第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I

第一節(jié)

函數(shù)及其表示

本節(jié)主要包括3個(gè)知識點(diǎn):

1.函數(shù)的定義域；2.函數(shù)的表示方法；3.分段函數(shù).

突破點(diǎn)(一)函數(shù)的定義域

基礎(chǔ)聯(lián)通抓牛干知識的“源”與“流”

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合4B設(shè)45是兩個(gè)非空的數(shù)集設(shè)45是兩個(gè)非空的集合

如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系了,使如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對

對應(yīng)關(guān)系對于集合力中的任意一個(gè)數(shù)X,在于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集

AfB集合B中都有唯一確定的數(shù)加0和合8中都有唯一確定的元素1，與之對

它對應(yīng)應(yīng)

稱丘上史為從集合A到集合B的稱對應(yīng)匚上星為從集合彳到集合B

名稱

?—個(gè)函數(shù)的一個(gè)映射

記法y=fix),xeA對應(yīng)/：Z-5

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y=/(x),xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍力叫

做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的匕直叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合如)打€/1｝叫做函數(shù)的

值域.顯然，值域是集合5的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判

斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”

考點(diǎn)一求給定解析式的函數(shù)的定義域

常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.

(4?=x°的定義域是｛x|x#0｝.

(5)j=a'(a>0且a#l),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.

(6)y=Io鰭(。>0且“W1)的定義域?yàn)?0,+°°).

(7)j=tanx的定義域?yàn)椋鹸XWATT+E，.

[例1]y=^^一1/2(4—*2)的定義域是()

A.(-2,0)U(1,2)B.(-2,0]U(1,2)

C.(-2,0)U11,2)D.|-2,0|U|l,2|

|解析|要使函數(shù)有意義，必須jxwo

、4一/>0,

AxS(-2,0)U[1,2).

即函數(shù)的定義域是(一2,0)U[l,2).

[答案IC

[易錯(cuò)提醒]

…(1)元宴爭拜標(biāo)耗存花隔爰舷，…以冤至又城爰豆花…

(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由有限個(gè)基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域一般是各

個(gè)基本初等函數(shù)定義域的交集.

(3)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)該

用并集符號“U”連接.

考點(diǎn)二求抽象函數(shù)的定義域

對于抽象函數(shù)定義域的求解

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?b\,則復(fù)合函數(shù)德(x))的定義域由不等式力

求出；

(2)若已知函數(shù)慮(x))的定義域?yàn)?h\,則於)的定義域?yàn)榈?)在xG[a,回上的值域.

[例2]若函數(shù)的定義域是他2],則函數(shù)g(x)=^的定義域?yàn)?

*—1#0,

［解析］由題意得，解得OWxVl,即g(x)的定義域是［0,1).

0W2xW2,

［答案］［0,1)

［易錯(cuò)提醒］

函數(shù)九?(X)］的定義域指的是X的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.

考點(diǎn)三已知函數(shù)定義域求參數(shù)

［例3］(2017?杭州模擬)若函數(shù)加:)=4"/+"+1的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù),則實(shí)數(shù)，”的

取值范圍是()

A.［0,4)B.(0,4)

C.［4,+8)D.［0,4］

［解析］由題意可得，”./+”a+120恒成立.

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，120恒成立；

m>0,

當(dāng)/"WO時(shí)，則彳2/解得0V陽W4.

A=m—4〃iW0,

綜上可得：0式股44.

［答案］D

［方法技巧］

；..................函函版及毓薇前恿痂法................:

：已知函數(shù)的定義域，逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值，需運(yùn)用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的思:

；想方法.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是通過某種轉(zhuǎn)化過程，將一個(gè)難以解決的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已：

II

:經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，從而獲解.

基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”

1.［考點(diǎn)一］函數(shù)7=也111(2—X)的定義域?yàn)?)

A.(0,2)B.［0,2)

C.(0,1］D.|0,2|

解析：選B由題意知，x20且2—x>0,解得0<xV2,故其定義域是［0,2).

2.［考點(diǎn)一］(2017?青島模擬)函數(shù)J=2，_3X_2的定義域?yàn)?)

