吉林省延邊州安圖縣2025屆九年級數學第一學期期末經典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，二次函數的圖象經過點，，下列說法正確的是（）A． B．C． D．圖象的對稱軸是直線2．如圖下列條件中不能判定的是（）A． B．C． D．3．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一個解，則m的值是（）A．﹣3 B．3 C．0 D．0或34．一元二次方程x2﹣16=0的根是（

）A．x=2

B．x=4

C．x1=2，x2=﹣2

D．x1=4，x2=﹣45．已知二次函數y=-x2+2mx+2,當x<-2時，y的值隨x的增大而增大，則實數m（）A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-26．若數據，，…，的眾數為，方差為，則數據，，…，的眾數、方差分別是（）A．， B．， C．， D．，7．下列事件中是必然事件的是（）A．打開電視正在播新聞B．隨機拋擲一枚質地均勻的硬幣，落地后正面朝上C．在等式兩邊同時除以同一個數（或式子），結果仍相等D．平移后的圖形與原圖形中的對應線段相等8．若點在反比例函數上，則的值是（）A． B． C． D．9．如圖，直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點C，若S△AOB＝S△BOC＝1，則k＝（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在△ABC中，BC＝4，以點A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于點E，交AC于點F.P是⊙A上一點，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是()A．4－ B．4－ C．8－ D．8－二、填空題(每小題3分,共24分)11．分式方程的解是__________．12．有4根細木棒，長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm，從中任選3根，恰好能搭成一個三角形的概率是__________．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=75°，以點A為旋轉中心，將△ABC繞點A逆時針旋轉，得△AB'C'，連接BB'，若BB'∥AC'，則∠BAC′的度數是______________.14．等腰Rt△ABC中，斜邊AB＝12，則該三角形的重心與外心之間的距離是_____．15．在一個不透明的塑料袋中裝有紅色白色球共個．除顏色外其他都相同，小明通過多次摸球試驗后發現，其中摸到紅色球的頻率穩定在左右，則口袋中紅色球可能有________個．16．如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,點P為BC邊上一動點,若△PAB與△PCD是相似三角形,則BP的長為_____________17．如圖，在反比例函數位于第一象限內的圖象上取一點P1，連結OP1，作P1A1⊥x軸，垂足為A1，在OA1的延長線上截取A1B1=OA1，過B1作OP1的平行線，交反比例函數的圖象于P2，過P2作P2A2⊥x軸，垂足為A2，在OA2的延長線上截取A2B2=B1A2，連結P1B1，P2B2，則的值是．18．如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形構成，向游戲板隨機投擲一枚飛鏢（飛鏢每次都落在游戲板上），擊中黑色區域的概率是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）電影《我和我的祖國》在國慶檔熱播，預售票房成功破兩億，堪稱熱度最高的愛國電影，周老師打算從非常渴望觀影的5名學生會干部（兩男三女）中，抽取兩人分別贈送一張的嘉賓觀影卷，問抽到一男一女的概率是多少？（請你用樹狀圖或者列表法分析）20．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的中點，連接AC并延長至點D，使CD＝AC，點E是OB上一點，且，CE的延長線交DB的延長線于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）當OB＝2時，求BH的長．21．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，點是射線上一動點（點不與點，重合），過點作垂直于軸，交直線于點，以直線為對稱軸，將翻折，點的對稱點落在軸上，以，為鄰邊作平行四邊形．設點，與重疊部分的面積為．（1）的長是__________，的長是___________（用含的式子表示）；（2）求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．22．（8分）如圖，中，．以點為圓心，為半徑作恰好經過點．是否為的切線？請證明你的結論．為割線，．當時，求的長．23．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．動點P從點O出發，以每秒個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．設運動的時間為t秒，PQ2＝y．（1）直接寫出y關于t的函數解析式及t的取值范圍：；（2）當PQ＝時，求t的值；（3）連接OB交PQ于點D，若雙曲線（k≠0）經過點D，問k的值是否變化？若不變化，請求出k的值；若變化，請說明理由．24．（8分）已知，如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點A，與軸交于點B，拋物線經過A、B兩點，與軸的另一個交點為C．