中考數學專題動態幾何問題

第一部分真題精講

【例1】如圖，在梯形45。中，AD//BC,AO=3,DC=5,8c=10,梯形的高為4.動

點”從3點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點

出發沿線段CO以每秒1個單位長度的速度向終點。運動.設運動的時間為，（秒）.

（1）當時，求/的值；

（2）試探究：/為何值時，為等腰三角形.

【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現了兩個動點，很多同

學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分

析動態條件和靜態條件之間的關系求解。對于大多數題目來說，都有一個由動轉靜的瞬間，

就本題而言，M,N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發現，和這

些動態的條件密切相關的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態條件之間也是有關系的。

所以當題中設定MN〃AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發，列出方程,

自然得出結果。

【解析】

解：（1）由題意知，當M、N運動到f秒時，如圖①，過。作。交BC于E點，則

四邊形形區）是平行四邊形.

VAB//DE,AB//MN.

：.DE//MN.（根據第一講我們說梯形內輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形

內，將動態問題轉化成平行時候的靜態問題）

.MCNC（這個比例關系就是將靜態與動態聯系起來的關鍵）

EC-CD

匕」.解得f=笆

10-3517

【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的，很多同學看到等腰三角形，理所當然以為是MN=NC

即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態問題當中碰見等腰三

角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了

較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解

【解析】

（2）分三種情況討論：

①當〃N=NC時，如圖②作NFJ.BC交8c于尸，則有MC=2FC即.（利用等腰三角

形底邊高也是底邊中線的性質）

sinZC=^4

CD5

cosZC=^,

A10-2r=2x—,

5

25

解得.

8

②當MN=MC時,如圖③，過“作M"于H.

則CN=2CH,

3

r=2（10-2z）x-.

60

t=—

17

③當MC=C7V時，

貝以0-2r=f.

10

t=—?

3

綜上所述，當^="、竺或W時，△MNC為等腰三角形.

8173

【例2】在aABC中，ZACB=45?.點D(與點B、C不重合)為射線BC上一動點，連接AD,

以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如圖①，且點D在線段BC上運動.試判斷線段CF與BD之間的位置關

系，并證明你的結論.

(2)如果ABWAC,如圖②，且點D在線段BC上運動.(1)中結論是否成立，為什么？

(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設AC=4a,3C=3,

CD=X,求線段CP的長.(用含X的式子表示)

AA

FF

BD

【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給

出那個“靜止點”，所以需要我們去分析由D運動產生的變化圖形當中，什么條件是不動的。

由題我們發現，正方形中四條邊的垂直關系是不動的，于是利用角度的互余關系進行傳遞,

就可以得解。

【解析】：

(1)結論：CF與BD位置關系是垂直；

證明如下：：AB=AC,ZACB=459,/.ZABC=459.

由正方形ADEF得AD=AF,VZDAF=ZBAC=909,

，NDAB=/FAC,A△DABFAC,，/ACF=/ABD.

AZBCF=ZACB+ZACF=905.即CF±BD.

【思路分析2］這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構筑

一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后

一樣求解。

(2)CF_LBD.⑴中結論成立.

理由是：過點A作AG_LAC交BC于點G,，AC=AG

可證：AGAD^ACAFAZACF=ZAGD=459

ZBCF=ZACB+ZACF=909.即CF_LBDBG

【思路分析3］這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一

樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相

似三角形的比例關系即可求出CP.

(3)過點A作ACUBC交CB的延長線于點Q,

①點D在線段BC上運動時，

VZBCA=455,可求出AQ=CQ=4.DQ=4-x,

易證△AQDSADCP,\

DQAQ4-x4

CP=------FX?QBD

4

②點D在線段BC延長線上運動時，

VZBCA=459,可求出AQ=CQ=4,/.DQ=4+x.

過A作4GLAC交CB延長線于點G,則A4G0WA4b..?.CF±BD,

AAQD^ADCP,

DQAQ4+x4

CP-----FX?

4

【例3】已知如圖，在梯形ABC。中，AD〃BC,AZ)=2,5c=4,點M是AO的中點,

△MBC是等邊三角形.