A.（一8,1|B.

c.[1,2)U(2,+8)

l-x2^0,

解析：選D由題意得，

,2X2-3X~2^0,

一IWXWI,

解得《1即一IWXWI且x#—J,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋邸?,—T)u(~；，1.故選D.

3.［考點(diǎn)一|函數(shù)於)="方U(">°且”#1)的定義域?yàn)?/p>

1—Lv—11^0,(0Wx42,

解析：由題意得、.〃解得—即OW<2,故所求函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

［/-IWO,［x#0,

(0,2］.

答案：(0,2］

4.［考點(diǎn)二］已知函數(shù)夕=斤2-1)的定義域?yàn)椋垡恍。,則函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?/p>

解析：：產(chǎn)=/(/-1)的定義域?yàn)椋垡环剑恚?：.xe［-y［3,巾］,X2-1G|-1,2］,：.y

=/(x)的定義域?yàn)椋?1,2］.

答案：［-1,2］

5.［考點(diǎn)三］若函數(shù)Hx)=y+岫:+分的定義域?yàn)閲?<2},則a+b的值為.

解析：函數(shù)/(x)的定義域是不等式ax^+aAx+b2。的解集.不等式ar2+aftx+6^0的

7<0,

3

°=-彳，

解集為{x|l<xW2},所以<1+2=一瓦解得j2所以39

1X2=~,力=-3,

Ia

答案：一3

突破點(diǎn)(二)函數(shù)的表示方法

能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”_____________________________________

1.函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法.同一個(gè)函數(shù)可以用不同的方

法表示.

2.應(yīng)用三種方法表示函數(shù)的注意事項(xiàng)

(1)解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；

（2）列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；

（3）圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.與x軸垂直的直線與其最多有一個(gè)公共點(diǎn).

3.函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

（1）有些函數(shù)關(guān)系很難或不能用解析式表示；

解析法簡明扼要，規(guī)范準(zhǔn)確（2）求x與y的對應(yīng)關(guān)系時(shí)需逐個(gè)計(jì)算，比較繁

雜

能鮮明地顯示自變量與函數(shù)只能列出部分自變量及其對應(yīng)的函數(shù)值,難以反

列表法

值之間的數(shù)量關(guān)系映函數(shù)變化的全貌

形象直觀，能清晰地呈現(xiàn)函數(shù)

作出的圖象是近似的、局部的，且根據(jù)圖象確定

圖象法的增減變化、點(diǎn)的對稱關(guān)系、

的函數(shù)值往往有誤差

最大（小）值等性質(zhì)

考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”

考點(diǎn)求函數(shù)的解析式

求函數(shù)解析式的四種方法

后百而家存7（7乙:5:77#5；可花m豆：

法一；寫成關(guān)于gG）的表達(dá)式，然后以與替代g（4）j

配潰法?便得/（與）的解析式

、---------------------------------1

3需于形Jny=/（gG））后函數(shù)解訴式，金；

法二t=g（z）.從中求出H=。"），然后代入表達(dá)式!

!換元法求出/（，），再將，換成叫得到/G）的解析式，?

要注意新元的取值范圍

5

;先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式：

法三；的性質(zhì),或?qū)⒁阎獥l件代入,建立方程（組）/

|待定系數(shù)法［

;通過解方程（組）求出相應(yīng)的待定系數(shù)

丁、.........................................}

已知關(guān)于/（%）與/0）或/（r）的表達(dá)式，!

法四

|解方程組法［可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成1

;方程組，通過解方程求出,（工）

［典例I（1）如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已

知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）

〃千米

A.尸g-x

^=|x3+|x2—2x

(2)定義在R上的函數(shù)"v)滿足於+1)=2/).若當(dāng)0琶xWl時(shí)，於)=*(1一x),則當(dāng)一

IWXWO時(shí)，外)=.

(3)(2017?合肥模擬)已知本)的定義域?yàn)閧x|xW0},滿足凱r)+yQ)=3+l,則函數(shù)及)

的解析式為.

