（小時(shí)）答：如果今年坐高鐵去姥姥家，需要8小時(shí)。【變式演練03】（23-24六年級(jí)上·廣東湛江·期末）“面人”是一種民間傳統(tǒng)的手工藝品。手工課上淘氣捏一個(gè)唐僧用了250克面粉，捏一個(gè)唐僧需要的面粉比捏一個(gè)豬八戒少。捏一個(gè)豬八戒需要多少克面粉？【答案】300克【思路點(diǎn)撥】把捏一個(gè)豬八戒需要的面粉看作單位“1”，捏一個(gè)唐僧需要的面粉是捏一個(gè)豬八戒的（1－），根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用250÷（1－）即可求出捏一個(gè)豬八戒需要多少克面粉。【規(guī)范解答】250÷（1－）＝250÷＝250×＝300（克）答：捏一個(gè)豬八戒需要300克面粉。考點(diǎn)02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量【典例精講】（22-23六年級(jí)上·山西忻州·期末）一堆貨物，運(yùn)走了，還剩30噸，這堆貨物原來有噸。【答案】180【思路點(diǎn)撥】將原來噸數(shù)看作單位“1”，運(yùn)走了，還剩（1－），剩下的噸數(shù)÷對(duì)應(yīng)分率＝原來的噸數(shù)，據(jù)此列式計(jì)算。【規(guī)范解答】30÷（1－）＝30÷＝30×6＝180（噸）這堆貨物原來有180噸。【變式演練01】（23-24六年級(jí)上·福建莆田·期末）為了豐富學(xué)生的課余生活，逸夫小學(xué)開展了學(xué)生課后社團(tuán)活動(dòng)。六年級(jí)原來參加圍棋社的女生人數(shù)是男生人數(shù)的，后來又增加了10名女生，這時(shí)男生人數(shù)是女生的。原來參加圍棋社的女生有多少名？【答案】10名【思路點(diǎn)撥】男生人數(shù)沒變，將男生人數(shù)看作單位“1”，后來又增加了10名女生，這時(shí)男生人數(shù)是女生的，則女生人數(shù)是男生人數(shù)的，增加的女生人數(shù)對(duì)應(yīng)分率是（－），增加的女生人數(shù)÷對(duì)應(yīng)分率＝男生人數(shù)，男生人數(shù)×原來女生對(duì)應(yīng)分率＝原來女生人數(shù)，據(jù)此列式解答。【規(guī)范解答】10÷（－）＝10÷＝10×＝15（名）15×＝10（名）答：原來參加圍棋社的女生有10名。【變式演練02】（23-24六年級(jí)上·河南南陽·期中）為美化校園環(huán)境，學(xué)校粉刷宣傳長廓，已刷了，還剩50平方米沒有刷，宣傳長廓的總面積是多少平方米？【答案】300平方米【思路點(diǎn)撥】由題意可知，已刷了是將整個(gè)宣傳長廊需要粉刷的面積看作單位“1”，沒有刷的面積占總面積的（），已知還剩50平方米沒有刷，求單位“1”的量，總面積等于沒有刷的面積除以沒有刷的部分所占的分率，據(jù)此解答。【規(guī)范解答】（平方米）答：宣傳長廓的總面積是300平方米。【變式演練03】（23-24六年級(jí)上·河南周口·期末）食堂新買來一批大米，第一周吃了總數(shù)的，后來又吃了總數(shù)的，現(xiàn)在還剩130kg，食堂新買來的這批大米有（

）kg。A．360 B．290 C．450 D．440【答案】C【思路點(diǎn)撥】第一周吃了總數(shù)的，后來又吃了總數(shù)的，則剩下的大米所占的分率為1－－，將大米總數(shù)量看作單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，已知剩下大米所占的分率，也知道剩下大米的具體數(shù)值，求單位“1”用除法，即用剩下大米的具體數(shù)值除以其所占的分率，即可求出這批大米的總數(shù)量。【規(guī)范解答】由分析可得：130÷（1－－）＝130÷（－）＝130÷（－）＝130÷＝130×＝450（kg）食堂新買來的這批大米有450kg。故答案為：C考點(diǎn)03：用轉(zhuǎn)化法或倒推法解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題【典例精講】三個(gè)袋中各裝一些球，現(xiàn)從甲袋中取出的小球放入乙袋，然后乙袋中取出現(xiàn)在的放入丙袋，最后再從丙袋中取出現(xiàn)在的放入甲袋，那么各袋中的球都是18個(gè)，原來甲袋中有（