(1)求證：梯形ABCO是等腰梯形：

(2)動點P、。分別在線段BC和MC上運動，且NA/PQ=60。保持不變.設

【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數要求不算太高，重點還是在考察

幾何方面。第一問純靜態問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和

例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定N

MPQ=60°,這個度數的意義在哪里？其實就是將靜態的那個等邊三角形與動態條件聯系了

起來.因為最終求兩條線段的關系，所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關系.怎么

證相似三角形呢？當然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

(1)證明：是等邊三角形

/.MB=MC,NMBC=NMCB=60°

???”是AD中點

AM=MD

'：AD//BC

：./AMB=/MBC=60°,

ZDMC=ZMCB=60°

/.AAMB沿ADMC

AB=DC

梯形ABC。是等腰梯形.

(2)解：在等邊4MBC中，MB=MC=BC=4,NMBC=/MCB=60°,

ZMPQ=60°

AZBMP+ZBPM=ZBPM+ZQPC=120°(這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣

摩)

/BMP=/QPC

...ABMPsAcaP

.PC=CQ

"：PC=x,MQ^y：.BP=4-x,QC=4—y

x4-y124

-=------?*.y=一廠—x+4

44-尤4(設元以后得出比例關系,輕松化成二次函數的樣子)

【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數，很

輕易就可以求出當X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2,求△PQC

形狀''的問題了。由已知的BC=4,自然看出P是中點，于是問題輕松求解。

（3）解：△PQC為直角三角形

2

VJ=1（X-2）+3

...當y取最小值時，x=PC=2

P是3c的中點，MP1.BC,而ZMPQ=60°,

.?.NCPQ=30。，

.'.XPQC=90°

以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關鍵就在于當動點移動中出現特殊條件，例如

某邊相等，某角固定時，將動態問題化為靜態問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需

要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思

路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.

【例4】已知正方形ABCD中，E為對角線3D上一點，過E點作EF工BD交BC于F,連

接。尸，G為。尸中點，連接EG,CG.

（1）直接寫出線段EG與CG的數量關系；

（2）將圖1中尸繞8點逆時針旋轉45。，如圖2所示，取OF中點G,連接EG,CG,.

你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明.

（3）將圖1中ABE5繞B點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的

結論是否仍然成立？（不要求證明）

【思路分析11這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉題。從旋轉45。到旋轉任意

角度，要求考生討論其中的不動關系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊

中線自然相等。第二問將4BEF旋轉45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題

的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關系，如何構建一對我們想要的

全等三角形就成為了分析的關鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊

形ADFE,我們會發現這是一個梯形，于是根據我們在第一講專題中所討論的方法，自然想

到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現了。

(1)CG=EG

(2)(1)中結論沒有發生變化，即CG=EG.

證明：連接AG,過G點作MN_LAO于與的延長線交于N點.

在\DAG與&DCG中，

AD=CD,ZADG=NCDG,DG=DG,

：.\DAG烏\DCG.

AG=CG.

在\DMG與RFNG中，

,/ZDGM=NFGN,FG=DG,NMDG=NNFG,

：.ADMG咨AFNG.

：.MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN

在RtAAMG與RtXENG中,

'：AM=EN,MG=NG,

：.\AMG名\ENG.

：.AG=EG.

：.EG=CG

圖2

【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是

我們不應該止步于此。將這道題放在動態問題專題中也是出于此原因，如果4BEF任意旋轉,

哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應該如何思考。建議有余力的同學自

己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在4BEF的旋轉過程中，始終不變的依然是

G點是FD的中點。可以延長一倍EG到H,從而構造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF

這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角

形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關系就可以得證了。

(3)(1)中的結論仍然成立.

圖3

【例5】已知正方形ABCD的邊長為6cm,點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射

線DC于點F,將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B，處.

(1)當——=1時，CF=cm,

CE

(2)當——=2時，求sinNDAB'的值;

CE

BE

（3）當生=X時（點C與點E不重合），請寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部

CE

分的面積y與x的關系式，（只要寫出結論，不要解題過程）.

【思路分析】動態問題未必只有點的平移，圖形的旋轉，翻折（就是軸對稱）也是一大熱

點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1,第二問比例為2,第三問比例任意，

所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻折過程中哪些

條件發生了變化，哪些條件沒有發生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以

軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關系.

尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能

的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。

【解析】

（1）CF=6cm；（延長之后一眼看出，EAZY）

（2）①如圖1,當點E在BC上時，延長AB'交DC于點M,

.BEAB

〃

ABCF,AABE^AFCE,"~CE~~FC

圖1

?祥CF=3.

,/AB〃CF,AZBAE=ZF.

又NBAE=NB'AE,；.NB'AE=/F.MA=MF.

設MA=MF=k,則MC=k-3,DM=9-k.

在RtAADM中，由勾股定理得：

ias

k2=(9-k)2+62,解得k=MA=‘.ADM=-.(設元求解是這類題型中比較重要的方

22

法)

_DM5

sinZDAB

AM13

②如圖2,當點E在BC延長線上時，延長AD交&E于點N,

同①可得NA=NE.

設NA=NE=m,則B，N=12-m.

在Rt"B，N中,由勾股定理，得

13Q

m2=(12-m)2+62?國用得m=AN=—.:.B'N二一.

22

B'N_3

AN-5,

(3)①當點E在BC上時，丫=弛；

X+1

(所求4AB，E的面積即為4ABE的面積，再由相似表示出邊長)

②當點E在BC延長線上時，y=18x~18.

X

【總結】通過以上五道例題，我們研究了動態幾何問題當中點動，線動，乃至整體圖形

動這么幾種可能的方式。動態幾何問題往往作為壓軸題來出，所以難度不言而喻，但是希望

考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態出現，始終把握的都是在變化過程中

那些不變的量。只要條分縷析，一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就

很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結這種問題的一般思路如下：

第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，

要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析

它們和動量之間可能有什么關系，如何建立這種關系。

第二、畫出圖形，進行分析，尤其在于找準運動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量

的關系。如果沒有靜止狀態，通過比例，相等等關系建立變量間的函數關系來研究。

第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現，很多同學

丟分就丟在沒有討論，只是想當然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方

式，如本講例5當中的比例關系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關鍵。

第二部分發散思考

【思考11已知：如圖(1),射線40〃射線5N,AB是它們的公垂線，點。、C分別

在AM、3N上運動(點。與點A不重合、點C與點B不重合)，E是48邊上的動

點(點E與A、B不重合)，在運動過程中始終保持DEJ.EC,且+==

(1)求證：AADEsABEC；

(2)如圖(2),當點E為A8邊的中點時，求證：AD+BC=CD；

(3)設請探究：ABEC的周長是否與加值有關？若有關，請用含有機的代

數式表示ABEC的周長；若無關，請說明理由.

DMDM

BCBCN

第25題(1)第25題(2)

【思路分析】本題動點較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多

個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關系去分析。第三問計算周長,

要將周長的三條線段分別轉化在一類關系當中，看是否為定值，如果是關于M的函數，那

么就是有關，如果是一個定值，那么就無關，于是就可以得出結論了。

【思考2】ZiABC是等邊三角形，P為平面內的一個動點，BP^BA,若(TCNP8c<180。,

且/P8c平分線上的一點。滿足DB=DA,

(1)當BP與弘重合時(如圖1),ZBPD=°；

(2)當8P在NABC的內部時(如圖2),求/BP。的度數；

(3)當BP在NA8C的外部時，請你直接寫出N8PD的度數，并畫出相應的圖形.

BE----------------'C

圖1

【思路分析】本題中，和動點P相關的動量有NPBC,以及D點的位置，但是不動的量就是

BD是平分線并且DB=DA,從這幾條出發，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事

實上，P點的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個圓，那D點是什么呢？留給大家思考

.卜~~

3

【思考3］如圖：已知，四邊形ABCD中，AD//BC,DC±BC,已知AB=5,BC=6,cosB=y.

點。為BC邊上的一個動點，連結。D,以。為圓心，B。為半徑的。。分別交邊AB于點P,

交線段0D于點M,交射線BC于點N,連結MN.

