畢業(yè)設計專業(yè)：通信工程班級學號：學生姓名：指導教師：二○一一年六月天津職業(yè)技術師范大學本科生畢業(yè)設計橢圓數(shù)字濾波器的設計DesignofEllipticDigitalFilter2011年6月摘要本論文的主要研究內容是數(shù)字濾波器的根本原理及設計理論，并探討了橢圓數(shù)字濾波器的設計過程。數(shù)字濾波器的設計理論中，重點介紹了數(shù)字濾波器間接法設計過程以及典型的三種濾波器設計數(shù)學模型，分別是巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器和橢圓濾波器。橢圓數(shù)字濾波器的設計過程，需要將給定的數(shù)字濾波器技術指標轉換為相應模擬濾波器的技術指標，并通過頻率變換轉換為模擬低通濾波器的技術指標，構建模擬低通濾波器原型，再通過頻率變換及雙線性變換法或脈沖響應不變法得到所希望設計的橢圓數(shù)字濾波器。論文的最后局部，運用MATLAB仿真軟件對橢圓數(shù)字濾波器進行了仿真。采用間接法得到了橢圓數(shù)字低通濾波器的頻率響應特性曲線；采用直接法得到了橢圓數(shù)字帶阻濾波器和橢圓數(shù)字帶通濾波器的頻率響應曲線，以及信號通過橢圓數(shù)字帶通濾波器后濾除無用頻率成分的濾波效果示意圖。關鍵詞：數(shù)字濾波器；橢圓濾波器；MATLABABSTRACTThemaincontentsofthispaperisthebasicprincipleandthedesigntheoryofdigitalfilter,anditalsocontainsthedesignofellipticdigitalfilterprocess.Digitalfilterdesigntheoryfocusesontheindirectmethodofdigitalfilterdesignprocessandthetypicalmathematicalmodelsoffilter,theyarebutterworthfilter,chebyshevfilterandelipticfilter.Designingaellipticdigitalfilter,firstly,changethegivendigitalfilterspecificationsintothesametypeofanalogfilter’sspecifications;secondly,converttolow-passfilterspecifications,thirdly,buildaprototypeanaloglow-passfilter,finally,throughthefrequencytransformationandbilineartransformationmethodorthesameimpulseresponsemethoddesignthedesireddigitalfilter.Inlastofthispaper,IusedMATLABsimulationsoftwaresimulatingtheellipticdigitalfilter.Indirectmethodhadbeenusedinellipticdigitallowpassfilter’sdesignandgotitsfrequencyresponsecurve.Ialsousedthedirectmethoddesignedellipticdigitalbandstopfilterandellipticdigitalbandpassfilter,gottheirfrequencyresponsecurveandtheeffectdiagramofsignalsafterellipticdigitalband-passfilter.KeyWords：Digitalfilter;Ellipticfilter;MATLAB目錄MACROBUTTONInsertCrossReference1緒論11.1濾波器的開展1早期開展階段1逐步開展階段2快速開展階段21.2數(shù)字濾波器概述3數(shù)字濾波器的研究背景與意義3數(shù)字濾波器的應用現(xiàn)狀32數(shù)字濾波器根本理論62.1數(shù)字濾波器的根本工作原理62.2數(shù)字濾波器的分類82.3數(shù)字濾波器的特點103數(shù)字濾波器的設計113.1數(shù)字濾波器的技術指標113.2模擬濾波器根本原理13模擬濾波器的技術指標13巴特沃斯濾波器13切比雪夫濾波器16橢圓濾波器18模擬濾波器頻率變換213.3模擬濾波器與數(shù)字濾波器的轉換關系23脈沖響應不變法23雙線性變換法254橢圓數(shù)字濾波器設計及仿真274.1橢圓數(shù)字濾波器的設計步驟274.2橢圓數(shù)字濾波器的MATLAB仿真27重要函數(shù)調用方式28橢圓數(shù)字濾波器設計仿真實例30結論39參考文獻錯誤！未定義書簽。致謝錯誤！未定義書簽。緒論濾波器的開展隨著計算機和信息科學的極大開展，信號處理已經(jīng)逐步開展成為一門獨立的學科，是信息科學的重要組成局部，在語音處理、圖像處理、雷達、航空航天、地質勘探、通信、生物醫(yī)學等眾多領域得到了廣泛的應用。濾波技術是信號分析、處理技術的重要分支，無論是信號的獲取、傳輸，還是信號的處理和交換都離不開濾波技術，它對信號的平安可靠和有效靈活地傳遞是至關重要的。利用該技術可以從接收到的各種信號中提取所需要的信號，抑制或消除不必要的干擾信號。濾波器正是采用濾波技術的具有一定傳輸選擇性的信號處理裝置。當信號輸入后，濾波器將使信號中某些需要的成分得以傳輸至輸出端，而使其中的另一些不需要的成分受到抑制而不被傳輸。因此，濾波器的功能可以理解為對輸入信號進行某種運算、處理并變換為人們所需要的輸出信號。在現(xiàn)代信號處理和電子應用技術領域，濾波器作為一種必不可少的組成局部處在一個十分重要的位置，并且日益顯示其巨大的應用價值。盡管濾波技術的開展到現(xiàn)在只有九十多年的歷史，但它的發(fā)生與開展已經(jīng)經(jīng)歷了諸多變化，作為一種信號處理技術已相當完善。早期開展階段1917年美國和德國科學家分別創(chuàng)造了LC濾波器，次年美國創(chuàng)造了第一個多路復用系統(tǒng)，由此翻開了濾波器的開展進程。早期的濾波器都是一些具有選擇特性的電路或系統(tǒng)。如串聯(lián)或并聯(lián)諧振回路，串聯(lián)諧振時，回路中的電流到達最大值，且與電壓同相；并聯(lián)諧振時，回路兩端的電壓到達最大值，且與電壓同相。利用這一特點，可以選出所需要的的特定頻率的信號。當需要選擇的是某個波長的播送電臺信號時，由于播送電臺發(fā)出的信號不是單一頻率的信號，而是占據(jù)了一定的頻率范圍，為了清晰地收聽電臺播送，人們希望在這個頻率范圍內的信號均能等衰減的通過，而這個頻率范圍以外的信號將被完全濾除掉。而前述的串、并聯(lián)諧振回路的通頻帶較窄，衰減特性也不夠陡峭，所以需要尋找新的途徑解決這一問題。由此出現(xiàn)了變壓器雙調諧耦合濾波器，該濾波器的通頻帶接近矩形，因而能夠很好的滿足這種特定要求。逐步開展階段隨著郵電通訊的開展，對濾波器又提出了進一步的要求：希望濾波器的話音衰減最小，相互間的連接阻抗匹配。這一要求導致了多種濾波器的設計理論的提出。最先出現(xiàn)的是定K式濾波器，即形網(wǎng)絡兩個支路上的阻抗和滿足如下關系：〔1-1〕并且引出了特性阻抗的概念，同時指出兩個或兩個以上的網(wǎng)絡相連時，假設每個網(wǎng)絡連接點左右兩側的特性阻抗相等，這種連接就成為二端對網(wǎng)絡的匹配連接。這種連接方式有著十分簡明的關系，合成網(wǎng)絡兩側的特性阻抗等于第一個網(wǎng)絡的特性阻抗和最后一個網(wǎng)絡的特性阻抗。