高二上期第一次學月考試數學試題時間：120分鐘，滿分：150分留意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題所給的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.）1.已知純虛數滿意，則實數等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設且則，再通過復數乘法化簡，利用復數相等求解.【詳解】解法一：設且，則，因為，所以，所以，故選：A．解法二：，因為為純虛數，所以，解得，故選：A．【點睛】本題主要考查復數的概念與運算等基礎學問，還考查了運算求解實力，屬于基礎題.2.拋擲一枚質地勻整的骰子，“向上的點數是”為事務，“向上的點數是”為事務，則下列選項正確的是（）A.與是對立事務 B.與是互斥事務C. D.【答案】B【解析】【分析】利用事務的關系求解.【詳解】由題意知，為不行能事務，表示向上的點數是，所以，事務與事務是互斥事務，不是對立事務.故選：B.3.若直線l經過點，斜率是，則直線l的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點斜式求出直線方程，再化為一般式即可；【詳解】解：因為直線經過點，斜率是，所以直線方程為，即，故選：C4.在正方體中，是的中點，則異面直線與所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，得出平面，由題可知平面，得出，再依據線面垂直的判定定理可證出平面，再由線面垂直的性質得出，從而得出異面直線與所成的角.【詳解】解：如圖，連接，，在正方體中，可知平面，而平面，，又，且，平面，平面，而平面，，即異面直線與所成角的大小是.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題考查的是異面直線所成角的計算，考查線面垂直的判定和性質，通過作幫助線以及通過證明線面垂直得出線線垂直是解題的關鍵.5.已知兩點，，直線過點且與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，求出的斜率，數形結合可求得直線的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的關系可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當直線與線段有交點時，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C6.從，，，，中任取兩個不同的數，記為，則成立的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法，結合古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】從，，，，中任取兩個不同的數，記為，共有個基本領件，分別為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，記“成立”為事務，若，則且，所以事務包含個基本領件：，，，，，，故其概率為．故選：D7.已知復數z滿意，則的最小值為（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】設復數在復平面內對應的點為，由復數的幾何意義可知點的軌跡為，則問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，從而即可求解．【詳解】設復數在復平面內對應的點為，因為復數滿意，所以由復數的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內點的軌跡為，又表示點到點的距離，所以問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，當為時，到定點的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．8.如下圖，一次函數的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當周長最小時，點，的坐標分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】作關于軸的對稱點，作關于的對稱點，連接交軸于，交于，有，即此時周長最小，求出點坐標，可得直線方程，與聯立求出點坐標，令可得點坐標.【詳解】作關于軸的對稱點，作關于的對稱點，連接交軸于，交于，所以，此時周長最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每題所給的四個選項中有多個選項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.）9.已知為虛數單位，則以下四個說法中正確的是（）A. B.C.若復數為純虛數，則 D.