）個(gè)球。A．21 B．24 C．27 D．40【答案】B【思路點(diǎn)撥】各袋中的球數(shù)都是18個(gè)為突破口，已知從丙袋中取出放入甲袋后，丙袋球數(shù)是18個(gè)，則丙袋把球拿走之前是18÷（1－）＝20（個(gè)），則可知從丙袋中放入甲袋的球的是20×＝2（個(gè)）；因?yàn)楝F(xiàn)在各袋中的球都是18個(gè)，則甲袋放入2個(gè)球之前是18－2＝16（個(gè)）球，又知先從甲袋中取出了的小球放入乙袋，即從甲袋中拿走后是16個(gè)球，那么甲袋中原有球的個(gè)數(shù)是16÷（1－）＝24（個(gè)）球。【規(guī)范解答】18÷（1－）＝18÷＝18×＝20（個(gè)）18－20×＝18－2＝16（個(gè)）16÷（1－）＝16÷＝16×＝24（個(gè)）則原來甲袋中有球24個(gè)。故答案為：B【考點(diǎn)評(píng)析】本題重在區(qū)分好拿走前和放入后的單位“1”，是不同的，還要靈活應(yīng)用倒推法。【變式演練01】（21-22六年級(jí)上·山東德州·期末）有一根繩子，第一次剪下一半又1米，第二次剪下剩下的一半又1米，還剩1米。這根繩子原來有多長？（

）A．7米 B．8米 C．9米 D．10米【答案】D【思路點(diǎn)撥】假設(shè)原來有x米，根據(jù)題意可列方程為：（x÷2－1）÷2－1＝1，據(jù)此解出方程即可。【規(guī)范解答】解：設(shè)繩子原來有x米。（x÷2－1）÷2－1＝1（x÷2－1）÷2－1＋1＝1＋1（x÷2－1）÷2＝2（x÷2－1）÷2×2＝2×2x÷2－1＝4x÷2－1＋1＝4＋1x÷2＝5x÷2×2＝5×2x＝10繩子原來有10米。故答案為：D【考點(diǎn)評(píng)析】本題可用列方程解決問題，也可用逆推法解決問題。【變式演練02】（21-22六年級(jí)上·湖南永州·期中）修一段路，第一天修了300米，第二天修了余下的一半少200米，第三天修了余下的多100米，這時(shí)還余下500米沒有修。這段路全長多少米？【答案】4700米【思路點(diǎn)撥】先把第二天修完后余下的長度看作單位“1”，則（500＋100）米占它的（1－），單位“1”未知，用除法求出第二天修完后余下的長度；再把第一天修完后余下的長度看作單位“1”，則第二天修完后余下長度減去200米的長度占它的（1－），單位“1”未知，用除法求出第一天修完后余下的長度；最后用第一天修的長度加上第一天修完后余下的長度，即是這段路的全長。【規(guī)范解答】第二天修完后余下的長度：（500＋100）÷（1－）＝600÷＝600×4＝2400（米）第一天修完后余下的長度：（2400－200）÷（1－）＝2200÷＝2200×2＝4400（米）全長：4400＋300＝4700（米）答：這段路全長4700米。【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用，利用“倒推法”解題，找出單位“1”，區(qū)分單位“1”的不同，單位“1”未知，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義解答。【變式演練03】（21-22六年級(jí)上·湖北武漢·期末）風(fēng)采大賽之后，老師拿了一箱獎(jiǎng)品發(fā)給獲獎(jiǎng)的同學(xué)們。將其中的發(fā)給一等獎(jiǎng)的同學(xué)，剩下的發(fā)給二等獎(jiǎng)的同學(xué)，一、二等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下的發(fā)給三等獎(jiǎng)的同學(xué)，這時(shí)箱子里還剩下15份獎(jiǎng)品，問箱子里原來有多少份獎(jiǎng)品？【答案】45份【思路點(diǎn)撥】先把一、二等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下獎(jiǎng)品的份數(shù)看作單位“1”，那么箱子里還剩下15份獎(jiǎng)品占它的，單位“1”未知，用除法計(jì)算，求出一、二等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下獎(jiǎng)品的份數(shù)；再把一等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下獎(jiǎng)品的份數(shù)看作單位“1”，那么一、二等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下獎(jiǎng)品的份數(shù)占它的，單位“1”未知，用除法計(jì)算，求出一等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下獎(jiǎng)品的份數(shù)；最后把箱子里原來有獎(jiǎng)品的總數(shù)看作單位“1”，那么一等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下獎(jiǎng)品的份數(shù)占它的，單位“1”未知，用除法計(jì)算，求出箱子里原來有獎(jiǎng)品的總數(shù)。【規(guī)范解答】一、二等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下：（份）一等獎(jiǎng)發(fā)完后剩下：（份）原來的獎(jiǎng)品總數(shù)：（份）答：箱子里原來有45份獎(jiǎng)品。【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用，找出單位“1”，單位“1”未知，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列式計(jì)算；注意三個(gè)單位“1”的不同，采用倒推法解答。基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1．（2024六上·慈溪期末）修一段100米長的路，甲單獨(dú)修10天完成，乙單獨(dú)修15天完成。現(xiàn)在甲、乙合作6天，下列說法正確的是（）。A．還沒有完成 B．正好完成C．已經(jīng)提前完成 D．無法確定【答案】B【規(guī)范解答】解：（100÷10＋100÷15）×6