（1）直接寫出點A和點B的坐標；（2）求拋物線的函數解析式；（3）D為直線AB下方拋物線上一動點；①連接DO交AB于點E，若DE：OE=3：4，求點D的坐標；②是否存在點D，使得∠DBA的度數恰好是∠BAC度數2倍，如果存在，求點D的坐標，如果不存在，說明理由．25．（10分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點P是第一象限拋物線上的一個動點，連接CP交x軸于點E，過點P作PK∥x軸交拋物線于點K，交y軸于點N，連接AN、EN、AC，設點P的橫坐標為t，四邊形ACEN的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，點F是PC中點，過點K作PC的垂線與過點F平行于x軸的直線交于點H，KH＝CP，點Q為第一象限內直線KP下方拋物線上一點，連接KQ交y軸于點G，點M是KP上一點，連接MF、KF，若∠MFK＝∠PKQ，MP＝AE+GN，求點Q坐標．26．（10分）如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數關系圖象．（1）請你根據圖象提供的信息求出此蓄水池的總蓄水量；（2）寫出此函數的解析式；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量應該是多少？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據二次函數的圖像與性質即可求解.【詳解】由圖象可知圖象與y軸交點位于y軸正半軸，故c>0.A選項錯誤；函數圖象與x軸有兩個交點，所以＞0，B選項錯誤；觀察圖象可知x＝－1時y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C選項錯誤；根據圖象與x軸交點可知，對稱軸是（1,0）.（5,0）兩點的中垂線，，x＝3即為函數對稱軸，D選項正確；故選D【點睛】此題主要考查二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是熟知二次函數的圖像.2、C【分析】根據相似三角形的判定定理對各個選項逐一分析即可．【詳解】A.，可以判定，不符合題意；B.，可以判定，不符合題意；C.不是對應邊成比例，且不是相應的夾角，不能判定，符合題意；D.即且，可以判定，不符合題意．故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．3、A【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到關于m的方程，再解此方程即可．【詳解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一個解，∴4+2m+2＝0，∴m＝﹣1．故選：A．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解，難度系數較低，直接把解代入方程即可.4、D【解析】本題考查了一元二次方程的解法，移項后即可得出答案．【詳解】解：16=x2，x=±1．故選：D【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．5、C【解析】根據二次函數的性質，確定拋物線的對稱軸及開口方向得出函數的增減性，結合題意確定m值的范圍.【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線∵,拋物線開口向下，∴當時，y的值隨x值的增大而增大，∵當時，y的值隨x值的增大而增大，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數的增減性，由系數的符號特征得出函數性質是解答此題的關鍵.6、C【分析】根據眾數定義和方差的公式來判斷即可，數據，，…，原來數據相比都增加2，,則眾數相應的加2，平均數都加2，則方差不變．【詳解】解：∵數據，，…，的眾數為，方差為，∴數據，，…，的眾數是a+2，這組數據的方差是b．故選：C【點睛】本題考查了眾數和方差，當一組數據都增加時，眾數也增加，而方差不變．7、D【分析】根據事件發生的可能性大小判斷相應事件,從而可得答案．【詳解】解：A、打開電視正在播新聞是隨機事件；B、隨機拋擲一枚質地均勻的硬幣，落地后正面朝上是隨機事件；C、在等式兩邊同時除以同一個數（或式子），結果仍相等是隨機事件；D、平移后的圖形與原圖形中的對應線段相等是必然事件；故選：D．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．8、C【分析】將點（-2，-6）代入，即可計算出k的值．【詳解】∵點(-2，-6)在反比例函數上，∴k=(-2)×(-6)=12，故選：C.【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，明確函數圖象上點的坐標符合函數解析式是解題關鍵．9、D【分析】作CD⊥x軸于D，設OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根據三角形的面積公式得出AB=BC．根據相似三角形性質即可表示出點C的坐標，把點C坐標代入反比例函數即可求得k．【詳解】如圖，作CD⊥x軸于D，設OB＝a（a＞0）．∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面積為1，∴OA?OB＝1，∴OA＝，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，∴C（，2a），∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點C，∴k＝×2a＝1．故選D．【點睛】此題考查反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，會運用相似求線段長度是解題的關鍵．10、B【解析】試題解析：連接AD，

