湖南省長沙縣三中2025屆數學高一下期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等差數列前n項的和為，，，則（）A．25 B．26 C．27 D．282．設△的內角所對的邊為，，，，則（）A． B．或 C． D．或3．設等差數列的前n項和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．64．下列兩個變量之間的關系不是函數關系的是（）A．出租車車費與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質量D．人的身高與體重5．在等差數列中，，則等于()A．5 B．6 C．7 D．86．設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，則角（）A． B． C． D．7．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．8．定義運算，設，若，，，則的值域為（）A． B． C． D．9．等差數列中，已知，則()A．1 B．2 C．3 D．410．已知直線與平行，則等于()A．或 B．或 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，則______.12．函數且的圖象恒過定點A，若點A在直線上（其中m，n＞0），則的最小值等于__________.13．已知向量，，若，則實數___________.14．已知數列滿足則的最小值為__________.15．設數列滿足，且，則數列的前n項和_______________.16．方程的解集是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為第三象限角，．(1)化簡(2)若，求的值18．在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面積19．在等差數列{}中，=3，其前項和為，等比數列{}的各項均為正數，=1，公比為q,且b2+S2=12，．（1）求與的通項公式；（2）設數列{}滿足，求{}的前n項和．20．已知等差數列滿足，，其前項和為.（1）求的通項公式及；（2）令，求數列的前項和，并求的值.21．設.(1)用表示的最大值；(2)當時，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據等差數列的求和與通項性質求解即可.【詳解】等差數列前n項的和為,故.故.故選：C【點睛】本題主要考查了等差數列通項與求和的性質運用,屬于基礎題.2、B【解析】試題分析：因為，，，由正弦定理，因為是三角形的內角，且，所以，故選B．考點：正弦定理3、C【解析】

由又，可得公差，從而可得結果.【詳解】是等差數列又，∴公差，，故選C．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式與求和公式的應用，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.4、D【解析】

根據函數的概念來進行判斷。【詳解】對于A選項，出租車車費實行分段收費，與出租車行駛里程成分段函數關系；對于B選項，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數關系；對于C選項，鐵塊的質量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質量是一次函數關系；對于D選項，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯系，因人而異，D選項中兩個變量之間的關系不是函數關系。故選：D。【點睛】本題考查函數概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學生對這些概念的理解，屬于基礎題。5、C【解析】

由數列為等差數列，當時，有，代入求解即可.【詳解】解：因為數列為等差數列，又，則，又，則，故選：C.【點睛】本題考查了等差數列的性質，屬基礎題.6、B【解析】

根據正弦定理，可得，進而可求，再利用余弦定理，即可得結果．【詳解】，∴由正弦定理，可得3b=5a，，，，，故選：B.【點睛】本題主要考查余弦定理及正弦定理的應用，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2）.7、D【解析】

先化簡集合,再利用交集運算法則求.【詳解】,,,故選:D.【點睛】本題考查集合的運算,屬于基礎題.8、C【解析】

由題意，由于與都是周期函數，且最小正周期都是，故只須在一個周期上考慮函數的值域即可，分別畫出與的圖象，如圖所示，觀察圖象可得：的值域為，故選C.9、B【解析】

已知等差數列中一個獨立條件，考慮利用等差中項求解.【詳解】因為為等差數列，所以，由，,故選B.【點睛】本題考查等差數列的性質，等差數列中若，則,或用基本量、表示，整體代換計算可得,屬于簡單題.10、C【解析】

由題意可知且，解得．故選．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

求出，然后由模的平方轉化為向量的平方，利用數量積的運算計算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點睛】本題考查求向量的模，掌握數量積的定義與運算律是解題基礎．本題關鍵是用數量積的定義把模的運算轉化為數量積的運算．12、1【解析】

由題意可得定點，，把要求的式子化為，利用基本不等式求得結果．【詳解】解：且令解得，則即函數過定點，又點在直線上，，則，當且僅當時，等號成立，故答案為：1．【點睛】本題考查基本不等式的應用，函數圖象過定點問題，把要求的式子化為，是解題的關鍵，屬于基礎題．13、【解析】

由垂直關系可得數量積等于零，根據數量積坐標運算構造方程求得結果.【詳解】，解得：故答案為：【點睛】本題考查根據向量垂直關系求解參數值的問題，關鍵是明確兩向量垂直，則向量數量積為零.14、【解析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設f（n），由此能導出n＝5或6時f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當n≥2時，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調遞增，在上是遞減的，因為n∈N+，所以當n＝5或6時f（n）有最小值．又因為，，所以的最小值為故答案為【點睛】本題考查了利用遞推公式求數列的通項公式，考查了累加法．還考查函數的思想，構造函數利用導數判斷函數單調性．15、【解析】令16、【解析】

令，，將原方程化為關于的一元二次方程，解出得到，進而得出方程的解集.【詳解】令，，故原方程可化為，解得或，故而或，即方程的解集是，故答案為.【點睛】本題主要考查了指數方程的解法，轉化為一元二次方程是解題的關鍵，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】利用指數運算、指對互化、對數運算求解試題分析：（1）（2）由，得．又已知為第三象限角，所以，所以，所以=………………10分考點：本題主要考查了誘導公式、同角三角函數基本關系以及三角函數符號的判定．點評：解決此類問題的關鍵是掌握誘導公式、同角三角函數基本關系以及三角函數符好的判定方法．誘導公式的記憶應結合圖形記憶較好，難度一般．18、（1）；（2）.【解析】

(1)根據正弦定理把題設等式中的邊換成相應角的正弦,化簡整理可求得,進而求得;(2)根據余弦定理得,結合求得的值,進而由三角形的面積公式求得面積.【詳解】（1）根據正弦定理,又,．（2）由余弦定理得:,代入得,故面積為【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.19、（1），；（2）.【解析】

（1）根據等差數列{}中，=1，其前項和為，等比數列{}的各項均為正數，=1，公比為q,且b2+S2=12，，設出基本元素，得到其通項公式；（2）由于，所以，那么利用裂項求和可以得到結論.【詳解】（1）設：{}的公差為,因為，所以，解得=1或=-4（舍）,=1．故，；（2）因為故.本題主要是考查了等差數列和等比數列的通項公式和前n項和，以及數列求和的綜合運用.20、（1），；（2），【解析】

（1）利用等差數列的通項公式及前n項的和公式可得答案；（2）利用“裂項求和”法可得答案.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，由，得，又，解得.所以.所以.（2）由，得.設的前項和為，則.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式及前n項的和，及數列求和的“裂