合成網(wǎng)絡的固有傳輸常數(shù)等于各分網(wǎng)絡的固有傳輸常數(shù)之和，這種性質使得濾波器的設計得以簡化。然而定K式濾波器也有它的缺乏之處，它在通帶之內特性阻抗不太平穩(wěn)，在阻帶之內的衰減相當緩慢。為改善定K式濾波器的這一缺點，出現(xiàn)了M導出式濾波器。M導出式濾波器的特性阻抗和定K式濾波器的完全相同，然而它在阻帶內衰減極快，但同時它的并聯(lián)諧振點衰減不太理想。設計者為了得到更為精密、準確的結果，不斷地在濾波器設計根底上改良、創(chuàng)新，極大地推動了濾波器的開展。在非線性器件產(chǎn)生后，非線性濾波器開展極快。非線性濾波器的輸入與輸出之間不是呈線性關系，從而使人們從原始選頻模式中跳了出來，拓寬了濾波器的概念，濾波器也從線性模式拓寬到了非線性模式，擴大了其應用范圍。快速開展階段20世紀50年代無源濾波技術日趨成熟，自60年代起，由于微電子技術、信息技術、計算機技術、集成工藝和材料工業(yè)的開展，濾波器朝著低功耗、高精度、小體積、多功能、高穩(wěn)定性和高性價比努力。這也成為70年代以后濾波器開展的主攻方向，使得有源RC濾波器、數(shù)字濾波器、開關電容濾波器和電荷轉移濾波器等各種濾波器開展極快。隨著集成電路技術的進一步開展，在70年代后期，將濾波器集成于單一芯片，而目前應用普遍的集成濾波器是開關電容濾波器。80年代，主要致力于各類新型濾波器性能的研究，進一步提高濾波器性能的同時逐漸擴大濾波器應用范圍。90年代至今，濾波器的開展主要致力于各類濾波器的應用，當然，濾波器的性能改良是永遠不會止步的。我國在50年代以后開始廣泛使用濾波器，主要用于話路濾波和報路濾波。經(jīng)過半個世紀的開展，我國濾波器在研制、生產(chǎn)、應用方面已納入國際開展軌道。數(shù)字濾波器概述數(shù)字濾波器的研究背景與意義當今，隨著科技的日新月異，數(shù)字信號處理技術正飛速開展，它的理論與應用得到了飛躍式的進步，且形成了一門極重要的學科，并以不同形式影響和滲透到其它學科。它與國民經(jīng)濟息息相關，與國防建設緊密相連，它影響、改變著我們的生產(chǎn)、生活方式。同時，數(shù)字化、智能化、網(wǎng)絡化是當代信息技術開展的大趨勢，且數(shù)字化是智能化和網(wǎng)絡化的根底，而數(shù)字信號處理又是數(shù)字化必不可少的一局部，因此數(shù)字信號處理技術受到了人們的普遍關注。在實際生活中，我們會遇到多種多樣的信號，例如播送信號、電視信號、雷達信號、通信信號、導航信號、天文信號、生物醫(yī)學信號、控制信號、氣象信號、地震勘探信號、機械振動信號、遙感遙測信號等等。上述初始信號大局部為模擬信號，模擬信號是自變量連續(xù)的函數(shù)，它的自變量可以是一維的，也可以是二維或多維的。大多數(shù)情況下一維模擬信號的自變量是時間，經(jīng)過時間上的離散化〔采樣〕和幅度上的離散化〔量化〕，一維模擬信號便成為一維數(shù)字信號。數(shù)字信號實際上是用數(shù)字序列表示的信號，例如，語音信號經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號是一個一維離散時間序列；圖像信號經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號是一個二維離散空間序列。數(shù)字信號處理，就是用數(shù)值計算的方法對數(shù)字序列進行各種處理，把信號變換成符合需要的某種形式。例如，對數(shù)字信號進行濾波以限制它的頻帶或濾除噪音和干擾，或將它與其它信號進行別離；對信號進行頻譜分析或功率譜分析以了解信號的頻譜特性，進而對信號進行識別；對信號進行某種變換，使之更適合于傳輸、存儲和應用；對信號進行編碼以到達數(shù)據(jù)壓縮的目的，等等。濾波器按所處理的信號類型不同，可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，其中數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的主要裝置之一。目前已研制出多種專用數(shù)字信號處理芯片，可以很方便地實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器。因為數(shù)字濾波器的數(shù)字運算方式，使其相較于模擬濾波器具有高精度、高穩(wěn)定性、可采用超大規(guī)模集成電路、體積小、重量輕、實現(xiàn)靈活、參數(shù)調整容易且不要求阻抗匹配等優(yōu)點。如果在數(shù)字濾波系統(tǒng)的前后加上A\D〔模擬-數(shù)字〕和D\A〔數(shù)字-模擬〕轉換器，它的作用就等效于模擬濾波器，也可以用來處理模擬信號。數(shù)字濾波器的應用現(xiàn)狀在近代電信設備和各類控制系統(tǒng)中，數(shù)字濾波器的應用極為廣泛，這里只列舉局部成功的應用領域。〔1〕語音處理語音處理是最早應用數(shù)字濾波器的領域之一，也是最早推動數(shù)字信號處理理論開展的領域之一。該領域主要包括五個方面的內容：第一，語音信號分析，即對語音信號的波形特征、統(tǒng)計特性、模型參數(shù)等進行分析計算；第二，語音合成，即利用專用數(shù)字硬件或在通用計算機上運行軟件來產(chǎn)生語音；第三，語音識別，即用專用硬件或計算機識別人講的話或識別講話的人；第四，語音增強，即從噪音或干擾中提取被掩蓋的語音信號；第五，語音編碼，主要用于語音數(shù)據(jù)壓縮，目前已經(jīng)建立了一系列語音編碼的國際標準，大量用于通信和音頻處理。近年來，這五個方面都取得了豐碩的研究成果，并且在市場上出現(xiàn)了一些相關的軟件和硬件產(chǎn)品。例如，盲人閱讀機、口授打印機、語音應答機、各種具有語音功能的儀器和玩具以及通信和視聽產(chǎn)品大量使用的音頻壓縮編碼技術。〔2〕圖像處理數(shù)字濾波技術已經(jīng)成功地應用于靜止圖像和活動圖像的恢復和增強、數(shù)據(jù)壓縮、去噪音和干擾、圖像識別以及層析X射線攝影等方面以及雷達、聲納、超聲波和紅外信號的可見圖像成像。〔3〕通信在現(xiàn)代通信技術領域內，幾乎沒有一個分支不受到數(shù)字濾波技術的影響。信源編碼、信道編碼、調制解調、多路復用以及自適應信道均衡等，都廣泛采用了數(shù)字濾波器，特別是在數(shù)字通信、網(wǎng)絡通信、圖像通信、多媒體通信等應用中，離開了數(shù)字濾波器幾乎是寸步難行。其中，被認為是通信技術未來開展方向的無線電技術，更是以數(shù)字濾波技術為根底。〔4〕電視數(shù)字電視已經(jīng)開始逐步取代模擬電視，可視和會議電視產(chǎn)品也不斷更新?lián)Q代。之所以能夠如此迅速的普及、創(chuàng)新，視頻壓縮和音頻壓縮技術功不可沒，它所取得的成就促進了電視領域產(chǎn)業(yè)的蓬勃開展，而數(shù)字濾波器及其相關技術正是視頻壓縮和音頻壓縮的技術的重要根底。〔5〕雷達雷達信號占有的頻帶非常寬，數(shù)據(jù)傳輸速率也很高，因而壓縮數(shù)據(jù)量、降低數(shù)據(jù)傳輸速率是雷達信號數(shù)字處理面臨的首要問題。高速數(shù)字器件的出現(xiàn)促進了雷達信號處理技術的進步。在現(xiàn)代雷達系統(tǒng)中，從信號的產(chǎn)生、濾波、加工到目標參數(shù)的估計和目標成像顯示都離不開數(shù)字濾波技術。雷達信號的數(shù)字濾波器是當今十分活潑的研究領域之一。〔6〕其它領域除了以各領域應用外，數(shù)字濾波器還在其它很多領域內扮演著重要角色。