=×6

=100（米）

故答案為：B。

【思路點(diǎn)撥】工作總量÷甲獨(dú)修用的時(shí)間=甲的工作效率，工作總量÷乙獨(dú)修用的時(shí)間=乙的工作效率，（工作總量÷甲獨(dú)修用的時(shí)間+工作總量÷乙獨(dú)修用的時(shí)間）×合作時(shí)間=甲乙合修的工作總量，最后比較合修的工作總量與要修的路長進(jìn)行比較即可解答。2．（2024六上·天臺(tái)期末）甲商品的單價(jià)是360元，乙商品的單價(jià)與甲商品單價(jià)的關(guān)系如圖所示。關(guān)于甲乙兩件商品單價(jià)之間的關(guān)系，下列說法正確的是（）。A．乙和甲的單價(jià)比是6：5 B．乙的單價(jià)是C．乙的單價(jià)比甲少 D．甲的單價(jià)比乙多【答案】D【規(guī)范解答】解：A項(xiàng)中，乙和甲的單價(jià)比是5：6；

B項(xiàng)中，乙的單（6-5）÷6=價(jià)是360×；

C項(xiàng)中，（6-5）÷6=，所以乙的單價(jià)比甲少；

D項(xiàng)中，（6-5）÷5=，所以甲的單價(jià)比乙多。

故答案為：D。

【思路點(diǎn)撥】甲商品是6份，乙商品是5份，所以乙和甲的單價(jià)比是5：6；

乙的單價(jià)=甲的單價(jià)×乙是甲的幾分之幾；

乙的單價(jià)比甲少幾分之幾=（甲的單價(jià)占的份數(shù)-乙的單價(jià)占的份數(shù)）÷甲的單價(jià)占的份數(shù)；

甲的單價(jià)比乙多幾分之幾=（甲的單價(jià)占的份數(shù)-乙的單價(jià)占的份數(shù)）÷乙的單價(jià)占的份數(shù)。3．（2024六上·印江期末）加工400個(gè)零件，師傅單獨(dú)加工要8小時(shí)才能完成，徒弟單獨(dú)加工要10小時(shí)才能完成。如果列式為“”，要解決的問題是（）。A．師徒合作1小時(shí)完成這批零件的幾分之幾B．師徒合作1小時(shí)加工多少個(gè)零件C．師徒合作完成400個(gè)零件需要多少小時(shí)【答案】C【規(guī)范解答】解：(+)表示師傅和徒弟兩人合作的工作效率，1表示工作總量，工作總量÷工作效率=工作時(shí)間，因此，1÷(+)表示師徒合作完成400個(gè)零件需要多少小時(shí)；