∵BC是切線，點D是切點，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF=2∠EPF=80°，

∴S扇形AEF=，

S△ABC=AD?BC=×2×4=4，

∴S陰影部分=S△ABC-S扇形AEF=4-π．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】等式兩邊同時乘以，再移項即可求解．【詳解】等式兩邊同時乘以得：移項得：,經檢驗，x=2是方程的解.故答案為：．【點睛】本題考查了解分式方程的問題，掌握解分式方程的方法是解題的關鍵．12、【分析】根據題意，使用列舉法可得從有4根細木棒中任取3根的總共情況數目以及能搭成一個三角形的情況數目，根據概率的計算方法，計算可得答案．【詳解】根據題意，從有4根細木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4種取法，而能搭成一個三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三種，得P=.故其概率為：．【點睛】本題考查概率的計算方法，使用列舉法解題時，注意按一定順序，做到不重不漏．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．13、105°【分析】根據旋轉的性質得AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，再根據等腰三角形的性質得∠AB′B=∠ABB′，然后根據平行線的性質得到∠AB′B=∠C′AB′=75°，于是得到結論．【詳解】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉到△AB′C′，

∴AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，∠C′AB′=∠CAB=75°，

∴△AB′B是等腰三角形，∴∠AB′B=∠ABB′

∵BB'∥AC，

∴∠AB′B=∠C′AB′=75°，

∴∠C′AC=∠B′AB=180°-2×75°=30°，

∴∠BAC′=∠C′AC+∠BAC=30°+75°=105°，故答案為：105°．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了平行線的性質．14、1．【分析】畫出圖形，找到三角形的重心與外心，利用重心和外心的性質求距離即可.【詳解】如圖，點D為三角形外心，點I為三角形重心，DI為所求.∵直角三角形的外心是斜邊的中點，∴CD＝AB＝6，∵I是△ABC的重心，∴DI＝CD＝1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查三角形的重心和外心，能夠掌握三角形的外心和重心的性質是解題的關鍵.15、1【分析】設有紅球有x個，利用頻率約等于概率進行計算即可．【詳解】設紅球有x個，根據題意得：＝20%，解得：x＝1，即紅色球的個數為1個，故答案為：1．【點睛】本題考查了由頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解大量重復實驗中事件發生的頻率等于事件發生的概率．16、1或2【分析】設BP=x，則CP=BC－BP=3－x，易證∠B=∠C=90°，根據相似三角形的對應頂點分類討論：①若△PAB∽△PDC時，列出比例式即可求出BP；②若△PAB∽△DPC時，原理同上.【詳解】解：設BP=x，則CP=BC－BP=3－x∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=180°－∠B=90°①若△PAB∽△PDC時∴即解得：x=1即此時BP=1；②若△PAB∽△DPC時∴即解得：即此時BP=1或2；綜上所述：BP=1或2.故答案為：1或2.【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質，掌握相似三角形的對應邊成比例列方程是解決此題的關鍵.17、【詳解】解：設P1點的坐標為（），P2點的坐標為（b，）∵△OP1B1，△B1P2B2均為等腰三角形，

