專題15平面對量（選填壓軸題）①向量模問題（定值，最值，范圍）1．（2024·浙江·永嘉中學高一競賽）已知點是邊長為的正五邊形內(含邊界)一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，取的中點，則∴圓O的半徑則，即，即，即，即，即則∵設，則∵，則又∵，則∴，則即∴，則由此易得，即其最大值是.故選：D.2．（2024·全國·高三專題練習）在平面內，定點滿意，，動點P，M滿意，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，即點到三點的距離相等，可得為的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以為的垂心，所以的外心與垂心重合，所以為正三角形，且為的中心，因為，解得，所以為邊長為的正三角形，如圖所示，以為原點建立直角坐標系，則，因為，可得設，其中，又因為，即為的中點，可得，所以.即的最大值為.故選：B.3．（2024·全國·高三專題練習）設向量，，滿意：，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，，，，又，，設，，，則，，又，，、、、四點共圓，當最大時，有，為該圓的半徑，由，所以，在中，由正弦定理可得，當且僅當是的平分線時，取等號，此時的最大值為圓的直徑大小為.故選：A．4．（2024·全國·高三專題練習）平面內，定點，，，滿意，且，動點，滿意，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題，則到，，三點的距離相等，所以是的外心.又，變形可得，所以，同理可得，，所以是的垂心，所以的外心與垂心重合，所以是正三角形，且是的中心；由，解得，所以的邊長為；如圖所示，以為坐標原點建立直角坐標系，則，，，，可設，其中，，而，即是的中點，則，，當時，取得最大值為．故選：D．5．（2024·浙江·諸暨市教化探討中心高二學業考試）已知，，向量滿意，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，得：，即有，如圖示，設，故不妨設，則，則，設，則，因為，故可得，所以C點在以AB為直徑的圓上運動，在中，,AB的中點為，則以AB為直徑的圓的方程為，故的最大值為，最小值為，即的取值范圍是，故選：B6．（2024·遼寧葫蘆島·高一期末）如圖，在等腰中，已知，，E，F分別是邊AB，AC上的點，且，，其中，，且，若線段EF，BC的中點分別為M，N，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在等腰中，已知則，因為分別是邊的點，所以，而，左右兩邊平方得，又因為，所以，所以當時，的最小值為，即的最小值為.故選：B.7．（2024·內蒙古通遼·高二期末（理））已知向量滿意.設，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【詳解】因為，所以7.又，所以，解得，則向量的夾角為.建立如圖所示的直角坐標系，設，因為，所以，即.設，則點在直線上運動..故選：B.8．（2024·貴州·高二學業考試）已知平面對量滿意，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】建立平面直角坐標系，設，由，不妨設，又，不妨設在直線上，又可得，即，則，設，則，則，即，則在以為圓心，1為半徑的圓上；又，則的最小值等價于的最小值，即以為圓心，1為半徑的圓上一點到直線上一點距離的最小值，即圓心到直線的距離減去半徑，即，則的最小值是.故選：D.9．（2024·浙江臺州·高一期末）已知是平面內三個非零向量，且，則當與的夾角最小時，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，因為，所以，即是邊長為1的等邊三角形，因為，則可以為原點，為坐標軸建立直角坐標系，設，則，，，，則，，則，令，則，令，則，則可得在單調遞增，在單調遞減，所以在取得最大值，即最大，與的夾角最小，此時.故選：B.10．（2024·江蘇·揚中市其次高級中學模擬預料）已知與為單位向量，且⊥，向量滿意，則||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【詳解】依據題意，設，，，以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸的正方向建立坐標系，則，，設，則，若，則有，則在以為圓心，半徑為2的圓上，設為點，則，則有，即，則的取值范圍為；故選：D．11．