章末質量評估(三)概率A基礎達標卷(時間：45分鐘滿分：75分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對立事件 B．互斥但不對立事件C．不可能事件 D．必然事件解析：根據題意，把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會同時發生，故兩者是互斥事件，但除了“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”之外，還有“丙分得紅牌”，故兩者不是對立事件，所以事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是互斥但不對立事件．答案：B2．根據多年氣象統計資料，某地6月1日下雨的概率為0.45，陰天的概率為0.2，則該日晴天的概率為()A．0.65 B．0.55C．0.35 D．0.75解析：P＝1－0.45－0.2＝0.35.故選C．答案：C3．(2015·高考江蘇卷)袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中1個白球，1個紅球，2個黃球，從中一次隨機摸出2個球，則這2個球顏色不同的概率為()A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,5) D．eq\f(1,2)解析：從4個球中一次隨機摸出2個，共有6種摸法，其中2個球顏色不同的共有5種，所以其概率為eq\f(5,6)．答案：A4．已知集合A＝{－1,0,1}，點P的坐標為(x，y)，其中x∈A，y∈A．記點P落在第一象限為事件M，則P(M)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,9) D．eq\f(2,9)解析：點P的坐標可能為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1，－1)，(0，－1)，(1,1)，共9種，其中落在第一象限的點的坐標為(1,1)，故選C．答案：C5．如圖，兩個正方形的邊長均為2a，左邊正方形內四個半徑為eq\f(a,2)的圓依次相切，右邊正方形內有一個半徑為a的內切圓，在這兩個圓形上各隨機撒一粒黃豆，落在陰影內的概率分別為P1，P2，則P1，P2的大小關系是()A．P1＝P2 B．P1＞P2C．P1＜P2 D．無法比較解析：由題意知正方形的邊長為2a.左圖中圓的半徑為正方形邊長的eq\f(1,4)，故四個圓的面積和為πa2.右圖中圓的半徑為正方形邊長的一半，圓的面積也為πa2.故P1＝P2．答案：A6．(2014·高考湖北卷)隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之和不超過5的概率記為p1，點數之和大于5的概率記為p2，點數之和為偶數的概率記為p3，則()A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2解析：總的基本事件個數為36，向上的點數之和不超過5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10個，則向上的點數之和不超過5的概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)；向上的點數之和大于5的概率p2＝1－eq\f(5,18)＝eq\f(13,18)；向上的點數之和為偶數與向上的點數之和為奇數的個數相等，故向上的點數之和為偶數的概率p3＝eq\f(1,2).故p1＜p3＜p2，選C．答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確答案填在題中的橫線上)7．若A，B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，則P(B)＝________．解析：∵A，B為互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3．答案：0.38．(2013·高考福建卷)利用計算機產生0～1之間的均勻隨機數a，則事件“3a－1＜0”發生的概率為__________解析：設事件A為“3a－1＜0”，則a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，所以P(A)＝eq\f(\f(1,3)－0,1)＝eq\f(1,3)．答案：eq\f(1,3)9．如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖．空氣質量指數小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天．此人到達當日空氣質量優良的概率是________．解析：由圖知，3月1日至3月13日這13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空氣質量優良，所以此人到達當日空氣質量優良的概率為eq\f(6,13)．答案：eq\f(6,13)10．任意一個△ABC的面積為S，D為△ABC內任取的一個點，則△DBC的面積和△ADC的面積都大于eq\f(S,3)的概率為________．解析：如圖，在AB上取三等分點E，F，過點E作EM∥BC交AC于M，過點F作FN∥AC交BC于N，則當點D在△AEM內時，滿足S△DBC>eq\f(S,3)．當點D在△BFN內時，滿足S△ADC>eq\f(S,3).設EM與FN的交點為G，則當點D在△EFG內時，同時滿足S△DBC>eq\f(S,3)，S△ADC>eq\f(S,3)，∴所求概率P＝eq\f(S△EFG,S△ABC)＝eq\f(1,9)．答案：eq\f(1,9)三、解答題(本大題共2小題，共25分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)11．(本小題滿分12分)(2015·高考四川卷)一輛小客車上有5個座位，其座位號為1,2,3,4,5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1,2,3,4,5，他們按照座位號從小到大的順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規則就座，如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就座，就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位．(1)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規則就座，此時共有4種坐法，下表給出了其中兩種坐法，請填入余下兩種坐法(將乘客就座的座位號填入表格空格處)；乘客P1P2P3P4P5座位號3214532451(2)若乘客P1坐在了2號座位，其他的乘客按規則就座，求乘客P5坐到5號座位的概率．解：(1)余下兩種坐法如下表所示.乘客P1P2P3P4P5座位號3241532541(2)若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規則就座，則所有可能的坐法可用下表表示.乘客P1P2P3P4P5座位號2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8種設“乘客P5坐到5號座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個數為4．所以P(A)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)．12．(本小題滿分13分)(2015·高考全國卷Ⅱ)某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，得到A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區用戶滿意度評分的頻數分布表．B地區用戶滿意度評分的頻數分布表滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數2814106(1)在答題卡上作出B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)．(2)根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大，說明理由．解：(1)B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖如圖所示．通過兩地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區用戶滿意度評分的平均值高于A地區用戶區滿意度評分的平均值；B地區用戶滿意度評分比較集中，而A地區用戶滿意度評分比較分散．(2)A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．