［解析］(1)設(shè)該函數(shù)解析式為42="*3+公2+4+”，則，(X)=3?X2+2AX+C,

y(o)=d=o,

H2)=8a+4〃+2c+〃=0,

由題意知＜解得<b=-2>

f(0)=c=T,

、f(2)=12?+4Z?+c=3,

3=0,

A/(x)=jx3-pc2-x.

(2)???一l/x/0,???OWx+lWl,

l)=1(x+1)|1-(x+1)1=-1x(x+1).故當(dāng)一IWXWO時(shí)，/(x)=-1x(x+

(3)用;代替3人2+或=?+1中的x,得痣)+y(x)=3x+l,

加*)+武)=(+1，①

、痣+yw=3x+i,②

IS91

①義3—②X5得.")=6一赤+g(xWO).

I答案I(DA(2)—1r(x+l)(3)/(x)=|1x—急+；(xK0)

［易錯(cuò)提醒I

…卷?xiàng)l露需受證「二舅意至至g爰，而套畝:忌藐瓦瓦父薪「而己媼藤口;石「翥鹵

數(shù)外)的解析式，通過換元的方法可得HX)=X2+1,函數(shù)/(X)的定義域是［0,+8),而不是(一

0°,+0°)

能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”

1.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且人幻=〃侏&-1，則/(x)=.

解析：在大2=2/。1&-1中，用士代替x,得.70)=2八%)比一1,將./0)=2於)戈

代入/(x)=2痕》后一1中，求得/(x)=1\&+；(x>0).

答案：!\/x+|(x>0)

2.函數(shù)作)滿足2")+八-x)=2x,則｛x)=.

2f(x)+fi-x)=2x,

解析：由題意知,

2f1-x)+fix)=-2x,

解得用)=2工

答案：lx

3.已知/(、6+1)=%+2正，求/(X)的解析式.

解：設(shè)￡=五+1,則X=(f—1)2,121,代入原式有

人。=?—1)2+2?-1)=/-2，+1+2，-2=/—1.

故y(x)=f—1,x2i.

4.已知/(x)是二次函數(shù)，且/(0)=0,/(x+l)=/a)+x+l,求/(*)的解析式.

解：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(〃W0),

由/(0)=0,知c=0,f(x)=ax+bx,

又由./(x+l)=Ax)+x+l,

得a(x+\)2+b(x+\)=ax2+bx+x+1,

22

即ax+(2a+h)x+a+h=ax+(b+l)x+l9

2a+b=b+l9

所以，

a+b=A9

解得a=b=^.

所以/(x)=1x2+jx,xER.

5.已知求於)的解析式.

解：由于4+3=/+4=&+02—2,

所以/(x)=x2—2,x22或2,

故/(x)的解析式是風(fēng)丫)=/—2,x22或x《一2.

突破點(diǎn)(三)分段函數(shù)

基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”

1.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的函

數(shù)通常叫做分段函數(shù).

2.分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論

(1)分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”___________________________________

考點(diǎn)一分段函數(shù)求值

1一五，x20,

[例1]⑴設(shè)&)=2、，x<。，貝如—2))=()

A.-1

C.|D.1

(2)(2017?張掖高三模?擬)已知函數(shù)/(x)=<G)'則/(l+log25)的值為()

於+1),x<4,

［解析］⑴因?yàn)槿薩2)=2-2=：,所以加―2))=局=1-故選C.

(2)因?yàn)?<log25<3,所以3〈l+log25<4,貝寸4<2+log25<5,則/U+log25)=/(l+log25+

1)=42+1哂5)=(；)2+啕5=興。啕5=；《=點(diǎn)故選D.

［答案］(1)C(2)D

［方法技巧］

一分或函數(shù)求值的解題思路

求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析:

式求值，當(dāng)出現(xiàn)/(A。))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

考點(diǎn)二求參數(shù)或自變量的值或范圍

logix,x>0,

［例2|(1)(2017?西安模擬)已知函數(shù)外)=2—若/(4)="(“)，則實(shí)數(shù)a的值

x9xWO,

為()

A.-1或2B.2

C.-1D.-2

尸，x<l,

(2)設(shè)函數(shù)9)=(1、則使得於)42成立的x的取值范圍是________.

q,x^\,

［解析］(iy(4)=10g24=2,因而"(a)=2,即/(a)=l,當(dāng)。>0時(shí)，/(a)=log2a=1,因而

a=2,當(dāng)aWO時(shí)，｛。)=/=1,因而a=-1,故選A.