故答案為：C。

【思路點(diǎn)撥】把工作總量看做單位“1”，因此，表示師傅的工作效率，表示徒弟的工作效率，據(jù)此解答。4．（2024六上·象山期末）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需30天完成。甲、乙的工作效率之比是。甲、乙兩隊(duì)合做，天可以完成這項(xiàng)工程的。【答案】3：2；8【規(guī)范解答】解：第一問：：=3：2；

第二問：

÷（+）

=÷

=8（天）。

故答案為：3：2；8。

【思路點(diǎn)撥】第一問：把這項(xiàng)工程看作“1”，用分子是1的分?jǐn)?shù)表示出兩隊(duì)的工作效率，寫出工作效率的比并化成最簡整數(shù)比；

第二問：用需要完成的工作量除以兩隊(duì)的工作效率和即可求出完成的天數(shù)。5．（2024六上·丹江口期末）在通常情況下，物體都具有熱脹冷縮的特性。但是水是一種特殊的液體，溫度在4℃以上時(shí)，遵循熱脹冷縮規(guī)律。4℃以下時(shí)，水會(huì)熱縮冷脹。溫度低于0℃，水會(huì)凝固成冰，體積會(huì)明顯變大。所以在生活中，我們不能把瓶裝飲料和啤酒放到冰箱冷凍，否則會(huì)凍裂。（1）夏季常溫下1L水，放入冰箱后水溫變成了3℃，這是水的體積1L。（填大于、等于、小于）（2）體積相等的冰和水，冰的質(zhì)量比水的質(zhì)量少。現(xiàn)在有一塊重9kg的冰，如果一桶水的體積和這塊冰的體積相同，這桶水重kg。【答案】（1）大于（2）10【規(guī)范解答】解：（1）這時(shí)水的體積大于1L；

（2）9÷（1-）

=9÷

=10（kg）。

故答案為：（1）大于；（2）10。

【思路點(diǎn)撥】（1）因?yàn)榉湃氡浜笏疁刈兂闪?℃，小于4℃，水會(huì)熱縮冷脹，那么這時(shí)水的體積大于1L；

（2）這桶水的重量=等體積的冰的重量÷（1-等體積的冰的質(zhì)量比水的質(zhì)量少幾分之幾），據(jù)此作答即可。6．（2024六上·澤普期末）圖書館共有科技書和故事書630本，其中科技書的本數(shù)是故事書的，科技書有本，故事書有本。【答案】140；490【規(guī)范解答】解：故事書的本數(shù)看做7份，科技書的本數(shù)是7×=2；

630÷（7+2）

=630÷9

=70（本）

70×2=140（本）

70×7=490（本）

故答案為：140；490。

【思路點(diǎn)撥】科技書和故事書的總本數(shù)÷總份數(shù)=一份的本數(shù)，一份的本數(shù)×2=科技書的本數(shù)，一份的本數(shù)×7=故事書的本數(shù)。7．（2024六上·義烏期末）遞等式計(jì)算，能簡便的要簡便計(jì)算。【答案】解：

=×48+×48-×48

=12+8-4

=16

=÷[×2]

=÷

=

=58×+×43-

=×（58+43-1）

=×100

=80

=7.8×+2.2×

=（7.8+2.2）×

=10×

=2.5

=×

=

=×15×17+×15×17

=17+15

=32【思路點(diǎn)撥】（1）（3）（4）（6）運(yùn)用乘法分配律計(jì)算；

（2）先算加法，再算乘法，最后算除法；

（5）從左到右依次計(jì)算。8．（2024六上·平湖期末）張師傅帶了一些錢去購買辦公桌椅。這些錢如果全部用來購買桌子，可以買20張；如果全部用來購買椅子，可以買30把。這些錢可以買多少套辦公桌椅？（一張桌子和一把椅子是1套）【答案】解：1÷(+)

=1÷

=12(套)

答：這些錢可以買12套辦公桌椅。【思路點(diǎn)撥】把總錢數(shù)看作單位“1”，那么一張桌子的錢數(shù)就占總錢數(shù)的，一把椅子的錢數(shù)就占總錢數(shù)的；一套桌椅的錢數(shù)就占總錢數(shù)的(+)，用單位“1”除以一套桌椅的分率即可解答。9．（2024六上·鄆城期末）C919大型客機(jī)是中國首款完全按照最新國際適航標(biāo)準(zhǔn)研制的單通道大型干線客機(jī)，具有中國完全的自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)。C919大型客機(jī)的翼展約36m，翼展比機(jī)身的長度短。C919大型客機(jī)的機(jī)身的長度約多少米？【答案】解：36÷（1-）