例如，在聲納信號處理中，被應用于對微弱的目標回波進行檢測和分析，以到達對目標進行探測、定位、跟蹤、導航、成像顯示等目的。在生物醫(yī)學方面，可以說在大局部的現(xiàn)代醫(yī)學儀器中，都會出現(xiàn)數(shù)字濾波器的身影，如對腦電波和心電圖的分析處理、層析X射線攝影的計算機輔助分析、胎兒心音的自適應檢測等等。在音樂方面，對音樂信號進行編輯、合成、在音樂中參加交混回響、特殊效果的制作處理，以及作曲、錄音、播放、恢復音質等方面，數(shù)字濾波器都顯示了強大的威力。同時，數(shù)字濾波器在軍事上被大量應用于導航、制導、電子對抗、戰(zhàn)場偵察；在電力系統(tǒng)中被應用于能源分布規(guī)劃和自動檢測；在環(huán)境保護中被應用于對空氣污染和噪聲干擾的自動檢測；在經(jīng)濟領域被應用于股票市場預測和緊急效益分析等等。在將來，數(shù)字濾波器的應用領域還會不斷擴大，深入我們生活的方方面面。數(shù)字濾波器根本理論所謂數(shù)字濾波是指通過一種數(shù)值運算，改變輸入信號中所含頻率分量的相比照例，或者濾除某些頻率分量。數(shù)字濾波器的輸入、輸出均為數(shù)字信號，并采用數(shù)值運算的方法到達濾波的目的，它是根據(jù)給定的要求對信號頻譜進行修改或整形的系統(tǒng)，可以采用軟件方式，通過編寫算法軟件，利用通用計算機實現(xiàn)濾波；也可以按算法選用硬件組成專用計算機實現(xiàn)濾波。數(shù)字濾波器的根本工作原理數(shù)字濾波器的根本工作原理，就是利用其頻譜特性濾除輸入信號的無用頻率分量。〔1〕設輸入信號中包含有用信號成分為、無用信號成分為，并設它們的頻譜分別為，，，并設它們分別占有不同的頻帶，即：〔2-1〕〔2-2〕其中：，；，；，〔為抽樣角頻率〕。且有，如圖2-1〔a〕所示。〔2〕輸入信號經(jīng)過沖激抽樣后的信號，其頻譜應為的頻譜的周期延拓，并與序列的頻譜存在頻率坐標的線性映射關系，即：〔2-3〕式中為抽樣周期，其頻譜圖如圖2-1〔b〕所示。〔3〕設數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)在區(qū)間具有理想低通特性為：〔2-4〕其頻響特性如圖2-1〔c〕所示。〔4〕經(jīng)過數(shù)字濾波器后，輸出序列的頻譜根據(jù)離散時間系統(tǒng)的理論得：〔2-5〕而輸出沖激抽樣信號的的頻譜與關系為：〔2-6〕，的頻譜如圖2-1〔d〕。可見由于數(shù)字濾波器頻率響應特性的選擇作用，已經(jīng)濾除了輸入序列中無用信號的頻率成分，只保存了有用信號的成分。1〔a〕01/T〔b〕01〔c〕01/T〔d〕0T〔e〕01〔f〕0圖2-1數(shù)字濾波器的工作原理〔5〕輸出抽樣信號經(jīng)過理想低通模擬濾波器恢復為連續(xù)信號的輸出。根據(jù)抽樣定理，理想低通濾波器的頻率響應為：〔2-7〕故的頻譜為：〔2-8〕如圖2-1〔e〕〔f〕所示。因此〔2-9〕上式說明輸出信號即為輸入信號中有用信號，已濾除無用信號。以上是頻域數(shù)字濾波的根本原理，由于濾波過程大多數(shù)是盡可能地恢復被噪聲干擾的消息源，因此，在近代隨機信號處理中，將從噪聲中提取信號的問題也稱為濾波問題。數(shù)字濾波器的分類〔1〕按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總結起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，可以通過一個適宜的選頻濾波器濾除干擾，得到純潔信號，到達濾波的目的。但是，如果有用信號和干擾信號的頻譜互相重疊，那么經(jīng)典濾波器無法有效地濾除干擾。要想最大限度的恢復原始信號，就需要使用現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最正確濾波器。現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最正確準那么下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地恢復信號，從而到達最正確濾波的目的。〔2〕經(jīng)典數(shù)字濾波器按其頻域特性不同，可以分成低通〔LP〕、高通〔HP〕、帶通〔BP〕、帶阻等濾波器〔BS〕，它們的理想幅頻特性如圖2-2所示。這種理想濾波器是不可能實現(xiàn)的，因為它們的單位脈沖響應均是非因果且無限長的，我們只能按照某些準那么設計濾波器，使之在誤差容限內逼近理想濾波器，也就是說，理想濾波器可以作為濾波器設計逼近的標準，也可以作為判斷濾波器性能的標準。另外，數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)都是以2為周期的，所以低通濾波器的通頻帶中心位于2的整數(shù)倍處，而高通濾波器的通頻帶中心位于的奇數(shù)倍處，一般在數(shù)字頻率的主值區(qū)描述數(shù)字濾波器的頻率響應特性。〔3〕數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或者從單位脈沖響應長度分類，可以分為無限長單位脈沖響應〔IIR〕濾波器和有限長單位脈沖響應〔FIR〕濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：〔2-10〕〔2-11〕〔2-10〕式中的稱為階IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)；〔2-11〕式中的稱為階FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。0202〔a〕低通〔b〕高通0202〔c〕帶通〔d〕帶阻圖2-2理想濾波器幅度特性〔4〕按照離散系統(tǒng)實現(xiàn)的結構不同，數(shù)字濾波器又可分為遞歸與非遞歸兩種形式。當?shù)模瑸橛欣矸质叫问綍r，從其對應的差分方程來看，輸出不僅與輸入有關，而且與輸出的移序值有關。在這種系統(tǒng)的結構圖上存在著反應環(huán)路，采用這種結構的數(shù)字濾波器稱為遞歸濾波器。當?shù)模瑸槎囗検叫问剑运鼘牟罘址匠虂砜矗敵鲋慌c輸入及其移序值有關，而與輸出的移序值無關。這種系統(tǒng)的結構圖不存在反應環(huán)路，采用這種結構的數(shù)字濾波器稱為非遞歸濾波器。－＋〔a〕遞歸系統(tǒng)結構〔b〕非遞歸系統(tǒng)結構圖2-3數(shù)字濾波器的系統(tǒng)結構一般來說，IIR系統(tǒng)由于它的系統(tǒng)函數(shù)為有理分式形式，因此易于用遞歸形式實現(xiàn)，而FIR系統(tǒng)由于它對應的系統(tǒng)函數(shù)是多項式形式，所以易于用非遞歸形式實現(xiàn)。數(shù)字濾波器的特點由于數(shù)字濾波器實際是采用數(shù)字系統(tǒng)實現(xiàn)的一種運算過程，因此它具有一般數(shù)字系統(tǒng)的根本特點，與模擬濾波器相比具有一系列優(yōu)點。〔1〕高精度特性在模擬網(wǎng)絡中，原件精度能到達以上就很不容易了，而數(shù)字系統(tǒng)假設為16位字長就可以到達精度，因此數(shù)字濾波器可用在精密系統(tǒng)及測量中。〔2〕系統(tǒng)穩(wěn)定性好模擬系統(tǒng)中各器件參數(shù)均有一定的溫度系數(shù)并隨環(huán)境條件而變，且易受感應、雜散效應影響。而構成數(shù)字濾波器的數(shù)字部件，只在0、1兩種電平狀態(tài)下工作，因此電路受以上環(huán)境因素的影響要小很多。