1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示人教A

版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第一章第三節(jié)復(fù)習(xí)回顧

空間向量的坐標(biāo)表示：設(shè)

e,e?,e3為單位正交基底對(duì)于空間任一向量p,

由空間向量基本定理，存在

有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使p=xe?+ye?+ze?x,y,z叫

做P

在單位正交基

底e,e?,e?

下的坐標(biāo)，記作p=(x,y,z)空間向量p

坐標(biāo)(x,y,z)空間向量的運(yùn)算：加法：C=a+b減法：c=a-b數(shù)

乘

：C=λa數(shù)量積：a.b=1lilb|cos<a,b>空間向量的幾種特殊關(guān)系：平行：allb(b≠0)→a=λi垂

直

：alb→a.b=0空間向量的模與夾角：

d,<a,b>平面向量空間向量向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1、加2、數(shù)3、數(shù)個(gè)1、平行2、垂直：1、模長(zhǎng)：2、夾角：類比是我們探究規(guī)律的重要方3

的距離：法設(shè)a=(a,b,c?),b=(a?,b?,C?),C=(a?,b?,c?)加法：

a+b=(a?+a?,b?+b?,c?+c?)減法：

a-b=(a?-a?,b?-b?,c?-c?)數(shù)乘：

λa=(λa,λb,2c?)

O數(shù)量積：a.b=aa?+b?b?+c?C?探究新知1、空

間向量加減法、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示你能對(duì)這些運(yùn)算的生標(biāo)表示加以證明嗎?抓住根本：空間向量的坐標(biāo)表示!探究新知2、

空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示平行：alIb(b≠0)→a=λb?a=λa?

,b?=λb?,c?=λc?(λ∈R)垂直：

a

⊥b?a.b=0?q?a?+b?b?+G?c?=0兩個(gè)空間向量平行與兩個(gè)平面向量平行的條件本

質(zhì)上是一致的，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為λ.探究新知3、長(zhǎng)度、夾角、兩點(diǎn)間距離公式a|=√

空間向量長(zhǎng)度的幾何意義表示長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)度.注意：

①

∈[0°,180°]②當(dāng)

<a,

b>=

0°,9

0

°,180°時(shí)

，兩向量分別同向、垂直、反向XB原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)AB=OB-OA=(az-a?,b2-b,C2-C?)ZAB[=√AB·AB在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)

A(a,b,c?),B(a?,b?,C?),A,B兩點(diǎn)間的距離探究新知B(a?則當(dāng)堂檢測(cè)(1)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),(2)已知a=(-1,x,3),b=(2,-4,y),(3)若向量a=(x,4,5),b=(1,-2,2),的余弦值為

,

求x的值。且

a

⊥b

.求x的值且a

//b.求x+y的值且a與b的夾角例題分析如圖，在正方體ABCD-A?BC?D?中，點(diǎn)E,F

分別是AB,CD

的一個(gè)四等分點(diǎn)，求BE

與

DF?

所成角的余弦值.法一：幾何法(定義)法二：向量法例題分折如圖，在正方體ABCD-A?BC?D?

中，點(diǎn)E,F

分別是AB,CD

的一個(gè)四等分點(diǎn)，求BE

與

DF?所成角的余弦值.法一：幾何法(定義)法二：向量法【方法提煉】①建系、讀取點(diǎn)坐標(biāo)②構(gòu)造向量并坐標(biāo)化⑤進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，

獲得幾何結(jié)論例題分折如圖，在正方體ABCD-A?BC?D?中

，點(diǎn)E,F

分別是AB,CD

的一個(gè)四等分點(diǎn)，求BE

與

DF

所成角的余弦值.法一：幾何法(定義)法二：向量法【方法提煉】①建系、讀取點(diǎn)坐標(biāo)②構(gòu)造向量并坐標(biāo)化⑤進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，獲得幾何結(jié)論變

式

1

:若點(diǎn)E,F

分別是BB,D?B?的中點(diǎn)，求證EF⊥DA?

.例題分折如圖，在正方體ABCD-A?BC?D?

中，點(diǎn)E,F

分別是AB,CD

的一個(gè)四等分點(diǎn)，求BE

與

DF

所成角的余弦值.法一：幾何法(定義)法二：向量法【方法提煉】①建系、讀取點(diǎn)坐標(biāo)②構(gòu)造向量并坐標(biāo)化⑤進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，獲得幾何結(jié)論變式1:若點(diǎn)E,F分別是BB,D?B?的中點(diǎn)，求證EF⊥DA.變式2:G是

BB?

的一個(gè)靠近點(diǎn)B

的四等分點(diǎn)，H

為DD?

上的一點(diǎn)，

若GH⊥DF,

試確定H點(diǎn)的位置.(課本97頁(yè)練習(xí)3)如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求DB?與CM所成角的余弦值.能力提升如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A?B?C?D?

中，點(diǎn)P在線段CC?上，且CC?=3CP,Q

為CD上一

點(diǎn)，若BQ⊥平面

AD?P,試

確

定Q點(diǎn)的位置.演練反饋1、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示(1)空間向量