記CA表示事件：“A地區用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區用戶的滿意度等級為不滿意”．由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25．所以A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．B能力提升卷(時間：45分鐘滿分：75分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.則事件“抽到的是二等品或三等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3解析：由題意知，事件A，B，C互為互斥事件，記事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，則P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故選D．答案：D2．(2016·高考全國卷Ⅰ)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續時間為40s．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15s才出現綠燈的概率為()A．eq\f(7,10) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,10)解析：利用幾何概型的概率公式求解．如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15s才出現綠燈．AB長度為40－15＝25.由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15s才出現綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故選B．答案：B3．擲一枚質地均勻的硬幣兩次，設事件M＝“一次正面向上，一次反面向上”，事件N＝“至少一次正面向上”．則下列結果正確的是()A．P(M)＝eq\f(1,3)，P(N)＝eq\f(1,2) B．P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(3,4)C．P(M)＝eq\f(1,3)，P(N)＝eq\f(3,4) D．P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)解析：所有等可能的結果有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(3,4)．答案：B4．(2015·高考福建卷)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上．若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)解析：由圖形知C(1,2)，D(－2,2)，∴S四邊形ABCD＝6，S陰＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)．∴P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4)．答案：B5．有3個興趣小組，甲、乙兩名同學各自參加其中一個小組，每名同學參加各個小組的可能性相同，則這兩名同學參加同一個興趣小組的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：記3個興趣小組分別為1,2,3，甲參加1組記為“甲1”，則基本事件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9個．記事件A為“甲、乙兩名同學參加同一個興趣小組”，則包含的基本事件有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3個．因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)．答案：A6．為了調查某廠2000名工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20名工人某天生產該產品的數量，產品數量的分組區間為[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，頻率分布直方圖如圖所示．工廠規定從生產低于20件產品的工人中隨機地選取2名工人進行培訓，則這2名工人不在同一組的概率是()A．eq\f(1,10) B．eq\f(7,15)C．eq\f(8,15) D．eq\f(13,15)解析：根據題中頻率分布直方圖可知產品件數在[10,15)，[15,20)內的人數分別為5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4．設生產產品件數在[10,15)內的2人分別是A，B，設生產產品件數在[15,20)內的4人分別是C，D，E，F，則從生產低于20件產品的工人中隨機地選取2名工人的結果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15種．2名工人不在同一組的結果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8種．則選取這2人不在同一組的概率為eq\f(8,15)．答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確答案填在題中的橫線上)7．已知某臺紡紗機在1h內發生0次、1次、2次斷頭的概率分別是0.8,0.12,0.05，則這臺紡紗機在1h內斷頭不超過兩次的概率和斷頭超過兩次的概率分別為____________，________．解析：斷頭不超過兩次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，斷頭超過兩次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03．答案：0.970.03eq\a\vs4\al(8.用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏)色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是________．解析：由于只有兩種顏色，不妨將其設為1和2，若只用一種顏色，有111；222．若用兩種顏色，有122；212；221；211；121；112．所以基本事件共有8種．又相鄰顏色各不相同的有2種，故所求概率為eq\f(1,4)．答案：eq\f(1,4)9．已知平面區域A＝{(x，y)|x2＋y2≤9，x，y∈R}，B＝{(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A內隨機取一點，此點取自B的概率為________．解析：如圖所示，分別畫出A，B表示的區域，A表示的區域為圓及其內部，B表示的區域為正方形及其內部，根據幾何概型可知，所求概率為eq\f(18,π·32)＝eq\f(2,π)．答案：eq\f(2,π)10．在箱子中裝有十張卡片，分別寫有1到10的十個整數；從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數x，然后放回箱子中；第二次再從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數y，則x＋y是10的倍數的概率為________．解析：先后兩次取卡片，形成的有序數對有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,10)，…，(10,10)．共計100個．因為x＋y是10的倍數，這些數對應該是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)，共10個，故x＋y是10的倍數的概率為P＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10)．答案：eq\f(1,10)三、解答題(本大題共2小題，共25分，解答應寫出文字說明、證明過程及演算步驟)11．(本小題滿分12分)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國PM2.5標準采用世衛組織設定的最寬限值，PM2.5日均值在35μg/m3以下空氣質量為一級；在35μg/m3～75μg/m3之間空氣質量為二級；在75μg/m3及其以上空氣質量為超標．某試點城市環保局從該市市區2016年全年每天的PM2.5監測數據中隨機抽取6天的數據作為樣本，監測值莖葉圖如圖(十位為莖，個位為葉)，若從這6天的數據中隨機抽出2天，(1)求恰有一天空氣質量超標的概率；(2)求至多有一天空氣質量超標的概率．解：由莖葉圖知，6天中有4天空氣質量未超標，有2天空氣質量超標．記未超標的4天為a，b，c，d，超標的兩