〔3〕應用靈活性數(shù)字濾波器本質上只是一個序列的運算加工過程，其根本構成部件是加法器、乘法器、存放器、及控制器等。只要改變存儲器中的系數(shù)或計算程序，即可改變系統(tǒng)的特性，因此應用非常靈活。而模擬濾波器通常是由R、L、C及有源器件組成，要想改變系統(tǒng)特性，必須改變硬件組成，過程復雜。由于這種靈活性，數(shù)字濾波器可以進行時分復用，即在不同時刻，使一套設備具有不同特性，并同時處理幾路獨立信號。在處理器內部，一節(jié)低階濾波器屢次循環(huán)復用，可以等效于一個高階濾波器，因此節(jié)省硬件，降低本錢。〔4〕處理功能強數(shù)字濾波可以完成某些模擬濾波器很難完成的信號處理任務。例如，在某些工業(yè)生產(chǎn)過程中，干擾信號頻率很低，需要進行頻率低至幾赫茲信號的濾波，此時應用模擬濾波器就很難實現(xiàn)，而數(shù)字濾波器卻不感到困難。數(shù)字系統(tǒng)可以具有龐大的存儲單元，做各種復雜運算，因此能夠進行許多復雜的信號處理。當然，數(shù)字濾波器也存在缺乏之處。主要問題是處理速度慢，一方面是A/D轉換速度還不夠快，另外是數(shù)字系統(tǒng)運算需要時間，因此對于很高頻率的信號處理就會到困難，這也就是所謂的實時處理問題。隨著大規(guī)模集成電路技術的不斷開展，各種高速信號處理器件的不斷出現(xiàn)，數(shù)字濾波器本身存在的問題正逐漸被克服。數(shù)字濾波器的設計數(shù)字濾波器設計方法主要有直接設計法和間接設計方法。間接設計法是借助于模擬濾波器的設計方法進行，其具體設計步驟是：將數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標，設計出模擬低通濾波器的原型，再通過頻率變換，將低通的傳遞函數(shù)轉換成所需要的濾波器的傳遞函數(shù)，最后按照一定的變換關系將模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器。直接設計法是直接在頻域或時域中設計數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設計時需要計算機輔助設計。橢圓數(shù)字濾波器一般采用間接法設計，所以本論文重點介紹數(shù)字濾波器的間接設計法。數(shù)字濾波器的技術指標常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。現(xiàn)假設數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)為，用下式表示：〔3-1〕式中，為幅頻特性函數(shù)；為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器的幅頻特性相同，但相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。一般選頻濾波器的技術要求由幅頻特性給出，對幾種典型濾波器，其相頻特性是確定的，所以在設計過程中，對相頻特性一般不作要求。但是如果對輸出波形有要求，那么需要考慮相頻特性的技術指標，例如波形傳輸、圖像信號處理等，那么需要設計線性相位數(shù)字濾波器。圖2-2所示的各種理想濾波器可以作為濾波器設計的逼近標準，即在兼顧復雜性與本錢問題的前提下，設計因果可實現(xiàn)的濾波器去近似實現(xiàn)理想濾波器。因此，在實際應用中濾波器的通帶和阻帶都允許一定誤差容限的存在，即通帶不是完全水平的，阻帶也不是絕對衰減到零。此外，按照要求，在通帶和阻帶之間還應設置一定寬度的過渡帶。以低通濾波器為例，如圖3-1所示為低通濾波器的幅頻特性，其中和分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。其通帶頻率范圍為，且在通帶中要求，阻帶頻率范圍為，在阻帶中要求。從到稱為過渡帶，過渡帶上的頻率響應一般是單調下降的。通常，通帶內和阻帶內允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內允許的最大衰減用表示，阻帶內允許的最小衰減用表示。對低通濾波器，和分別定義為：dB〔3-2〕dB〔3-3〕10.7070圖3-1低通濾波器的幅頻特性指標示意圖顯然，越小，通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越小；越大，阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越小；與間距越小，過渡帶就越窄。所以低通濾波器的技術指標完全由通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率和阻帶最小衰減確定。對于選頻型濾波器一般對通帶和阻帶內的幅頻響應曲線形狀沒有具體要求，只需要其波紋幅度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)特性”。所謂片段，是指“通帶”和“阻帶”，常數(shù)是指“通帶波紋幅度”和“阻帶波紋幅度”，而通帶最大衰減和阻帶最小衰減是與和完全等價的兩個常數(shù)。對圖2-4所示的單調下降幅頻特性，和分別可以表示為：dB〔3-4〕dB〔3-5〕如果將歸一化為1，〔3-4〕和〔3-5〕式那么表示為dB〔3-6〕dB〔3-7〕當幅度下降到時，標記，此時dB，稱為3dB通帶截止頻率，它可以理解為幅頻下降3dB或者幅值下降到歸一化幅值的0.707倍時，其對應的頻率。、和統(tǒng)稱為邊界頻率，它們是濾波器設計中涉及到的很重要的參數(shù)。模擬濾波器根本原理模擬濾波器的技術指標間接法設計的關鍵在于過渡模擬濾波器的構建。首先需要將數(shù)字濾波器的技術指標、、和轉換為模擬濾波器的技術指標、、和。模擬濾波器的技術指標與數(shù)字濾波技術指標意義相似：和分別稱為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率，和分別是通帶最大衰減和阻帶最小衰減。對于模擬濾波器，在給定技術指標的情況下，首要任務是找出系統(tǒng)函數(shù)使之近似地符合給定的技術指標。對于典型的可實現(xiàn)函數(shù)，往往先求對應頻率響應的幅度平方函數(shù)，由此尋找。待求的應滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求，且系統(tǒng)單位沖激響應是的實函數(shù)，這樣應具有共軛對稱性，即：〔3-8〕由此得：〔3-9〕如果能由、、和求出，那么就可以求出，由此可求出所需要的。必須是因果穩(wěn)定的，因此其極點必須落在s平面的左半平面，相應的極點必須落在右半平面。這就是由求所需要的的具體原那么。實際上，幅度平方函數(shù)就是對理想幅度平方函數(shù)的近似逼近函數(shù)，解決濾波器系統(tǒng)函數(shù)設計的關鍵是要找到這種逼近函數(shù)。選用不同的逼近函數(shù)對應于不同的濾波器實現(xiàn)方法，目前常用的典型模擬濾波器有巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器和橢圓濾波器等。巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器又稱最平坦響應濾波器，它是最根本的逼近函數(shù)之一。它的頻率響應在通帶和阻帶內沒有波紋，且為頻率的單調減函數(shù)，在靠近零頻處最平坦。〔1〕巴特沃斯濾波器的幅頻特性巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)定義為：〔3-10〕式中，稱為濾波器的階數(shù)，取正整數(shù)。