⑵當(dāng)Ml時(shí)，由廣仁2得x4+ln2,，xvl;當(dāng)xdl時(shí)，由得A<8,1&<8.

綜上，符合題意的x的取值范圍是*48.

［答案］(1)A(2)(-oo,8|

［方法技巧］

.................萊豆葭函及百菱董廟宿函運(yùn)國而潴...............

求某條件下自變量的值或范圍，先假設(shè)所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，

然后求出相應(yīng)自變量的值或范圍，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值或范圍是否滿足相應(yīng)

各段自變量的取值范圍.

能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”

1-2',xWO,

1.［考點(diǎn)一］已知函數(shù)於)=2°貝U加-1))=()

x,x>0,

A.2B.1

1

C1D

L?4”2

解析：選C由題意得八一1)=1-27=3，則加―1))=局=(；)2="

、

CX3siTnm)+e,LxWQO。,，則r向2的值為()

1

AB

i2

C.1D.-1

解析：選B痣)={-；)+1=/加(一；)+1=一；.

［log^r,x>0,

3.［考點(diǎn)一］已知小)=々八且{0)=2,火―1)=3,則加—3))=()

［a+b,xWO,

A.-2B.2

C.3D.-3

解析：選B由題意得/(0)=a°+b=l+b=2,

解得b=l.f{—l)=a~'+b=a^i+l=3,解得

,og#,x>0,

則所收H，-

故火—3)=Q)T+I=9,

從而加―3))=W9)=log39=2.

——iYVI

4.［考點(diǎn)二I設(shè)函數(shù)外)=；''則滿足加。))=/)的a的取值范圍是()

Z9Xd9

A

(iIB.|0,11

C

(?+8)D.［1,+~)

解析：選C由"("))=/')得，加)21.

22

當(dāng)“VI時(shí)，有3。一121,二4》？，二產(chǎn)aVL

當(dāng)時(shí)，有2"d1,.\a20,

綜上，0考,故選C.

［2x+l,x20,

5.［考點(diǎn)二］已知函數(shù)於)=,2c且火*0)=3,則實(shí)數(shù)Xo的值為_________.

［3x,x<0,

解析：由條件可知，當(dāng)與川時(shí)，-0)=5+1=3,所以x°=l；當(dāng)Xo<O時(shí)，_Axo)=3x：

=3,所以x0=—1.所以實(shí)數(shù)xo的值為-1或1.

答案：一1或1

—r+1,x<0,

6.［考點(diǎn)二］已知/(x)=使7(x)2—1成立的x的取值范圍是

1―(X—1)2,X>0,

xWO,

x>0,

解析：由題意知<或

-1、一住一1)2、一1,

解得一4WxW0或0VxW2,故x的取值范圍是[-4,2].

答案：|-4,2]

I全國卷5年真題集中演練一明規(guī)律[

1.(2016?全國甲卷)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10舊、的定義域和值域

相同的是()

A.y=xB.j=lgx

Cy=2'D.產(chǎn)古

解析：選D函數(shù)歹=10叱的定義域與值域均為(0,+8).

函數(shù)J=X的定義域與值域均為(-8,4-00).

函數(shù)y=lgx的定義域?yàn)?0,+°°),值域?yàn)?一8,4-oo).

函數(shù)7=2、的定義域?yàn)?-8,4-00),值域?yàn)?0,十8).

函數(shù)的定義域與值域均為(0,+8).故選D.

在

l+log2(2—x),x<1,

2.(2015?新課標(biāo)全國卷U)設(shè)函數(shù)/(x)=1則八-2)+/(k)g212)=

()

A.3B.6C.9D.12

解析：選CV-2<1,/./(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.Vlog212>1,:.

/<k)g212)=21og212—1=￥=6.-2)+/(log212)=3+6=9.