復數的虛部為【答案】AD【解析】【分析】由虛數的運算性質，可判定A正確；依據虛數不能比較大小，可判定B不正確；由時，可判定C不正確；依據復數的概念，可判定D正確.【詳解】對于A中，由虛數的運算性質，可得，所以A正確；對于B中，依據虛數不能比較大小，所以B不正確；對于C中，例如：當時，，此時，所以C不正確；對于D中，依據復數的概念，可得復數的虛部為，所以D正確.故選：AD.10.下列說法中，正確的有（）A.過點且在，軸截距相等的直線方程為B.直線在y軸的截距是C.直線的傾斜角為120°D.過點并且傾斜角為90°的直線方程為【答案】BD【解析】【分析】選項A中，設直線的截距式，然后帶入點坐標，并考慮當在，軸截距相等時，存在截距為0的狀況；選項B中，令，即可計算直線的截距；選項C中，計算直線的斜率，從而計算出傾斜角；選項D中，傾斜角為90°，故直線斜率不存在。【詳解】對于A，因為過點且在，軸截距相等的直線方程還包括直線，故A錯誤；對于B，當時，，所以直線在y軸的截距是，故B正確；對于C，直線，所以傾斜角為，故C錯誤；對于D，因為直線的傾斜角為90°，則斜率不存在，且直線過點，所以直線方程為，故D正確.故選：BD【點睛】對直線方程不同形式進行考查，同時涉及到斜率、傾斜角和截距的定義。11.在一款色調三原色（紅、黃、青）的顏色傳輸器中，信道內傳輸紅色、黃色、青色信號，信號的傳輸相互獨立.當發送紅色信號時，顯示為黃色的概率為，顯示為青色的概率為；當發送黃色信號時，顯示為青色的概率為，顯示為紅色的概率為；當發送青色信號時，顯示為紅色的概率為，顯示為黃色的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和兩次傳輸，單次傳輸是指每個信號只發送1次，兩次傳輸是指每個信號重復發送2次.顯示的顏色信號須要譯碼，譯碼規則如下：當單次傳輸時，譯碼就是顯示的顏色信號；當兩次傳輸時，若兩次顯示的顏色信號不同，則譯碼為剩下的顏色信號，若兩次顯示的顏色信號相同，則譯碼為顯示的顏色.例如：若顯示的顏色為（紅，黃），則譯碼為青色，若顯示的顏色為（紅，紅），則譯碼為紅色.則下列結論正確的是（）A.接受單次傳輸方案，若依次發送紅色、黃色、青色信號，則依次顯示為青色、青色、紅色的概率為B.接受兩次傳輸方案，若發送紅色信號，則依次顯示黃色、黃色的概率為C.接受兩次傳輸方案，若發送紅色信號，則譯碼為紅色的概率為D.對于隨意的，若發送紅色信號，則接受兩次傳輸方案譯碼為青色的概率小于接受單次傳輸方案譯碼為青色的概率【答案】BD【解析】【分析】依據信號傳輸規則及相互獨立事務同時發生的概率計算可推斷ABC，利用作差法比較大小可推斷D.【詳解】對于A，依次發送紅色、黃色、青色信號，則依次顯示青色、青色、紅色的事務是發送紅色信號顯示青色、發送黃色信號顯示青色、發送青色信號顯示紅色的3個事務的積，它們相互獨立，所以所求概率為，A錯誤；對于B，兩次傳輸，發送紅色信號，相當于依次發送紅色、紅色信號，則依次顯示黃色、黃色的事務是發送紅色信號接收黃色信號、發送紅色信號接收黃色信號的2個事務的積，它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；對于C，兩次傳輸，發送紅色信號，則譯碼為紅色的事務是依次顯示黃色、青色或青色、黃色的事務的和，它們互斥，所以所求的概率為，故C錯誤；對于D，若接受兩次傳輸，發送紅色信號，則譯碼為青色的概率，若單次傳輸發送紅色信號，則譯碼為青色的概率，因此，即，D正確.故選：BD.12.在三棱錐中，兩兩垂直，，點分別在側面和棱上運動且為線段的中點，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的內切球的半徑為B.三棱錐的外接球的表面積為C.點原委面的距離的最小值為D.三棱錐的體積的最大值為【答案】BC【解析】【分析】對于A，利用等體積法可求出三棱錐的內切球的半徑，對于B，由題意將三棱錐補成一個長方體，則長方體的體對角線就是三棱錐的外接球的直徑，對于C，由題意可得平面，則，，所以點的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，然后求出點到平面的距離，從而可得點原委面的距離的最小值，對于D，設球面分別交于點，當點與點或重合時，點原委面的距離最大，從而可求出其體積的最大值.【詳解】對于A，因為兩兩垂直，，所以，，，所以，設三棱錐的內切球的半徑為，則，所以，解得，所以A錯誤，對于B，因為兩兩垂直，所以將三棱錐補成如圖所示的長方體，則長方體的體對角線等于三棱錐外接球的直徑，設三棱錐外接球半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以B正確，對于C，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為為線段的中點，所以，所以點的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，設點到平面的距離為，因為，所以，所以，解得，所以點原委面的距離的最小值為，所以C正確，對于D，由選項C可知點的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，因為的面積為定值，所以當點原委面的距離最大值時，三棱錐的體積最大，設球面分別交于點，因為，所以當點與點或重合時，點原委面距離最大，設為，則有，得，所以三棱錐的體積的最大值為，所以D錯誤，故選：BC【點睛】關鍵點點睛：此題考查三棱錐與球的切接問題，考查立體幾何中點的軌跡問題，解題的關鍵是由得到點的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，然后逐個分析推斷，考查空間想象實力，屬于較難題.