其幅度特性與和的關系如圖3-2所示，其具有以下特點：圖3-2巴特沃斯濾波器幅頻特性最大平坦性在處，，可以證明：的前階導數(shù)都等于零，這說明巴特沃斯濾波器在附近的一段范圍內是非常平直的，它以原點的最大平坦性來逼近理想低通濾波器，最平坦響應濾波器亦因此而得名。2〕3dB不變性在處，，即幅頻特性在點下降3dB，隨著階數(shù)N的增加，頻帶下降的邊緣越陡峭，越接近理想特性，但不管N為多少，幅頻特性都要通過點。通帶、阻帶下降的單調性由通帶、阻帶上幅頻特性下降的單調性，可知巴特沃斯濾波器具有較好的相頻特性。〔2〕巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)與極點分布巴特沃斯濾波器幅度平方函數(shù)無零點分布，其極點個數(shù)為2N個，且呈等角度分布在以為半徑的圓周上，稱為巴特沃斯圓。具體分析如下：〔3-11〕為求出的2N個極點，由，得：〔3-12〕由此得：〔3-13〕所以〔3-14〕當N為偶數(shù)時〔3-15〕當N為奇數(shù)時〔3-16〕為的極點，此極點分布有以下特點：1〕的2N個極點以為間隔均勻分布在半徑的圓周上；2〕所有極點以軸為對稱軸分布，虛軸上無極點分布。3〕當N為奇數(shù)時，有兩個極點分布在的實軸上；當N為偶數(shù)時，實軸上無極點，所有負數(shù)極點均以軸呈對稱分布。圖3-3〔a〕〔b〕分別畫出了和時的極點分布。〔a〕〔b〕圖3-3函數(shù)極點分布為了得到穩(wěn)定的，取全部左半平面的極點：〔3-18〕當N為偶數(shù)時，得：〔3-19〕當N為奇數(shù)時，得：〔3-20〕為應用方便一般將式〔3-19〕和式〔3-20〕對進行歸一化處理，即將分子、分母各除以，并令，稱為歸一化復頻率，得：〔N為偶數(shù)〕〔3-21〕〔N為奇數(shù)〕〔3-22〕切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器又分為切比雪夫I型濾波器和切比雪夫II型濾波器。切比雪夫I型濾波器具有在通帶內等波紋，在阻帶內單調下降的振幅特性；而切比雪夫II型濾波器恰恰相反，它的振幅特性在通帶內單調下降，在阻帶內是等波紋的。它們的過渡帶較巴特沃斯濾波器陡峭，且在相同技術指標前提下，所需階數(shù)較巴特沃斯濾波器低。本論文以切比雪夫I型濾波器為例，介紹其頻率特性及傳輸函數(shù)。〔1〕切比雪夫濾波器的幅頻特性切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)定義為：〔3-23〕式中，表示通帶內幅度波動的程度，為小于1的正數(shù)；表示通帶截止頻率；為N階切比雪夫多項式，定義為：〔3-24〕圖〔3-4〕是按照式〔3-23〕畫出的切比雪夫濾波器的幅頻特性曲線。由圖可見，曲線有如下特性：當時，在間等幅波動，越小，波動幅度越小。當時，假設N為奇數(shù)，；假設N為偶數(shù)，。無論N為何值，當時，。當時，曲線呈單調下降，N越大，特性曲線衰減越快。5〕由于濾波器通帶內存在起伏，因而使通帶內的相頻特性也有相應的起伏波動，即相位是非線性的，這給信號傳輸時帶來非線性畸變，所以在有設計要求群延時為常數(shù)時，不宜采用這種濾波器。圖3-4切比雪夫濾波器幅頻特性曲線〔2〕切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和極點分布與巴特沃斯濾波器類似，切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是根據(jù)切比雪夫幅度平方函數(shù)來求解，并得到其極點分布。將代入式〔3-23〕，解方程可得到極點分布。設其系統(tǒng)函數(shù)的極點為，經(jīng)計算可用下式給出：，〔3-25〕〔3-26〕〔3-27〕〔3-28〕〔3-29〕由上式可得：〔3-30〕上式是一個平面上的橢圓方程，它的短軸和長軸分別位于平面的實軸和虛軸。可見，切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點排列在一個橢圓圓周上。取左半平面的極點作為的極點，可推出表達式為：〔3-31〕橢圓濾波器〔1〕橢圓濾波器的頻率響應和極點分布橢圓濾波器在通帶和阻帶內都具有等波紋幅頻響應特性，它的相頻特性在大約半個通帶范圍上非常接近線性相位。橢圓濾波器作為一種零、極點型濾波器，在有限頻率上既有零點又有極點，極零點在通帶內產(chǎn)生等紋波特性。阻帶內的有限頻率零點減小了濾波器過渡帶以獲得極為陡峭的衰減特性曲線。也就是說，橢圓濾波器以通帶和阻帶的波紋特性換取了對理想濾波器幅頻響應的最好逼近。同時由于其阻帶范圍內出現(xiàn)了旁瓣，所以橢圓濾波器的阻帶旁瓣大小需要滿足濾波器技術指標對阻帶最大衰減的要求。dBrad/s圖3-55階巴特沃斯、切比雪夫、橢圓濾波器的比擬圖3-8比擬了有5個極點的巴特沃斯濾波器、0.1dB切比雪夫濾波器和0.1dB有兩個傳輸零點的橢圓濾波器的幅頻特性。顯然，橢圓濾波器的過渡帶較其它兩種濾波器要窄的多。而在滿足幅頻響應指標相同的條件下，橢圓濾波器所需的階數(shù)最小，處理速度最快。所以工程實際中，希望濾波器階數(shù)最低時，就選擇橢圓濾波器，這使其成為一種性價比最高的濾波器，應用非常廣泛。橢圓濾波器的幅度平方函數(shù)可表示為：〔3-32〕其中是階雅克比橢圓函數(shù)，是通帶內幅度波動程度，橢圓函數(shù)既有零點又有極點。當為奇數(shù)時，可以表示為：〔3-33〕其中，。當為偶數(shù)時，可以表示為：〔3-34〕其中，。的零點是；而極點是。的值由橢圓積分給出，其定義是：〔3-35〕的零、極點互為倒數(shù)的關系使得橢圓濾波器在通帶和阻帶內均呈現(xiàn)等波紋特性。圖3-6所示為歸一化的橢圓低通濾波器幅頻響應。圖3-6歸一化橢圓低通濾波器幅頻響應〔2〕橢圓濾波器的設計橢圓濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和階數(shù)是由系統(tǒng)通帶邊界頻率、通帶內最大衰減、阻帶截止頻率以及阻帶內最小衰減決定的。現(xiàn)設為頻率歸一化的基準頻率，即：〔3-36〕定義頻率的選擇性因數(shù)為：〔3-37〕那么通帶邊界頻率和阻帶截止頻率分別歸一化，得：〔3-38〕〔3-39〕再假設：〔3-40〕〔3-41〕〔3-42〕〔3-43〕那么得到橢圓濾波器的階數(shù)為：〔3-44〕這時，根據(jù)橢圓函數(shù)數(shù)值表可以得到相應階次濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母系數(shù)。這時，令歸一化的基準頻率為，那么得到歸一化后的橢圓濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：〔3-45〕式中，，所以，實際的橢圓低通濾波器就可以通過去歸一化來得到：〔3-46〕模擬濾波器頻率變換高通、帶通和帶阻濾波器設計的常用方法是借助于對應的低通原型濾波器。首先，通過頻率變換公式將所需形式的濾波器指標轉換為相應的低通濾波器指標；然后，設計相應的低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)；最后，對低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)進行頻率變換，得到所需形式濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。定義為歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)，即是關于某個邊界頻率歸一化的低通濾波器。