（2024·浙江·高一期中）已知平面對量，，滿意，，，，則的最小值為________.【答案】【詳解】令，，，OB的中點為D，AB的中點為E，OD的中點為F，與的夾角為，連接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得，，因為，所以，在中，由余弦定理得.又由，得，所以點C的軌跡為以OD為直徑的圓.因為，當且僅當點C、E、F共線，且點C在點E、F之間時，等號成立.所以的最小值為.故答案為：.12．（2024·全國·高三專題練習）在平面內，定點，，，滿意，，動點，滿意，，則的最大值為__．【答案】【詳解】解：平面內，，，，，，可設，，，，動點，滿意，，可設，，，，，，當且僅當時取等號，的最大值為．故答案為：．13．（2024·全國·高三專題練習）已知平面對量，和單位向量，滿意，，，當變更時，的最小值為，則的最大值為__________.【答案】【詳解】不妨設，，則由題知又，所以整理得①，所以又，所以而將①代入整理得：令，，有最小值，又，當且僅當時等號成立所以，當時有最大值.故答案為：.14．（2024·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，O為外心，若，，則的范圍是______．【答案】【詳解】因為，而，故，故外接圓半徑滿意，故，所以，而，故，如圖，在單位圓中，設，則，又若，則，故，若，則，故，若，則，故，綜上，時，總有，其中，且，因為，故，而，故，所以，故，故答案為：15．（2024·浙江·模擬預料）已知平面對量滿意，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】當時，取明顯成立，當時，不妨設，則，∴，即存在，使，當時，，不合題意，當時，存在，使，即適合題意；綜上，的取值范圍是.故答案為：.16．（2024·浙江·瑞安市瑞祥高級中學高一階段練習）已知平面對量滿意：，，，，，則當取到最小值時，___________.【答案】【詳解】依據題意，因為，，，設，，，所以，所以，所以，所以或，即或；當時，因為，所以，所以，當且僅當且時，取到最小值，解得，，，所以，，所以；當時，因為，所以，所以，當且僅當且時，取到最小值，解得，，，所以，，所以；綜上所述：.故答案為：.②向量數量積（定值，最值，范圍）1．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線，點為直線上一動點，過點作直線與分別切于點則___________.【答案】0【詳解】由，得，則，設，，所以，得切線的方程為，即，切線的方程為，即，又兩條切線過切點，有、，所以是方程即的兩實根，得，又，所以將代入上式，得.故答案為：0，2．（2024·全國·高三專題練習）在中，若，點為邊的中點，，則的最小值為______.【答案】【詳解】，因為為邊的中點，，故，故求的最大值.設，，則由余弦定理，，，因為，故，即，又，故，即，此時，故，當且僅當時取等號.即的最小值為故答案為：3．（2024·浙江省義烏中學高一期末）已知向量，滿意，若以向量為基底，將向量表示成為實數），都有，則的最小值為________【答案】【詳解】由題可知，不妨設，,,則點、分別在以原點為圓心，半徑分別為和的圓上運動，又為實數），都有，所以當、、三點共線時且此線與半徑為2的圓相切時，向量的夾角最大，此時，的最小.此時，在中，由余弦定理可得，,故答案為：.4．（2024·浙江省臨安中學模擬預料）已知單位向量，向量，滿意，且，其中，當取到最小時，_______．【答案】0【詳解】由題意得，故，又，，故，，同理得，故，明顯，故，當且僅當時等號成立，此時取到最小值2，，得，得．故答案為：05．（2024·全國·高三專題練習）已知向量滿意，若對隨意，恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解析：因為，則，因為，由，由，即，由，則恒成立.由,即則，解得，又所以.故答案為：6．（2024·浙江省杭州學軍中學模擬預料）已知平面對量滿意，且，，則的取值范圍是_____________．【答案】【詳解】由題可設，，，，，B、C在以O為圓心半徑為的圓上，又，則．因為，記與的夾角為，①當時，，；②當時，由對稱性可設，∴，∴，，∴，，∴；綜上，結合圖像可得，所以．故答案為：．7．（2024·全國·高一）已知△ABC三點在平面直角坐標系xoy所在平面內，點B、C分別在x、y正半軸上滑動，，，，則的最大值為______．【答案】【詳解】建立如圖的坐標系，,所以四點共圓.,設，則且，,在中，由正弦定理知：,即，,故，其中，時，，故有最大值.故答案為：8．（2024·上海市七寶中學高三期中）設為中邊上的中線，且.