2X,—2,xWl,

3.(2015?新課標(biāo)全國卷I)已知函數(shù),且/(〃)=一3,則/(6—

—10g2(x+l),X>1,

。)=()

A」B—￡

4D,4

c-3_1

j4Du*4

解析：選A由于/(“)=一3,①若aWl,則2a~'-2=-3,整理得2"T=-1.由于2、>0,

所以2"T=-I無解；②若0>1,則一k)g2(a+l)=—3,解得a=7,所以負(fù)6—。)=/(-1)=2

77

TT_2=_j綜上所述，

f—X2+2X,XWO,

4.(2013?新課標(biāo)全國卷I)已知函數(shù)/(x)=，一、c若則”的取值

[ln(x+l),x>0.

范圍是()

解析：選Dj=|/(x)|的圖象如圖所示，y=?x為過原點(diǎn)的一條直線，當(dāng)|/(x)|N?x時(shí)，必

有AWaWO,其中A是y=f—2x(xW0)在原點(diǎn)處的切線的斜率，顯然，〃=-2.所以a的取值

范圍是[-2,0].

I課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測I重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考

I練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力|

1.下列圖象可以表示以M=｛x|0WxWl｝為定義域，以N=｛y|OWjWl｝為值域的函數(shù)的

是()

解析：選CA選項(xiàng)中的值域不對，B選項(xiàng)中的定義域錯(cuò)誤，D選項(xiàng)不是函數(shù)的圖象,

由函數(shù)的定義可知選項(xiàng)C正確.

2.若函數(shù)加+1)的定義域?yàn)閇0,1],則大2'—2)的定義域?yàn)?)

A.|0,1]B.[Iog23,2]

C.[1,log23]D.[1,2]

解析：選B；/(x+l)的定義域?yàn)閇0,1],即OWxWl,.,.14*+1?2.；/比+1)與/(2"一

2)是同一個(gè)對應(yīng)關(guān)系/,.*.2*—2與x+1的取值范圍相同，即1W2"-2W2,也就是3W2*/4,

解得Iog23WxW2....函數(shù)/(2'—2)的定義域?yàn)閇log23,2].

3.若二次函數(shù)g(x)滿足g(l)=Lg(-l)=5,且圖象過原點(diǎn)，則g(x)的解析式為()

A.g(x)=2%2—3xB.g(x)=3x2—2x

C.g(x)=3x2+2xD.g(x)=~3x2—2x

解析：選B設(shè)g(x)=ax2+bx+c(aW0),Vg(l)=l,g(—1)=5,且圖象過原點(diǎn)，

a+b+c=l,?=3,

?a—b+c=5,解得，b=~2,：.g(x)=3x-2x.

?=0,<=0,

4.若函數(shù)｛x)=<2^+2依一“一1的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)火刈的定義域?yàn)镽,所以2^+20￥—“一120對xGR恒成立，即2x?+

2or—〃22°,x?+Zar-恒成立，因此有/=(2〃)2+4〃《0,解得一lWaW0.

答案：1-1,0]

3x—b,x<l,

5.設(shè)函數(shù)X2[若Md))：%則〃=-

555

---

622

Z>=g,不符合題意，舍去；若521,即bW',則25—b=4,解得〃=,?

答案：I

[練常考題點(diǎn)一檢驗(yàn)高考能力]

一、選擇題

1.函數(shù)/(*)="襄薩的定義域?yàn)?)

A.[1,101B.[1,2)U(2,10)

C.(1,10]D.(1,2)U(2,10]

10+9XT\0,

解析：選D要使函數(shù)犬2有意義，則X須滿足7—1>0,即

.lg(x-l)^0,

(x+l)(x-10)W0,

,x>l,

x^2,

解得17近10,且xW2,所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?l,2)U(2,10].

—cos7LV,X>0,則局+?/(一的值等于(

2.已知/")=彳,,_3

加+1)+1,xMO,)

A.1B.2C.3D.-2

解析：選C-cosy=cosj=1;D=7(-3)+1=XI)+2=—cos^+2=2+

2=4故局+G9=3.