歸一化頻率根據(jù)設計需要而定，巴特沃斯濾波器的低通原型是關于3dB截止頻率歸一化的低通系統(tǒng)函數(shù)，切比雪夫濾波器和橢圓濾波器的低通原型是關于通帶邊界頻率歸一化的低通系統(tǒng)函數(shù)。定義為的歸一化復變量，為歸一化頻率，其通帶邊界頻率記為。〔1〕低通到高通的頻率變換從低通到高通濾波器的映射關系為：〔3-47〕在頻率軸上該映射關系為：〔3-48〕式中，為希望設計的高通濾波器的通帶邊界頻率。頻率變換公式〔3-48〕意味著將低通濾波器的通帶映射為高通濾波器的通帶，而將低通濾波器的通帶映射為高通濾波器的通帶。同樣，將低通濾波器的阻帶映射為高通濾波器的阻帶，而將低通濾波器的阻帶映射為高通濾波器的阻帶。映射關系式〔3-48〕確保低通濾波器在通帶上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器的通帶上。同樣，低通濾波器在阻帶上的幅值出現(xiàn)在高通濾波器的阻帶上。最后，只要將通帶邊界頻率為的低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉換成通帶邊界頻率為的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)即可：〔3-49〕〔2〕低通到帶通的頻率變化從低通到高通濾波器的映射關系為：〔3-50〕在頻率軸上該映射關系為：〔3-51〕式中，，用來表示帶通濾波器的通帶寬度，和分別為帶通濾波器的通帶下截止頻率和通帶上截止頻率；表示帶通濾波器的中心頻率。根據(jù)式〔3-51〕的映射關系，頻率映射為，頻率映射為頻率和，頻率映射為頻率和。也就是說，將低通濾波器的通帶映射為帶通濾波器的通帶和。同樣，映射為頻率和，頻率映射為頻率和。最后，將轉換為帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即：〔3-52〕可以證明：〔3-53〕所以，帶通濾波器的通帶頻率是關于幾何對稱的。如果原指標給定的邊界頻率不能滿足式〔3-53〕，就要改變其中一個邊界頻率，但要保證改變后的指標高于原始指標，具體計算公式為：或〔3-54〕如果，那么減小〔或增大〕；反之，如果，那么減小〔或增大〕。〔3〕低通到帶阻的頻率變換低通到帶阻的頻率映射關系為：〔3-55〕在頻率軸上該映射關系為：〔3-56〕式中，，用來表示帶阻濾波器的阻帶寬度，和分別為帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和阻帶上截止頻率；表示帶阻濾波器的中心頻率。由式〔3-56〕可知，是的二次函數(shù)，從低通濾波器頻率到帶阻濾波器頻率為雙值映射。最后，將阻帶邊界頻率為的低通原型濾波器轉換為所希望設計的帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)，即：〔3-57〕模擬濾波器與數(shù)字濾波器的轉換關系間接法設計數(shù)字濾波器，首先需要將數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標，設計過渡模擬濾波器后，再將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按照一定變換關系轉換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。二者的轉換，實質上是域與域之間的映射轉換，為使數(shù)字濾波器保持模擬濾波器的特性，這種映射關系應滿足以下條件：〔1〕為使模擬濾波器的頻率特性和數(shù)字濾波器的頻率特性有相互對應關系，要求平面的虛軸映射為平面的單位圓，使得相應的頻率之間呈線性關系。〔2〕域左半平面映射到平面的單位圓內部，也就是穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)映射后仍然是穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。將系統(tǒng)函數(shù)從平面轉換到平面的方法有很多種，常用的是脈沖響應不變法和雙向性變換法。脈沖響應不變法脈沖響應不變法是把模擬濾波器的沖激響應進行等間隔抽樣，其抽樣值作為數(shù)字濾波器的單位抽樣響應，即：〔3-58〕式中，為抽樣間隔。對取變換即可求得作為該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。下面設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)僅具有單極點，以此為例簡要分析脈沖響應不變法的原理。其表達式為：〔3-59〕〔3-60〕對式〔3-59〕取反變換，得：〔3-61〕按式〔3-58〕對抽樣并取變換，得：〔3-62〕〔3-63〕比照式〔3-59〕和式〔3-63〕可見，脈沖響應不變法的原理就是把局部分式展開式中的代之以，即得。此結果說明，平面極點映射到平面，是位于處的極點，假設在平面的左半平面，那么必位于平面的單位圓內，從而保證了數(shù)字濾波器的穩(wěn)定性。與的映射關系為：〔3-64〕上式說明，平面與平面的映射呈多值多元關系。假設，，那么，。多值映射關系也可以從下式看出：〔3-65〕當不變，以整數(shù)倍改變時，映射值不變，也就是將平面沿著軸分割成一條條寬為的水平帶，每條水平帶都按前面分析的關系映射成整個平面。平面與平面間映射的多值性是脈沖響應不變法的一個缺點，同時如果原的頻帶不是限于之間，那么會在奇數(shù)倍的附近產(chǎn)生頻譜混疊，對應數(shù)字頻率在附近產(chǎn)生頻譜混疊。脈沖響應不變法的頻譜混疊現(xiàn)象如圖3-7所示。圖3-7脈沖響應不變法的混疊現(xiàn)象示意圖綜上所述，對于脈沖響應不變法，它可以把穩(wěn)定的模擬濾波器變換成穩(wěn)定的數(shù)字濾波器，變換時頻率呈線性關系。混疊現(xiàn)象不嚴重時，轉換后的數(shù)字濾波器頻率特性形狀與模擬濾波器根本相同，在時域上兩者的沖激響應形狀一致。但是由于混疊現(xiàn)象的存在，使得設計出的數(shù)字濾波器在附近的頻率響應特性不同程度地偏離模擬濾波器在附近的頻率特性，嚴重會是使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術指標。因此，脈沖響應不變法只適用于低通濾波器和帶限的高通、帶通、帶阻濾波器，在不帶限情況下，需要在高通、帶通、帶阻濾波器前參加保護濾波器，濾除高于折疊頻率的頻帶，但是這樣會增加系統(tǒng)的本錢和復雜度。另一種常用的變換方法——雙線性變換法，能夠有效地解決脈沖響應不變法帶來的頻譜混疊問題。雙線性變換法雙線性變換是采用非線性頻率壓縮的方法，將整個模擬頻率軸壓縮到之間，再用轉換到平面上。設，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用，表示，用正切變換來實現(xiàn)頻率壓縮：〔3-66〕式中，為采樣間隔。當從經(jīng)過變化到時，那么由經(jīng)過變化到，實現(xiàn)了平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的之間的轉換。由式〔3-66〕有：〔3-67〕代入，得到：〔3-68〕再通過從平面轉換到平面上，得到：〔3-69〕〔3-70〕式〔3-69〕和式〔3-70〕都成為雙線性變換。雙線性變換過程就是從平面映射到平面，再從平面映射到平面。由于從平面映射到平面的非線性頻率壓縮，使得帶限于，因此再用脈沖響應不變法從平面轉換到平面就不會出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象，這是雙線性變換法最大的優(yōu)點。