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設，則的共軛復數為___________.【答案】##【解析】【分析】利用復數乘法和除法法則計算出，從而求出共軛復數.【詳解】，則的共軛復數為.故答案為：14.直線：，：，若，則________．【答案】2【解析】【分析】由兩直線平行的判定列方程求參數，留意驗證解除重合的狀況.【詳解】由題設，，則，所以或，當，：，：重合，不合題設；當，：，：平行，滿意題設；故.故答案為：215.經過點與原點距離為2的直線方程為____________.【答案】或【解析】【分析】分別探討經過M點的直線斜率不存在和斜率存在，設出方程，再由點到直線的距離公式求解即可.【詳解】①當經過M點的直線斜率不存在時，過點M且與原點距離為2的直線為.②當經過M點的直線斜率存在時，可設方程，即.依題意得：，解得，所求直線為.綜上所求直線的方程為或.故答案為：或16.三棱柱各頂點都在一個球面上，側棱與底面垂直，，，，則這個球的表面積為_____．【答案】【解析】【分析】設外接圓的半徑為r，由正弦定理求得外接圓半徑，繼而求得外接球的半徑，依據球的表面積公式可求得答案.【詳解】解：設外接圓的半徑為r，由正弦定理得外接圓直徑，所以，所以外接球半徑.所以外接球表面積為，故答案為：.四?解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（1）求兩條平行直線與間的距離；（2）若直線與直線垂直，求的值.【答案】（1）1;（2）【解析】【分析】（1）利用兩平行直線間的距離公式干脆求解；（2）依據兩直線垂直的性質即可.【詳解】（1）依據平行線間的距離公式,得.（2）由題意可知，因為兩直線垂直，所以，解得或（舍去），經檢驗時，兩直線垂直，滿意題意.18.某重點高校為了解打算保研或者考研的本科生每天課余學習時間，隨機抽取了名這類高校生進行調查，將收集到的課余學習時間（單位：）整理后得到如下表格：課余學習時間人數（1）估計這名高校生每天課余學習時間中位數；（2）依據分層抽樣的方法從課余學習時間在和，這兩組中抽取人，再從這人中隨機抽取人，求抽到的人的課余學習時間都在的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據頻數分布表估計中位數的方法干脆求解即可；（2）依據分層抽樣原則可確定從和兩組中抽取的人數，接受列舉法可得全部基本領件和滿意題意的基本領件個數，依據古典概型概率公式可求得結果.【小問1詳解】，，這名高校生每天課余學習時間的中位數位于之間，則中位數為.【小問2詳解】由題意知：從課余學習時間在這一組抽取人，分別記為，從課余學習時間在這一組抽取人，分別記為；從這人中隨機抽取人，全部的基本領件為：，共個基本領件；其中“抽到的人的課余學習時間都在”包含的基本領件為：，共個基本領件；抽到的人的課余學習時間都在的概率.19.已知圓心為的圓經過點，.（1）求圓的標準方程；（2）已知在圓C外，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設圓的標準方程為：，代入，，求解即可；（2）因為在圓C外，所以，代入求解即可.【小問1詳解】解：設圓的標準方程為：，代入，，得，解得：，所以圓的標準方程為：；【小問2詳解】解：因為在圓C外，所以，又因為，，所以，解得或，所以的取值范圍為：.20.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，為中點，且.（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于，再連接，則有∥，再依據線面平行的判定定理證明即可；（2）建立以為坐標原點，、、所在的直線為軸、軸、軸的空間坐標系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：連接交于，再連接，因為是矩形，所以是中點，又因為為中點，所以∥，平面，平面,所以∥平面；【小問2詳解】解：以為坐標原點，分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的坐標系：則有，所以，，，設平面的法向量為，則有，即，所以，取，設直線與平面所成角為，則有.所以直線與平面所成角的正弦值.21.已知直線交軸正半軸于，交軸正半軸于.（1）為坐