=36÷

=39（米）

答：C919大型客機(jī)的機(jī)身的長度約39【思路點(diǎn)撥】C919大型客機(jī)的機(jī)身的長度=C919大型客機(jī)的翼展的長度÷（1-翼展比機(jī)身的長度短幾分之幾），據(jù)此代入數(shù)值作答即可。10．（2024六上·黃巖期末）“一年好景君須記，最是橙黃橘綠時(shí)”，果園里橘子大豐收了！今年王奶奶還嘗試了“直播帶貨”，銷量大增，一共賣出了3500千克，其中通過直播賣出的橘子數(shù)量是線下的。線上直播賣出了多少千克?【答案】解：3500÷（1＋）×

=3500÷×

=2000×

=1500（千克）

答：線上直播賣出了1500千克。【思路點(diǎn)撥】線上直播賣出的質(zhì)量=賣出的總質(zhì)量÷（1＋線上直播占的分率）×線上直播占的分率。11．（2024六上·確山期末）兩位師傅給一間房貼地磚。張師傅單獨(dú)做5天可以貼完，李師傅單獨(dú)做4天可以貼完，他們合做2天后，還剩下8平方米沒有貼。這間房有多少平方米?【答案】解：（+）×2

=×2

=

8÷（1-）

=8÷

=80（平方米）答：這間房有80平方米。【思路點(diǎn)撥】他們合做2天，完成這間房幾分之幾=張師傅和李師傅每天一共貼幾分之幾×2，他們合做2天后還剩這間房的幾分之幾=1-他們合做2天完成這間房的幾分之幾，所以所以這間房的面積=還剩的面積÷他們合做2天后還剩這間房的幾分之幾。12．（2024六上·涼州期末）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)的工作效率是甲隊(duì)的。如果甲、乙兩隊(duì)合做，幾天可以完成這項(xiàng)工程的？【答案】解：×=

÷（+）

=÷

=5（天）

答：5天可以完成這項(xiàng)工程的。【思路點(diǎn)撥】乙隊(duì)的工作效率=甲隊(duì)的工作效率×乙隊(duì)的工作效率是甲隊(duì)的幾分之幾，把這項(xiàng)工程看成單位“1”，那么完成這項(xiàng)工程的需要的天數(shù)=÷甲隊(duì)和乙隊(duì)的工作效率之和，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。13．（2024六上·亭湖期末）為迎接新年，實(shí)驗(yàn)小學(xué)六(3)班布置教室，買了一個(gè)大燈籠和12個(gè)小燈籠，一共花費(fèi)112元.已知一個(gè)小燈籠是一個(gè)大燈籠單價(jià)的。小燈籠和大燈籠的單價(jià)各是多少元?【答案】解：1÷=4（個(gè)）

112÷（4+12）

=112÷16

＝7（元）7÷=28（元）

答：小燈籠的單價(jià)是7元，大燈籠的單價(jià)是28元。【思路點(diǎn)撥】一個(gè)大燈籠相當(dāng)于小燈籠的個(gè)數(shù)=1÷一個(gè)小燈籠是一個(gè)大燈籠單價(jià)的幾分之幾，所以小燈籠的單價(jià)=一個(gè)大燈籠和12個(gè)小燈籠一共的錢數(shù)÷（12+4），大燈籠的單價(jià)=小燈籠的單價(jià)÷乙個(gè)小燈籠是一個(gè)大燈籠單價(jià)的幾分之幾，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。能力拔高練14．（2023六上·郯城月考）今年的產(chǎn)量比去年多，今年的產(chǎn)量相當(dāng)于去年的（）。A． B． C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：1＋=