從平面轉換到平面時采用轉換關系，平面的之間水平帶的左半局部映射到平面的單位圓內部，虛軸映射為單位圓，因果穩(wěn)定，轉換成的也是因果穩(wěn)定的。令，，代入式〔3-76〕，得到模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關系：〔3-71〕〔3-72〕上式中平面上的與平面的成非線性正切關系，如圖3-8所示。附近接近線性關系；當增加時，增加得越來越快；趨近于時，趨近于。正是這種非線性關系，消除了頻譜混疊問題。圖3-8雙線性變換的頻率關系但是，與之間的非線性關系也是雙線性變換法的缺點，使數(shù)字濾波器頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器的頻響曲線形狀。這種非線性影響的實質問題是：如果的刻度是均勻的，那么其映像的刻度不是均勻的，而是隨著的增加越來越密集。雙線性變換頻率軸的非線性畸變問題，對于常用的大量具有片段常數(shù)頻響特性的濾波器來說，問題并不嚴重。對于一般的低通、高通等濾波器，它們在通帶內要求逼近一個衰減為零的常數(shù)，在阻帶內要求逼近一個衰減為的常數(shù)，這種特性的濾波器，通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但結果仍然具有原片段常數(shù)特性，只是通帶截止頻率、阻帶起始頻率發(fā)生了非線性變化。這個問題的解決可以通過“預畸變校正”來實現(xiàn)，即在由數(shù)字濾波器的臨界頻率求原型模擬濾波器的臨界頻率時，不是按照線性關系來求得，而是根據(jù)式〔3-72〕這個非線性關系求得。這就保證了通過雙線性變換后，所設計的模擬截止頻率正好映射在所要求的數(shù)字截止頻率上。橢圓數(shù)字濾波器設計及仿真橢圓數(shù)字濾波器的設計步驟采用間接法設計橢圓數(shù)字濾波器的一般步驟，總結如下：〔1〕確定所需類型橢圓數(shù)字濾波器的技術指標〔以低通為例〕：通帶邊界頻率、通帶最大衰減和阻帶截止頻率、阻帶最小衰減和采樣間隔。〔2〕將所需類型橢圓數(shù)字濾波器的邊界頻率轉換為相應類型的模擬濾波器技術指標，可采用脈沖響應不變法或雙線性變換法。采用脈沖響應不變法時，轉換關系為：〔4-1〕采用雙線性變換法時，邊界頻率的轉換關系為：〔4-2〕當采用雙線性變換法時，采樣間隔為任意值；采用脈沖響應不變法時，為使頻譜混疊足夠小，采樣間隔需滿足。〔3〕將相應類型的橢圓模擬濾波器技術指標轉換成橢圓模擬低通濾波器的技術指標。〔4〕設計橢圓模擬低通濾波器。〔5〕通過頻率變換將橢圓模擬低通濾波器轉換為相應類型的橢圓模擬濾波器。〔6〕采用脈沖響應不變法或雙線性變換法，將相應類型的橢圓模擬濾波器轉換成橢圓數(shù)字濾波器。橢圓數(shù)字濾波器的MATLAB仿真MATLAB仿真軟件是一套集數(shù)值計算、符號運算及圖形處理等強大功能于一體的科學計算語言。它的應用范圍涵蓋了電子、半導體制造、醫(yī)學研究、航空航天、汽車制造、分子模型、影視、建筑等行業(yè)。MATLAB擁有友好的工作平臺和編程環(huán)境，簡單易用的程序語言，強大的科學計算及數(shù)據(jù)處理能力，出色的圖形處理功能，應用廣泛的模塊集和工作箱，實用的程序接口和發(fā)布平臺，模塊化的設計和系統(tǒng)級的仿真。隨著MATLAB的信號處理工具箱的推出，現(xiàn)如今它已成為數(shù)字信號處理應用中分析和仿真設計的主要工具。MATLAB的信號處理工具箱提供了各種數(shù)字濾波器的設計函數(shù)，其中橢圓數(shù)字濾波器的設計函數(shù)有：ellipap、ellipord和ellip。通過編程可以很容易由濾波器的技術指標得到所需濾波器的階數(shù)，實現(xiàn)各種類型的橢圓數(shù)字濾波器，大大簡化了橢圓數(shù)字濾波器的設計。下面，將按順序介紹在本論文中橢圓數(shù)字濾波器的設計涉及到的重要函數(shù)調用方式以及橢圓數(shù)字濾波器的設計仿真實例。重要函數(shù)調用方式〔1〕橢圓濾波器設計函數(shù)1〕Ellipap函數(shù)：設計歸一化橢圓模擬低通濾波器。其調用方式為：[z,p,k]=ellipap(N,rp,rs)：用于計算N階歸一化模擬低通橢圓濾波器的零點向量z、極點向量p和增益因子k。輸入?yún)?shù)N為濾波器的階數(shù)；輸入?yún)?shù)rp為濾波器在通帶內的最大衰減值；輸入?yún)?shù)rs為濾波器在組帶內的最小衰減值。返回長度為N的列向量z和p分別給出N個零點和N個極點。2〕Ellipord函數(shù)：計算橢圓濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率。其調用方式為：[n,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs)：用于計算滿足指標的橢圓數(shù)字濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo。參數(shù)wp為通帶邊界頻率，ws為阻帶截止頻率，rp為通帶最大衰減，rs為阻帶最小衰減。[n,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs,’s’)：用于計算滿足指標的橢圓\模擬濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo。3〕Ellip函數(shù)：直接調用設計橢圓濾波器。其調用方式為：[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn)：用來返回或設計的截止頻率為wn〔wn必須為整數(shù)〕的N階橢圓濾波器的分子系數(shù)向量b和分母系數(shù)向量a〔按照降冪排列〕。輸入?yún)?shù)rp用來指定通帶內波紋的最大衰減；輸入?yún)?shù)rs用來指定阻帶內波紋的最小衰減；wn的取值范圍為〔0.0，1.0〕，其中1對應于0.5fs，fs為采樣頻率。在這里，如果wn是一個二元向量，即wn=[w1,w2]，那么此函數(shù)返回的是一個2N階的帶通橢圓濾波器的設計結果，其通帶是。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn,’high’)：設計橢圓高通濾波器。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn,’stop’)：設計帶阻濾波器，此時wn=[w1,w2]。上面三種情況返回的向量b和a的維數(shù)都是〔N+1〕，而不是N。[z,p,k]=ellip(…)：當函數(shù)有三個輸出變量時，得到的是橢圓濾波器的零極點增益模型。[a,b,c,d]=ellip(…)：當函數(shù)有四個輸出變量時，得到的是橢圓濾波器的狀態(tài)方程。ellip(n,rp,rs,wn,’s’)、ellip(n,rp,rs,wn,’high’,’s’)、ellip(n,rp,rs,wn,’stop’,’s’)：用參數(shù)s來指定設計的是模擬橢圓濾波器，此時，wn的單位是rad/s，可以大于1。〔2〕頻率變換函數(shù)1〕Lp2hp函數(shù)：模擬低通濾波器到模擬高通濾波器。其調用方式為：[numt,dent]=lp2hp(num,den,wo)：將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為截止頻率為wo的模擬高通濾波器。