第四章圖形的相似6利用相似三角形測高數學九年級上冊BS版課前預習典例講練目錄CONTENTS數學九年級上冊BS版01課前預習

數學九年級上冊BS版02典例講練

如圖，

AB

表示一個窗戶的高，

AE

和

BD

表示射入室內的光線，

窗戶的下端到地面的距離

BC

＝1.2m.已知某一時刻

BC

在地面上

的影長

CD

＝1.8m，

AC

在地面上的影長

CE

＝4.8m，求窗戶的

高度（即

AB

的長）.【思路導航】陽光可認為是一束平行光，則

BD

與

AE

平行，由

此可得出一對相似三角形，由相似三角形的性質可求出

AC

的

長，從而求出

AB

的長，即窗戶的高度.

【點撥】解答此題的關鍵是找出相似三角形，然后根據對應邊

成比例，建立適當的數學模型.

1.如圖，小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長

BA

為15m，然后在點

A

處豎立一根高2m的標桿，測得標桿的影長

AC

為3m，則樓高為（

A

）A.10mB.12mC.15mD.22.5m（第1題圖）A2.如圖，利用標桿

BE

測量建筑物的高度，標桿

BE

高1.5m，測

得

AB

＝2m，

BC

＝14m，則樓高

CD

為

?m.（第2題圖）12

在一次數學活動課上，小芳到操場上測量旗桿的高度，她的測

量方法是：拿一根高3.5m的竹竿直立在離旗桿27m的點

C

處

（如圖），然后沿

BC

方向走到點

D

處，這時目測旗桿頂部

A

與

竹竿頂部

E

恰好在同一直線上，又測得

C

，

D

兩點的距離為3m，小芳的目高為1.5m，利用她所測數據，求旗桿的高.【思路導航】過點

F

作

FG

⊥

AB

于點

G

，交

CE

于點

H

，利用相

似三角形的判定得出△

AGF

∽△

EHF

，再利用相似三角形的性

質即可求出旗桿的高.解：設旗桿高

AB

＝

x

m.如圖，過點

F

作

FG

⊥

AB

于點

G

，交

CE

于點

H

.

由題意可知，

CE

∥

AB

，∴△

AGF

∽△

EHF

.

由題意可知，

FD

＝1.5m，

HF

＝

CD

＝3m，∴

GF

＝27＋3＝30（m），

EH

＝3.5－1.5＝2（m），

AG

＝（

x

－1.5）m.

故旗桿的高為21.5m.【點撥】解決此題的關鍵是在正確理解題意的基礎上，建立數

學模型，利用相似三角形的對應邊成比例解決問題.

如圖，某同學想測量旗桿的高度，他在某一時刻測得1m長的竹

竿豎直放置時影長為1.5m，在同一時刻測量旗桿的影長時，因

旗桿靠近一樓房，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，

他測得落在地面上的影長為21m，留在墻上的影高為2m，求旗

桿的高度.解：如答圖，過點

C

作

CE

⊥

AB

于點

E

，連接

AC

.

∵

CD

⊥

BD

，

AB

⊥

BD

，∴∠

EBD

＝∠

CDB

＝∠

CEB

＝90°.∴四邊形

BDCE

為矩形.∴

CE

＝

BD

＝21m，

BE

＝

CD

＝2m.設

AE

＝

x

m.則1∶1.5＝

x

∶21，解得

x

＝14.∴

AB

＝

AE

＋

BE

＝14＋2＝16（m）.故旗桿的高度為16m.答圖

如圖，為測量學校圍墻外直立電線桿

AB

的高度，小亮在操場上

點

C

處直立高3m的竹竿

CD

，然后退到點

E

處，此時恰好看到竹

竿頂端

D

與電線桿頂端

B

重合；小亮又在點

C1處直立高3m的竹

竿

C1

D1，然后退到點

E1處，此時恰好看到竹竿頂端

D1與電線桿

頂端

B

重合.小亮的眼睛離地面的高度

EF

＝1.5m，量得

CE

＝

2m，

EC1＝6m，

C1

E1＝3m.（1）△

FDM

∽

?，△

F1

D1

N

∽

?；（2）求電線桿

AB

的高度.△

FBG

△

F1

BG

【思路導航】（1）根據平行線可找相似三角形；（2）利用相

似三角形的對應邊成比例可得相關的兩個比例式，求得

BG

的

長，即可求得

AB

的長.（1）【解析】∵

DC

⊥

AE1，

D1

C1⊥

AE1，

BA

⊥

AE1，∴

DC

∥

D1

C1∥

BA

.

∴△

FDM

∽△

FBG

，△

F1

D1

N

∽△

F1

BG

.

故答案

為△

FBG

，△

F1

BG

.

【點撥】解這類題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題，本題

只要把實際問題抽象到相似三角形中，利用對應邊成比例列出

方程即可求解.

如圖，強強同學為了測量學校一棵筆直的大樹

OE

的高度，先在

操場上點

A

處放一面平面鏡，從點

A

處后退1m到點

B

處，恰好

在平面鏡中看到樹的頂部

E

的像；再將平面鏡向后移動4m，放

在點

C

處（即

AC

＝4m），從點

C

處向后退1.5m到點

D

處，恰

好再次在平面鏡中看到大樹的頂部

E

的像，測得強強的眼睛距

地面的高度

FB

，

GD

為1.5m.已知點