第一章集合與常用邏輯用語

1.4.2充要條件

【課程標準】

1.理解充要條件概念.

2.結合具體問題，利用集合等知識，學會判斷充要條件.

【知識要點歸納】

1.充要條件

一般地，如果既有poq,又有qop就記作.

此時，我們說，P是q的，簡稱.顯然，如果P是q的

充要條件，那么q也是P的充要條件.

概括地說，如果poq,那么p與q.

2.四種條件

集合關系

推出關系充分性、必要性

（A={x|x滿足條件p}）

8={x|x滿足條件g}

p=>祖p=>q（可記作poq）充要條件A=B

p=>q且p?q充分不必要條件At）B

pRq且p=>q必要不充分條件BUA

既不必要也不充

p￥>q且p與q

分條件

3.總結判斷充分必要的條件的方法

(1)定義法

(2)集合法

【經典例題】

例1.下列各題中，P是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充

要條件”“既不充分也不必要條件”)

(l)p:x<2,q\x<\\

(2)p:x<O,q:，行有意義

(3)p:x>0,q:|x|=x;

(4)p:A=8,4:AU8=伏

(5)p:a是素數,q:a不是偶數.

(6)p:兩個三角形全等,q:兩個三角形面積相等.

例2"xur是'f—Zx+lnCT^l)

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

例3已知求證：a+b=1是a'+^+ab—/—尻=0的充要條件.

注意：從充分性、必要性兩方面證明.

例3求關于x的方程數2+2》+1=0至少有一個負實根的充要條件.

[跟蹤訓練]已知方程f+（2左一1改+標=0,求使方程有兩個大于1的實數根的充

要條件.

例4設命題p:xe,命題q:xe[a,a+l],若p是q的充分不必要條件，求實數”的取值范圍

【當堂檢測】

一.選擇題（共4小題）

1.設xwR,貝I"0<x<5"是'T<2x+1<3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）

X

A.0cxv-B.x>\C.x>2D.x<0

2

3.“x<2”是u\x\<2n的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.不等式/+3*+2>0成立的一個必要不充分條件是()

A.(—1,+co)B.[―1，+8)

C.(-oo,—1,4-oo)D.(―1,4-oo)(―oo9-2)

二.填空題(共2小題)

5.已知-1<xvm+1,(y:2<x<6,若q是p的必要不充分條件，則實數機的取值范

圍為.

6.下列說法中〃是g的必要條件的是—.

①p："x=l"，q："%2一2%+1=0”；

②設。，。是實數，〃：“a+0>0"，q："ab>0”.

三.解答題(共1小題)

7.A={x\x2-2x-3<0},B={x\x2一(2。+1)X+Q(〃+1)>0}.

(1)若a=l,求；

(2)若xwA是的充分不必要條件，求實數〃的取值范圍.

當堂檢測答案

選擇題（共4小題）

1.設xeR,貝I"0<x<5”是“l<2x+lv3”的（）

A.充分不必耍條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】由l<2x+l<3解得x范圍，結合充分必要條件的定義，即可判斷出結論.

【解答】解：.-.0<x<l,

?.?0<xv5推不出0vxv1,

0<x<l^>0<x<5，

.?.0<xv5是0<x<l的必要不充分條件，

即0cx<5是1<2犬+1<3的必要不充分條件，

故選：B.

【點評】本題考查了充分必要條件，考查解不等式問題，屬于基礎題.

2.使不等式0<，<1成立的一個充分不必要條件是（）

X

A.0<x<—B.x>1C.x>2D.x<0

2

【分析】解出不等式，進而可判斷出其一個充分不必要條件.

【解答】解：不等式

x

x>0

<1，解得X>1，

—<1

故不等式的解集為：（1,y0）,

則其一個充分不必要條件可以是x>2,

故選：C.

【點評】本題考查了充分、必要條件的判斷與應用，屬于基礎題.

3.ux<2n是"|x|<2"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據必要條件和充分條件的定義即可判斷.

【解答】解:由“x<2”不能推出u\x\<2n,由u\x\<2n能推出“x<2”，

故“x<2”是“|x|<2"的必要不充分條件，

故選：B.

【點評】本題考查了充分條件和必要條件，屬于基礎題.

4.不等式Y+3x+2>0成立的一個必要不充分條件是()

A.(-l,+oo)B.[―1,+8)

C.(―oo9—2]^J[—1f+oo)D.(—19-Foo)(—oo9—2)

【分析】根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【解答】解：由不等式/+3%+2>0,解得xv-2或不>-1,即不等式的解集為(-8,

-2)k_J(-1,4-oo),

則不等式x2+3x+2>0成立的一個必要不充分條件是(-8,-2][J[-1,+oo),

故選：C.

【點評】本題考查了不等式的性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬

于基礎題.

二.填空題（共2小題）

5.已知p:〃?-1cx<%+1,q:2<x<6,若q是p的必要不充分條件，則實數機的取值范

圍為—[3—5]_.

【分析】根據q是0的必要不充分條件便得到，解該不等式組即得加的取值范圍.

[〃z+L,6

【解答】解：p.m-\<x<m-\r\夕：2vx<6；

?「g是〃的必要不充分條件；

即由〃能得到9,而q得不到〃；

2,解得3效血5；

[m+1?6

的取值范圍是[3,5].

故答案為：[3,5].

【點評】考查解一元二次不等式，以及必要條件，充分條件，必要不充分條件的概念，屬于

基礎題.

6.下列說法中.是q的必要條件的是

①0："x=l"，q：G-2x+l=0”；

②設a,人是實數，p：“a+b>0",q："ab>0".

【分析】①q：ax2-2x+l=0",即X=1,由4np,即可判斷出結論；

②由已知可得：〃與q相互推不出，即可判斷出結論.

【解答】解：①q："d—2x+l=0",即x=l,由qnp,因此p是g的必要條件；

>>，>

②設a,〃是實數，p：a+b>0,<7：“必>0”.可得：p與q相互推不出，因此。不

是q的必要條件.

故答案為：①.

【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬

于基礎題.

三.解答題(共1小題)

7.已知A={x\x2-2x-3<0},B={x\x2-(2a+\)x+a(a+1)>0}.

(1)若。=1,求App；

(2)若xwA是xwZ?的充分不必要條件，求實數。的取值范圍.

【分析】(1)分別解出不等式f-Zx-vO,幺一31+2>0,利用交集運算性質可得：

(2)根據xeA是％￡8的充分不必要條件，可得