3.若/(x)對于任意實(shí)數(shù)尤恒有—x)=3x+L則犬1)=()

A.2B.0C.1D.-1

解析：選A令x=l,得〃(1)一人-1)=4,①

令*=-1,得〃(一1)一/(1)=-2,②

聯(lián)立①②得/(1)=2.

4.（2017?貴陽檢測）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為凡”

"C

f-，x<a>

=<:（",C為常數(shù)）.已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第，件產(chǎn)品

廣，

17a

用時(shí)15分鐘，那么c和a的值分別是（）

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

解析：選D因?yàn)榻M裝第。件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，

所以I----15,①

所以必有4<a,且.=]=30.②

聯(lián)立①②解得c=60,〃=16.

1,x>0,

5.設(shè)x￡R,定義符號函數(shù)§gnx=，0,x=0,貝!J（）

、一Lx<0,

A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx

解析:選D當(dāng)xVO時(shí)，|x|=-x,x|sgnx\=x,xsgn|x|=x,|x|sgnx=（-x）（-l）=x,

排除A,B,C,故選D.

6.已知具有性質(zhì)：役=一%）的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù):

%,0<r<l,

①尸x-5②y=x+：；③y=<0，*—L

、—XX>1.

其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①

解析：選B對于①，/（x）=x-士役=；-*=-/比），滿足“倒負(fù)”變換；對于②，

2'

/（￡）=^+x=/（x）,不滿足"倒負(fù)"變換；對于③，6）=<。，]=1，即d）=

—X,^>1,

X

ri,

j?X>1，

故#:)=一外)，滿足“倒負(fù)”變換.綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函

0,x=L

、—x,0<x<L

數(shù)是①③.

二、填空題

2

7.已知函數(shù)/(x)對任意的xGR,/(x+1001)=,已知人15)=1,則以2017)=

洞+1

2

解析：根據(jù)題意，fll017)=7(1016+1001)=痂就“？夬1016)=八15+1001)=

2222

痂布'而/(15)=1,所以川0吁布=1,則八2。|7)=赤而布=布=1.

答案：1

[2x+a9x<lf

8.(2017-綿陽診斷)已知實(shí)數(shù)aWO,函數(shù)人x)=J、若人1一〃)=/(1+〃)，

—x—2“，xkl?

則。的值為.

解析：當(dāng)白>0時(shí)，1—q〈l,l+a>l,此時(shí)/(I—〃)=2(1—a)+q=2—%/(l+4)=—(l+o)

—2〃=—1—3〃.由大1—〃)=/(1+〃)得2—。=—1—3%解得〃=一看不合題意,舍去.當(dāng)”0

時(shí)，l-a>l9l+a<l,此時(shí)人1一。)=-(1-。)-2〃=一1一%f(l+a)=2(l+a)+a=2+3a,

由/(I—〃)=/(l+a)得一1一4=2+3%解得〃=—3?綜上可知，〃的值為一點(diǎn)

答案：—4

9.已知函數(shù)/(x)滿足對任意的xGR都有於+*)+￡—*)=2成立，貝U/Q)+/(j)+…

解析:由￡+x)+/g-x)=2,得6)+恁=2，X|)+/(D=2,/|)+X|)=2,又腐

=虢)+痣)]=92=1，MD+XD+T/gxB+E

答案：7

[1,x>0,

10.定義函數(shù)Hx)=Jo,x=0,

則不等式(》+1的)>2的解集是

[-1,x<0,

解析：①當(dāng)x>0時(shí)，本)=1,不等式的解集為{x|x>l};②當(dāng)，=0時(shí)，外)=0,不等式

無解；③當(dāng)x<0時(shí)，八2=—1,不等式的解集為{xW<-3}.所以不等式(x+l>/a)>2的解集

為{x|x<—3或x>l}.

答案：{x|x<-3或x>l}

三、解答題

11.已知函數(shù)大幻對任意實(shí)數(shù)x均有/(x)=-Wx+l),且/(x)在區(qū)間[0,1]上有解析式y(tǒng)(x)

=x\

⑴求八一1)，川.5)；

(2)寫出/(X)在區(qū)間[-2,2]上的解析式.

