微專題3二面角的常見求法求二面角是常見題型，依據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無棱二面角，對(duì)于前者的二面角通常接受找點(diǎn)，連線或平移等手段來找出二面角的平面角；而對(duì)于無棱二面角，一般通過構(gòu)造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其“無棱”而“現(xiàn)棱”，進(jìn)一步找二面角的平面角．類型1定義法求二面角方法：如圖所示，以二面角的棱a上的隨意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為此二面角的平面角．【例1】如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2三垂線法求二面角方法：在平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面β作垂線AB，垂足為B，再過點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角．【例2】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)證明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3垂面法求二面角方法：過二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角．【例3】如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型4射影面積法方法：已知平面β內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面α內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小為θ，則cosθ＝S射影這個(gè)方法對(duì)于無棱二面角的求解很簡(jiǎn)便．以多邊形射影為三角形為例證明，其它情形可自證．證明：如圖，平面β內(nèi)的△ABC在平面α的射影為△A′BC，作AD⊥BC于D，連接A′D.∵AA′⊥α于A′，D∈α，∴AD在α內(nèi)的射影為A′D.∵AA′⊥α，又BC?α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，AD∩A′A＝A，AD，A′A?平面AA′D，∴BC⊥平面AA′D，又A′D?平面AA′D，∴A′D⊥BC.∴∠ADA′為二面角α-BC-β的平面角．設(shè)△ABC和△A′BC的面積分別為S和S′，∠ADA′＝θ，則S＝12BC·AD，S′＝12BC·A′∴cosθ＝A'【例4】在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PCD所成二面角的大小．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________微專題3二面角的常見求法例1解：如圖，取AB中點(diǎn)O，連接VO，CO.∵在三棱錐V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．∵VO＝VA2-CO＝BC2-∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC為等邊三角形，∴∠VOC＝60°，∴二面角V-AB-C的大小為60°.例2解：(1)∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC.又AB∩AC＝A，AB、AC?平面ABC，∴SA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA、AB?平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.(2)取SB的中點(diǎn)D，連接AD，則AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD?平面SAB，∴AD⊥平面SBC.又SC?平面SBC，所以SC⊥AD.作AE⊥SC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，因?yàn)锳E∩AD＝A，AE、AD?平面ADE.所以SC⊥平面ADE.又DE?平面ADE，則DE⊥SC，則∠AED為二面角A-SC-B的平面角．設(shè)SA＝AB＝2a，則SB＝BC＝22a，AD＝2a，AC＝23a，SC＝4a.由題意得AE＝3a，在Rt△ADE中，sin∠AED＝ADAE＝2a3∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值為63例3解：∵SB＝BC且E是SC的中點(diǎn)，∴BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線，∴SC⊥BE.又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA?平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.設(shè)SA＝2，則AB＝2，BC＝SB＝22.∵AB⊥BC，∴AC＝23，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.例4解：如圖，∵PA⊥平面ABCD，