[at,bt,ct,dt]=lp2hp(a,b,c,d,wo)：將用狀態(tài)方程表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為截止頻率為wo的模擬高通濾波器。2〕Lp2bp函數(shù)：模擬低通濾波器到模擬帶通濾波器。其調用方式為：[numt,dent]=lp2bp(num,den,wo,bw)：將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為wo、帶寬為bw的模擬帶通濾波器。[at,bt,ct,dt]=lp2hp(a,b,c,d,wo,bw)：將用狀態(tài)方程表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為wo、帶寬為bw的模擬帶通濾波器。3〕Lp2bs函數(shù)：模擬低通濾波器到模擬帶阻濾波器。其調用方式為：[numt,dent]=lp2bs(num,den,wo,bw)：將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為wo、帶寬為bw的模擬帶阻濾波器。[at,bt,ct,dt]=lp2bs(a,b,c,d,wo,bw)：將用狀態(tài)方程表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為wo、帶寬為bw的模擬帶阻濾波器。〔3〕模擬濾波器與數(shù)字濾波器轉換函數(shù)1〕Impinvar函數(shù)：模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器的脈沖響應不變法。其調用方式：[bz,az]=impinvar(b,a,fs)：將模擬濾波器的〔b,a〕換成數(shù)字濾波器的〔bz,az〕，輸入?yún)?shù)fs是對模擬濾波器頻率響應的采樣，其默認值為1。[bz,az]=impinvar(b,a,fs,tol)：輸入?yún)?shù)tol表示區(qū)分多重極點的程度，其默認值為1%。2〕Bilinear函數(shù)：模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器的雙線性變換法。其調用方式為：[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,fs)：將采用零極點模型表達的模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器。列向量z為零點向量，列向量p為極點向量，k是系統(tǒng)增益，fs是指定的采樣頻率，其單位為Hz。[numd,dend]=bilinear(num,den,fs)：將采用傳遞函數(shù)模型表達的模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器。[ad,bd,cd,dd]=bilinear(a,b,c,d,f)：將采用狀態(tài)空間模型表達的模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器。橢圓數(shù)字濾波器設計仿真實例〔1〕橢圓數(shù)字低通濾波器的設計仿真1〕設計說明：運用雙線性變換法設計橢圓數(shù)字低通濾波器，其技術指標為：通帶邊界頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。畫出該濾波器幅頻、相頻曲線及零極點分布。2〕程序代碼：clc;clearall;Rs=20;Rp=1;Wpl=0.2*pi;Wsl=0.3*pi;OmegaPl=tan(Wpl/2);OmegaSl=tan(Wsl/2);Eta_P=OmegaPl/OmegaPl;Eta_S=OmegaSl/OmegaPl;[N,Wn]=ellipord(Eta_P,Eta_S,Rp,Rs,'s');[numl,denl]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,'s');[num,den]=bilinear(numl,denl,0.5);subplot(2,2,3);zplane(num,den);w=0:pi/256:pi;h=freqz(num,den,w);g=abs(h);g1=angle(h);subplot(2,2,1);plot(w/pi,g);gridaxis([0102]);xlabel('\omega^pi');ylabel('magnitude');title('themagnitudeofthefilter');subplot(2,2,2);plot(w/pi,g);gridon;axis([01-55]);xlabel('\omega^pi');ylabel('Phase');title('Thephaseofthefilter');3〕運行結果：橢圓數(shù)字低通濾波器階數(shù)：N=3；橢圓數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)：num=[0.254460.43220.43220.25446]den=[1-0.189030.71974-0.15739]橢圓數(shù)字低通濾波器頻率響應特性及零極點分布如圖4-1所示。圖4-1橢圓數(shù)字低通濾波器仿真結果示意圖4〕結果分析：由圖4-1可以清晰地看到，橢圓數(shù)字低通濾波器的幅頻響應曲線在通帶和阻帶上都存在等波紋，其過渡帶較窄，相頻響應在大約半個通帶范圍內非常接近線性相位。它是一種零、極點型濾波器，在有限頻率上既有零點又有極點。〔2〕橢圓數(shù)字帶阻濾波器的設計仿真1〕設計說明：直接調用函數(shù)設計橢圓數(shù)字帶阻濾波器，要求濾除2200~2500Hz頻段的頻率成分，阻帶衰減大于40dB，保存0~1500Hz和2800Hz以上的頻率成分，通帶幅度失真小于1dB，畫出橢圓數(shù)字帶阻濾波器頻率響應曲線。2〕程序代碼：fsl=2200;fsu=2500;fpl=1500;fpu=2800;Fs=8000;ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];Rp=1;Rs=40;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs);[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,wpo,'stop');freqz(b,a);3〕仿真結果：圖4-2橢圓數(shù)字帶阻濾波器頻率響應特性4〕結果分析：由得到的仿真結果幅頻響應曲線可以看到，該帶阻橢圓數(shù)字濾波器可以實現(xiàn)技術指標所要求濾波效果。通帶范圍0~1500Hz和2800Hz以上的頻率成分，經(jīng)過對取歸一化后，得到0~0.375和0.7以上保存頻率范圍，2200~2500Hz對應的歸一化濾除頻率范圍是0.55~0.625，幅頻響應曲線顯示濾波器幅頻特性完全符合設計要求。但是相頻特性曲線的線性較差，有待進一步改善。〔3〕橢圓數(shù)字帶通濾波器的設計仿真1〕設計說明：輸入信號，設計橢圓數(shù)字帶通濾波器,使輸入信號通過橢圓數(shù)字濾波器后僅保存220Hz頻率成分，畫出橢圓數(shù)字濾波器的頻率響應曲線，以及輸入信號、輸出信號波形及頻譜圖。2〕程序代碼：Fs=2000;Nn=200;t=(1:Nn)/Fs;w1=2*pi*100;w2=2*pi*220;w3=2*pi*400;y=sin(w1*t)+2*sin(w2*t)+5*sin(w3*t);figure(1);subplot(2,