解：(1)由題意知八-1)=一4-1+1)=—初0)=0,

/(1.5)=/(1+0.5)=-^/(0.5)=-|X|=

(2)當(dāng)xW[0,1]時(shí)，/(x)=x2;

當(dāng)xG(l,2]時(shí)，*一1€(0,1],府)=一3"一1)=-3(*一1)2；當(dāng)xG[—1,0)時(shí)，x+lG[0,l),

/(x)=-2/(x4-1)=-2(x4-1)2;當(dāng)xG[-2,—1)時(shí)，x+1G[_1,0),./)=一決*+1)=_2*[_

r4(x+2)2,xS[-2,-1),

—2(x+l)2,xG|-1,0),

2(x+1+1)2]=4(X+2y.所以/(x)=Vx2,xG[0,1|,

、一1-if,xe(l,2].

12.行駛中的汽車在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距y

離才能停下，這段距離叫做剎車距離.在某種路面上，某種型號汽車32.8...................//

的剎車距離貝米)與汽車的車速x(千米/時(shí))滿足下列關(guān)系:尸丸+小二三唳忌口

+〃(,”，"是常數(shù)).如圖是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的剎車距離M米)與汽車的車速M(fèi)千米/時(shí))

的關(guān)系圖.

(1)求出J，關(guān)于X的函數(shù)解析式；

(2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求行駛的最大速度.

<402

^QQ+40/K+n=8.4,

解：(1)由題意及函數(shù)圖象，得J602

z^+60/K+n=18.6,

|XX

解得'”=麗，〃=°，所以7=而+和(*2°),

r2v.

(2)令赤+麗W25.2,得一72WxW70.

Vx^O,70.故行駛的最大速度是70千米/時(shí).

第二節(jié)

函數(shù)的單調(diào)性與最值

本節(jié)主要包括2個(gè)知識點(diǎn)：

1.函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的最值.

突破點(diǎn)（一）函數(shù)的單調(diào)性

基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”

1.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,如果對于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)

自變量Xl，x2

定義當(dāng)X1<^2時(shí)，都有血!）>3），那

當(dāng)方我2時(shí)，都有/那么就說函數(shù)

么就說函數(shù)人刈在區(qū)間D上是減

/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)

函數(shù)

內(nèi)⑺

圖象描

述-kx

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是王隆的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=Ax）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)j，=/（x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格

的）單調(diào)性，區(qū)間。叫做函數(shù)j=/（x）的單調(diào)區(qū)間.

考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”

考點(diǎn)一判斷函數(shù)的單調(diào)性

1.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則

若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性

相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).即“同增異減”.

2.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

（1）若大2，g（x）均為區(qū)間N上的增（減）函數(shù)，則./（x）+g（x）也是區(qū)間4上的增（減）函數(shù)，

更進(jìn)一步，即增+增=增，增一減=增，減+減=減，減一增=減；

⑵若A>0,則砧x)與/)單調(diào)性相同；若A<0,則砧x)與/(x)單調(diào)性相反；

(3)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)j，=/(x)(/(x)#O)與y=-/(x),單調(diào)性相反；

(4)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y=/(x)(/(x)20)與y=4詞單調(diào)性相同；

(5)奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單

調(diào)性相反.

［例1］(1)下列四個(gè)函數(shù)中，在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.J［x)=3—xB.f(x)=x2—3x

C.7(x)=—D./(*)=-國

(2)已知函數(shù)/(x)=q7五二則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-8,1|B.［3,+8)

C.(一8,-1|D.［1,+8)

|解析|⑴當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=3-x為減函數(shù)；

當(dāng)xG(0,號時(shí)，/(x)=x2—3x為減函數(shù)，

當(dāng)+8)時(shí)，y(x)=x2-3x為增函數(shù)；

當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，如)=一去為增函數(shù)；

當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，")=一團(tuán)為減函數(shù).

(2)設(shè)f=V一左一3,由，》0,

即f—2x—3'0,解得xW—1或x23.

所以函數(shù)的定義域?yàn)?一°°,—1|U［3,+°°).

因?yàn)楹瘮?shù)，=1—2x—3的圖象的對稱軸為x=l,所以函數(shù)