若，則的最大值為_________【答案】##【詳解】①為中點,為中點(由得到)代入①式得又代入得由余弦定理得由結合基本不等式得所以當且僅當取等最大值為故答案為：9．（2024·江蘇·輔仁中學高一階段練習）已知A，B，C，D是平面內四點，且，則的最小值為___________.【答案】【詳解】設，，則，，所以，，則，當，時的最小值為.故答案為：10．（2024·福建·廈門一中高一階段練習）已知三角形ABC，點D為線段AC上一點，BD是的角平分線，為直線BD上一點，滿意，，，則_____________.【答案】6【詳解】由為方向上的單位向量，易知：是外角的角平分線，又BD是的角平分線，即為△的旁心，而，，法一：作于點，則，如下圖示，所以，又，所以.法二：不妨設△為等邊三角形，即，則，所以，故，而，所以.故答案為：611．（2024·廣東·廣州市協和中學高一期中）在中，，P為AB邊上一點，，則的最小值為______．【答案】【詳解】延長AC至點D，使AD=4AC，連接BD，取BD的中點E，連接AE，由于，所以，由三線合一得：，因為，所以，由勾股定理得：，所以△ABD為等邊三角形，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB為y軸建立如圖所示平面直角坐標系，則，，設（），所以，當時，取得最小值，最小值為.故答案為：12．（2024·上海·華東師范高校附屬東昌中學高三階段練習）已知點P在圓上，已知，，則的最小值為___________.【答案】【詳解】由題意，取線段AB的中點，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因為圓心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：③向量夾角（定值，最值，范圍）1．（2024·上海交大附中高二階段練習）若平面對量，，滿意，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，，，，，，三者干脆各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數可得：與夾角的取值范圍是，故選：C.2．（2024·浙江·紹興市教化教學探討院高二期末）已知平面對量，滿意，且對隨意實數，有，設與夾角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可設，則由于對隨意實數，有，故恒成立，即對隨意實數恒成立，故，即，所以向量對應的點位于如圖所示的直線外部的陰影區域內（含邊界直線），設，，則,故，不妨假設向量對應的點在上部分區域內，則由圖可以看到當對應的點位于B處，即在直線上，且當時，最大，此時，所以，即最小值為，由圖可以看到，當B點沿直線向外運動或在陰影部分中向遠處運動時，可以無限趨近于0，故，因此的范圍是，當B點位于直線上或下方的區域內時，同理可求得的范圍是，故選：D3．（2024·江西·橫峰中學高一期末）在銳角中，、、分別是的內角、、所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接并延長交于點，則為的中點，因為，則，由重心的性質可得，則，因為，所以，，所以，，所以，，所以，，則為銳角，由余弦定理可得，所以，，因為為銳角三角形，則，即，即，所以，，構造函數，其中，任取、且，則.當時，，，則，當時，，，則，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為，所以，，故.故選：C.4．（2024·浙江·鎮海中學高二期末）已知平面對量、、滿意，則與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設與夾角為，與所成夾角為，，所以，，①，②又，③②與③聯立可得，④①④聯立可得，當且僅當時，取等號，，，則，故與所成夾角的最大值是，故選：A.5．（2024·福建省廈門集美中學高一期中）中，若，，點E滿意，直線與直線相交于點D，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在△ABC中，由余弦定理得：設，，因為，所以，即，因為A、B、D三點共線，所以，解得：，所以，即因為AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因為，所以所以故選：A6．（2024·全國·高二期末）已知.在時取得最小值，問當時，向量與夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設向量與的夾角為，則，,則，因為，所以當時，在時取得最小值，又因為，所以，故，又，所以，所以與的夾角的取值范圍是，故選：C.7．