∴A1B1=OA1，A2B2=B1A2，

∴OA1=a，OB1=2a，B1A2=b-2a，B1B2=2（b-2a），

∵OP1∥B1P2，

∴∠P1OA1=∠A2B1P2，

∴Rt△P1OA1∽Rt△P2B1A2，

∴OA1：B1A2=P1A1：P2A2，a：（b-2a）=整理得a2+2ab-b2=0，解得：a=（）b或a=（）b（舍去）∴B1B2=2（b-2a）=（6-4）b，∴故答案為：【點睛】該題較為復雜，主要考查學生對相似三角形的性質和反比例函數上的點的坐標與幾何圖形之間的關系．18、【分析】根據幾何概率的求解公式即可求解.【詳解】解：∵總面積為9個小正方形的面積，其中陰影部分面積為3個小正方形的面積∴飛鏢落在陰影部分的概率是，故答案為．【點睛】此題主要考查概率的求解，解題的關鍵是熟知幾何概率的公式.三、解答題(共66分)19、【分析】列舉出所有等情況和抽到一男一女的情況數，再根據概率公式即可得出答案．【詳解】設三個女生記為，，，兩個男生記為，．列表如下：有且只有以上20種情形，它們發生的機會均等，抽到一男一女有12種情形，∴(一男一女)=【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．20、（1）證明見解析；（2）BH＝．【分析】（1）先判斷出∠AOC=90°，再判斷出OC∥BD，即可得出結論；（2）先利用相似三角形求出BF，進而利用勾股定理求出AF，最后利用面積即可得出結論．【詳解】（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，點C是的中點，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位線，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵點B在⊙O上，∴BD是⊙O的切線；（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根據勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB?BF＝AF?BH，∴AB?BF＝AF?BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【點睛】此題主要考查了切線的判定和性質，三角形中位線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，求出BF=3是解本題的關鍵．21、（1），；（2）【分析】（1）將y=0代入一次函數解析式中即可求出點A的坐標，從而求出結論；（2）先求出點B的坐標，然后根據銳角三角函數求出，，然后根據m的取值范圍分類討論，分別畫出對應的圖形，利用相似三角形的判定及性質和各個圖形的面積公式計算即可．【詳解】解：（1）將y=0代入中，得解得：x=4∴點A的坐標為（4,0）∴OA=4，AP=故答案為：；．（2）令，，即∵垂直于軸，∴∴∵當時，∴當時，如圖2，過點作于點，由題意知，∴四邊形是平行四邊形，∴∴，∴∴，，∵，∴∴∵，∴∴當時，如圖3，由②知，xE=2綜上【點睛】此題考查的是一次函數與幾何圖形的綜合大題，掌握求一次函數與坐標軸的交點坐標、銳角三角函數、圖形的面積公式和相似三角形的判定及性質是解決此題的關鍵．22、（1）是的切線，理由詳見解析；（2）【分析】（1）根據題意連接，利用平行四邊形的判定與性質進行分析證明即可；（2）由題意作于，連接，根據平行四邊形的性質以及勾股定理進行分析求解.【詳解】解：是的切線．理由如下．連接，如下圖，是平行四邊形，是的切線作于，連接，如上圖，由，是平行四邊形【點睛】本題考查平行四邊形和圓相關，熟練掌握平行四邊形的判定與性質以及圓的相關性質是解題的關鍵.23、（1）（0≤t≤4）；（2）t1＝2，t2＝；（2）經過點D的雙曲線（k≠0）的k值不變，為．【分析】（1）過點P作PE⊥BC于點E，由點P，Q的出發點、速度及方向可找出當運動時間為t秒時點P，Q的坐標，進而可得出PE，EQ的長，再利用勾股定理即可求出y關于t的函數解析式（由時間=路程÷速度可得出t的取值范圍）；

（2）將PQ=代入（1）的結論中可得出關于t的一元二次方程，解之即可得出結論；

（2）連接OB，交PQ于點D，過點D作DF⊥OA于點F，求得點D的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值，此題得解．【詳解】解：（1）過點P作PE⊥BC于點E，如圖1所示．