(1)當BO=AD時，求BP的長；

(2)點0運動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當B0為多長時BP=MN；

若不存在，請說明理由；

(3)在點。運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作。C,請直接寫出當。C存在時，

?0與。C的位置關系，以及相應的。C半徑CN的取值范圍。

【思路分析】這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關圓的動點問題。在和圓有關

的問題當中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態條件。本題第一問

比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問則需要用設元的方法表示出MN和BP,從而討

論他們的數量關系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論。

【思考4】在ABCO中，過點C作CEJ_CD交AD于點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉90得

到線段EF(如圖1)

(1)在圖1中畫圖探究：

①當P為射線CD上任意一點(Pi不與C重合)時，連結EPi繞點E逆時針旋轉90得

到線段EQ判斷直線FQ與直線CD的位置關系，并加以證明；

②當P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結EP〃將線段EP2繞點E逆時針旋轉90

得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論.

4

(2)若AD=6,tanB=§,AE=l,在①的條件下，設CPFX,SP1FC1=y＞求＞與X之間的函

數關系式，并寫出自變量X的取值范圍.

【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點動線一起考出來，難倒了不少同

學。事實上就在于如何把握這個旋轉90°的條件。旋轉90°自然就是垂直關系，于是又出

現了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關系建立函

數式，但是實際過程中很多同學依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非常

可惜。建議大家仔細研究這道中考原題，按照上面總結的一般思路去拆分條件，步步為營

的去解答。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

(1)證明：DEVEC,：.NDEC=90°.，NAED+NBEC=90°.

又NA=NB=90°,ZAED+ZEDA=90°.

ZBEC=NEDA.二AADE-"EC.

(2)證明：如圖，過點E作EFHBC,交CD于點F,

,/E是AB的中點，容易證明EF=g(AO+BC).

在RtbDEC中，,/DF=CF,：.EF=-CD.

2

第25題

^(AD+BC)=^CD.

/.AD+BC=CD.

(3)解：AAEQ的周長=AE+AZ)+OE=a+〃z,BE=a—m.

設AD=x,則DE=a-x.

???ZA=90°,DE2=AE2+AD2.a1-2ax+x1=nr+x1.

由(1)知AADEsABEC,

.勺周長_AD_2Q_a+m

一ABEC的周長一正一"m-2a'

：.AB￡C的周長=烏一?\ADE的周長=2a.

a+m

，A8EC的周長與加值無關.

【思考2答案】

解：(1)ZBPD=30°:

(2)如圖8,連結CD.

解一：?.?點。在NPBC的平分線上,

Z1=Z2.

△ABC是等邊三角形，

BA=BC=AC,NACB=60°.

BP=BA,

BP=BC.

BD=BD,

△PBD%ACBD.

ZBPD=Z3.-----------------------------3分

DB=DA,BC=AC,CD=CD,

△88名"CD.

Z3=Z4=izACB=30°.

2

ZBPD=30°.

解二:△ABC是等邊三角形，

BA=BC=AC.

DB=DA,

CD垂直平分A8.

N3=N4」ZACB=30°.

2

BP=BA,

BP=BC.

點。在NPBC的平分線上，

△PBD與△CBD關于BD所在直線對稱.

ZBPD=Z3.

ZBPD=30°.

(3)NBPD=30°或150°

圖形見圖9、圖10.

【思考3解析】

3

解：（1）過點A作AE_LBC,在RtAABE中，由AB=5,cosB=S得BE=3.

VCDIBC,AD//BC,BC=6,

/.AD=EC=BC-BE=3.

當B0=AD=3時，在。。中，過點。作OH_LAB,則BH=HP

..BH八.c39

?-----=cosB,..BH=3x—=—.

BO55

18

BP=一.

5

(2)不存在BP=MN的情況-

假設BP=MN成立，

VBP和MN為。。的弦，則必有/BOP=/DOC.

過P作PQ_LBC,過點。作。H_LAB,

VCD1BC,則有△PQOSADOC-

BH33

設BO=x,則PO=x^"—?=COS=-,得BH==X,

x55

6

；.BP=2BH=-X.

5

1824

BQ=BPxcosB=——X,PQ,=—x.

2525

??OQ=x-------x=—x.

2525

24.29

,/△PQO^ADOC,絲=變即25X_4,得》=一.

OQOC［