（2024·全國·高一課時練習）中，若，，點滿意，直線與直線相交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，以點為原點，為軸構建直角坐標系，因為，，所以，，，設，因為、、三點共線，所以，，，因為，、、三點共線，所以，聯立，解得，，，因為，，所以，，因為，所以，故選：A.8．（2024·上海·華師大二附中高一期中）已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意可得，，則，，，則，所以，，令，則，令，由得，則，所以，故所以，當時，有最小值.故選：A.9．（2024·全國·高三專題練習）在中，，點在邊上，且，設，則當取最大值時，（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，即，因為，所以，，因為，所以，因為點在邊上，且，所以，設，則，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，則，令，解得，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，此時，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故選：B10．（2024·全國·高三專題練習）已知在中，，，動點位于線段上，當取得最小值時，向量與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為在中，，，所以，所以，當且僅當時取等號，因此在中，所以向量與的夾角的余弦值為，故選：C.11．（2024·江蘇揚州·高一期末）在中，，為鈍角，M，N是邊AB上的兩個動點，且，若的最小值為3，則_________．【答案】【詳解】取線段MN的中點P，連接CP，過C作于O，如圖，，依題意，，因的最小值為3，則的最小值為2，因此，在中，，，在中，，，所以.故答案為：12．（2024·全國·高三專題練習）已知平面對量滿意，若，且，則的最小值為___________.【答案】【詳解】如下圖所示，設，，，，，，因為，所以，因此點在直線上，又由于，因此是的角平分線，因此點是直線與的角平分線的交點.依據角平分線的性質可.過點作的平行線交于點，則.因此點在以為圓心，半徑為2的圓上運動由于，由此當直線相切于時，有最大值，有最小值.設此時切點為，則，，故.綜合上述，的最小值為.故答案為：.13．（2024·全國·模擬預料）已知平面對量滿意：，當與所成角最大時，則______【答案】【詳解】解：記，，，則，即點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓．過，兩點的圓與圓相外切，記切點為，此時最大（如圖）．下證上述結論：取圓上不同于切點的點，因為在圓的外面，所以．下面求當最大時，的值．記圓的半徑為，則．所以只需求出圓的半徑為即可．法一：如右圖，為弦的中點，在中，由余弦定理求得，，則．在中，，，，，由余弦定理得，．即．法二：如圖建系，，，，點在以為圓心，1為半徑的圓上．以為弦長作圓，當圓與圓外切時最大．圓心在弦的中垂線上，設，則，即，化簡得，即或（舍去），此時，得．故答案為：.14．（2024·江蘇省蘇州第十中學校高一期中）已知的外心為，滿意，則的最小值是___________.【答案】【詳解】依題意作圖，取BC的中點D，連接OD，AD，在中，記，，，因為的外心為O，則，因為，又，所以，同理可得，，由得，，即.在中，由余弦定理得，，又，當且僅當時，等號成立，所以.故答案為：.15．（2024·浙江·高三專題練習）已知平面對量滿意，則與所成夾角的取值范圍是_______.【答案】【詳解】令||＝|2|＝x，向量（）與（2）的夾角為θ∈[0，π]，因為2（）﹣（2），所以（）?（）＝（）?[2（）﹣（2）]＝2||2﹣|||2|cosθ①，若與的夾角為α∈[0，π]，即（）?（）＝||||cosα②，所以由①②知，||cosα＝2||﹣|2|cosθ＝2x﹣xcosθ＝x（2﹣cosθ），所以cosα＞0，即||2cos2α＝4x2﹣4x2cosθ+x2cos2θ，又因為||2＝|2（）﹣（2）|2＝5x2﹣4x2cosθ，所以cos2α，令m＝5﹣4cosθ，即cos2α，m∈[1，9]，有cos2α∈[，1]，又因為cosα＞0，所以cosα∈[，1]，所以α的最大值是．故答案為：．④向量的其它問題1．