÷1=。

故答案為：C。

【思路點(diǎn)撥】把去年的產(chǎn)量看作單位“1”，今年的產(chǎn)量=1＋=，今年的產(chǎn)量相當(dāng)于去年的分率=今年的產(chǎn)量÷去年的產(chǎn)量。15．（2023六上·龍崗期中）一瓶牛奶，如果喝掉后，連瓶重800g；如果喝掉一半后，連瓶重700g。則瓶子重（）gA．300 B．400 C．500 D．600【答案】B【規(guī)范解答】解：（800-700）÷（-）

=100÷

=600（克）

700-600×

=700-300

=400（克）。

故答案為：B。

【思路點(diǎn)撥】瓶子的質(zhì)量=喝掉一半后連瓶的總質(zhì)量-總質(zhì)量×；其中，總質(zhì)量=（喝掉后連瓶的質(zhì)量-喝掉一半后連瓶的質(zhì)量）÷（-）。16．學(xué)校一次課外活動(dòng)，缺勤人數(shù)是出勤人數(shù)的10％，后來又有2人因病請(qǐng)假，這時(shí)缺勤人數(shù)是出勤人數(shù)的，這個(gè)學(xué)校課外活動(dòng)小組共有（）A．99人 B．90人 C．100人【答案】A【規(guī)范解答】解：10＋1=11

8＋1=9

2÷（-）

=2÷

=99（人）。

故答案為：A。

【思路點(diǎn)撥】學(xué)校組織這次課外活動(dòng)的總?cè)藬?shù)是一定的，原來缺勤人數(shù)是出勤人數(shù)的10%（即），也就是缺勤人數(shù)是出勤人數(shù)的，后來又有2人因病請(qǐng)假，這時(shí)缺勤人數(shù)是出勤人數(shù)的，這時(shí)缺勤人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，那么這個(gè)學(xué)校課外活動(dòng)小組共有的人數(shù)=2÷（-）。17．（2024六上·沐川期末）在一個(gè)減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)和差的和是140，減數(shù)是差的。這個(gè)減法算式的差是，減數(shù)是。【答案】42；28【規(guī)范解答】解：（1+）++1=，140÷=42，所以減法算式的差是42；42×=28，所以減數(shù)是28。

故答案為：42；28。

【思路點(diǎn)撥】把差看成單位“1”，減數(shù)則是，所以被減數(shù)是1+=，所以差=被減數(shù)、減數(shù)和差的和÷（++1），減數(shù)=差×減數(shù)是差的幾分之幾。18．（2023六上·如皋月考）六（1）班的同學(xué)上體育課時(shí)整齊的排列成兩隊(duì)，樂樂數(shù)了數(shù)，排在他前面的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的，排在他后面的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的。樂樂這一隊(duì)一共有人，從前往后數(shù)，樂樂排在第位。【答案】15；7【規(guī)范解答】解：1÷（1--）

=1÷（-）

=1÷

=15（人）

15×＋1

=6＋1

=7（位）。

故答案為：15；7。

【思路點(diǎn)撥】樂樂這一隊(duì)的總?cè)藬?shù)=樂樂1人÷（1-樂樂前面人數(shù)占的分率-樂樂后面人數(shù)占的分率）；樂樂排的位次數(shù)=樂樂這一隊(duì)的總?cè)藬?shù)×樂樂前面人數(shù)占的分率＋1人。19．（2023六上·漢川期中）印度也像中國一樣有著燦爛的文化，古代印度有這樣一道有趣的數(shù)學(xué)題：有一群蜜蜂，其中落在牡丹花上，落在梔子花上，這兩者的差的三倍，飛向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉蘭花之間飛來飛去，共有只蜜蜂。【答案】15【規(guī)范解答】解：（-）×3

=×3

=

1

=--

=-

=

1÷=15（只）。

故答案為：15。

【思路點(diǎn)撥】共有蜜蜂的只數(shù)=最后剩下蜜蜂的只數(shù)÷最后一只蜜蜂占的分率；其中，最后一只蜜蜂占的分率=1-落在牡丹花上的分率-落在梔子花上的分率-飛向月季花的分率。20．（2020六上·武侯期末）用遞等式計(jì)算。（1）（3.5+）÷-1.5（2）[+（-1.21×）]÷40%【答案】（1）（3.5+）÷-1.5

=（+）×-1.5

=（+）×-1.5

=×-1.5

=-1.5

=0（2）[+（-1.21×）]÷40%

=[21.15+（5.4-0.55