當運動時間為t秒時（0≤t≤4）時，點P的坐標為（t，0），點Q的坐標為（4-t，2），

∴PE=2，EQ=|4-t-t|=|4-t|，

∴PQ2=PE2+EQ2=22+|4-t|2=t2-20t+21，

∴y關于t的函數解析式及t的取值范圍：y＝t2?20t+21(0≤t≤4)；

故答案為：y＝t2?20t+21(0≤t≤4)．

（2）當PQ＝時，t2?20t+21＝()2

整理，得1t2-16t+12=0，

解得：t1=2，t2＝．

（2）經過點D的雙曲線y＝(k≠0)的k值不變．

連接OB，交PQ于點D，過點D作DF⊥OA于點F，如圖2所示．

∵OC=2，BC=4，

∴OB＝＝1．

∵BQ∥OP，

∴△BDQ∽△ODP，

∴，

∴OD=2．

∵CB∥OA，

∴∠DOF=∠OBC．

在Rt△OBC中，sin∠OBC＝，cos∠OBC＝＝，

∴OF＝OD?cos∠OBC＝2×＝，DF＝OD?sin∠OBC＝2×＝，

∴點D的坐標為(，)，

∴經過點D的雙曲線y＝(k≠0)的k值為×＝．．【點睛】此題考查勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質、平行線的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）利用勾股定理，找出y關于t的函數解析式；（2）通過解一元二次方程，求出當PQ=時t的值；（2）利用相似三角形的性質及解直角三角形，找出點D的坐標．24、（1）A(-4，0)、B（0，-2）；（2）；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．【分析】（1）在中由求出對應的x的值，由x=0求出對應的y的值即可求得點A、B的坐標；（2）把（1）中所求點A、B的坐標代入中列出方程組，解方程組即可求得b、c的值，從而可得二次函數的解析式；（3）①如圖，過點D作x軸的垂線交AB于點F，連接OD交AB于點E，由此易得△DFE∽OBE，這樣設點D的坐標為，點F的坐標為,結合相似三角形的性質和DE：OE=3:4，即可列出關于m的方程，解方程求得m的值即可得到點D的坐標；②在y軸的正半軸上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC，若此時∠DAB=2∠BAC=∠HAB，則BD∥AH，再求出AH的解析式可得BD的解析式，由BD的解析式和拋物線的解析式聯立構成方程組，解方程組即可求得點D的坐標．【詳解】解：（1）在中，由可得：，解得：；由可得：，∴點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，-2）；（2）把點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，-2）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（3）①過點D作x軸的垂線交AB于點F，設點D，F,連接DO交AB于點E，△DFE∽OBE，因為DE：OE=3：4，所以FD：BO=3：4，即：FD=BO=,所以,解之得：m1=-1，m2=-3，∴D的坐標為（-1，3）或（-3，-2）；②在y軸的正半軸上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，∴∠BAH=2∠BAC，若∠DBA=2∠BAC，則∠DBA=∠BAH，∴AH//DB，由點A的坐標（-4，0）和點H的坐標（0，2）求得直線AH的解析式為：，∴直線DB的解析式是：,將：聯立可得方程組：，解得：，∴點D的坐標（-2，-3）．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，解第2小題的關鍵是過點D作x軸的垂線交AB于點F，連接OD交AB于點E，從而構造出△DFE∽OBE，這樣利用相似三角形的性質和已知條件即可求得D的坐標；解第3小題的關鍵是在x軸的上方作OH=OB，連接AH，從而構造出∠BAH=2∠BAC，這樣由∠DBA=∠BAH可得AH∥BD，求出AH的解析式即可得到BD的解析式，從而將問題轉化成求BD和拋物線的交點坐標即可使問題得到解決．25、（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）S＝t2+t；（3）Q（，）．【分析】（1）函數的表達式為：y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；（2）tan∠PCH＝＝＝，求出OE＝，利用S＝S△NCE+S△NAC，即可求解；（3）證明△CNP≌△KRH，求出點P（4，5）確定tan∠QKP＝＝＝4﹣m