（2024·江蘇南通·高三開學考試）已知銳角滿意，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖所示：由正弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得,又因為,所以.又因為，所以，即有：，即，所以，設，可得，又因為為銳角三角形，所以，所以，設，則有，所以==，所以故選：A.2．（2024·河南駐馬店·高一期末）已知D，E分別是邊AB，AC上的點，且滿意，，，連接AO并延長交BC于F點．若，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，，因為三點共線，則，所以，同理，三點共線，，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，，所以故選：D.3．（2024·湖南衡陽·高一期末）在中，，，AD，BC的交點為M，過M作動直線l分別交線段AC，BD于E，F兩點.若，()，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由三點共線，可得存在實數t，使又由三點共線，可得存在實數m，使得則，解之得，則又，()，則，由三點共線，可得則（當且僅當時等號成立）則的最小值為故選：D4．（2024·全國·高三專題練習）已知向量，函數．若對于隨意的，且，均有成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，則，當時，恒成立，所以在上為增函數，不妨設，則，因為，所以等價于，即，令，，所以可知在上為減函數，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以在上為減函數，所以，所以，故選：B5．（2024·浙江臺州·高二期末）已知點為的外接圓圓上一點（不與、重合），且線段與邊相交于一點，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】若為線段與邊交點，則且，由題設，在的邊外側，如上圖中上，令，則，而，所以，當變大時，外接圓半徑趨向無窮大，此時可趨向無窮大，綜上，的取值范圍為.故選：B6．（2024·湖南·永州市第一中學高二階段練習）已知菱形ABCD的邊長為2，設，若恒成立，則向量在方向上投影的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設向量與的夾角為由，可得，即，即關于恒成立則，即故向量在方向上投影故選：A7．（2024·全國·高一期中）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點.設，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接，，三點共線，可設，則，；三點共線，可設，則，；，解得：，，即.故選：B.8．（2024·全國·高一專題練習）在中，D為三角形所在平面內一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，設AD交BC于E，且，由B,E,C三點共線可得：，∴，∴.設，則，∴.又，∴，∴.故選：B.9．（2024·上海·閔行中學高一階段練習）向量集合，對于隨意，，以及隨意，都有，則稱為“類集”，現有四個命題：①若為“類集”，則集合（為實常數）也是“類集”；②若、都是“類集”，則集合也是“類集”；③若、都是“類集”，則也是“類集”；④若、都是“類集”，且交集非空，則也是“類集”．其中正確的命題有（

）A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④【答案】D【詳解】①若為“類集”，則對于隨意，，以及隨意，都有，對于集合（為實常數），可得對于隨意，以及隨意都有，故正確；②若為“類集”，則對于隨意，，以及隨意，都有，若為“類集”，則對于隨意，，以及隨意，都有，可得對于隨意，以及隨意，都有，故正確；③若為“類集”，則對于隨意，，以及隨意，都有，若為“類集”，則對于隨意，，以及隨意，都有，設，為中元素的合并而得，且不重復，不符合“類集”的定義，故錯誤；④若為“類集”，則對于隨意，，以及隨意，都有，若為“類集”，則對于隨意，，以及隨意，都有，設，為中元素的公共部分，且不為空集，符合“類集”的定義，故正確；故選：D.10．（2024·全國·高三專題練習）設點M、N分別是不等邊的重心與外心，已知、，且．則動點C的軌跡E______；【答案】【詳解】設點，則的重心，∵是不等邊三角形，∴，再設的外心，∵已知，∴MN∥AB，∴，∵點N是的外心，∴，即，化簡整理得軌跡E的方程是.∴動點C的軌