四川省富順二中高2025屆高一下數學期末聯考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等差數列的公差為2，且是與的等比中項，則等于()A． B． C． D．2．三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．3．下列各角中，與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．4．已知點，,直線的方程為，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．5．某種產品的廣告費用支出與銷售額之間具有線性相關關系，根據下表數據（單位：百萬元)，由最小二乘法求得回歸直線方程為.現發現表中有個數據看不清，請你推斷該數據值為（)345582834★5672A．65 B．60 C．55 D．506．已知向量，，若，共線，則實數（）A． B． C． D．67．設是內任意一點，表示的面積，記，定義，已知，是的重心，則（）A．點在內 B．點在內C．點在內 D．點與點重合8．《九章算術》中有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問若聘該女子做工半月（15日），一共能織布幾尺（）A．75 B．85 C．105 D．1209．()A． B． C． D．10．已知等差數列和的前項和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若兩個向量與的夾角為，則稱向量“”為向量的“外積”，其長度為.若已知，，，則.12．己知為數列的前項和，且，則_____．13．根據黨中央關于“精準脫貧”的要求，石嘴山市農業經濟部門派3位專家對大武口、惠農2個區進行調研，每個區至少派1位專家，則甲，乙兩位專家派遣至惠農區的概率為_____．14．方程的解集是______.15．方程的解為______．16．某小區擬對如圖一直角△ABC區域進行改造，在三角形各邊上選一點連成等邊三角形,在其內建造文化景觀．已知,則面積最小值為____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列滿足，且（，且）.（1）求證：數列是等差數列；（2）求數列的通項公式（3）設數列的前項和，求證：.18．某企業生產，兩種產品，根據市場調查與預測，產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2，（注：利潤與投資單位：萬元）（1）分別將，兩種產品的利潤表示為投資的函數關系，并寫出它們的函數關系式；（2）該企業已籌集到10萬元資金，全部投入到，兩種產品的生產，怎樣分配資金，才能使企業獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）.19．已知和的交點為．（1）求經過點且與直線垂直的直線的方程（2）直線經過點與軸、軸交于、兩點，且為線段的中點，求的面積．20．在中，內角所對的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.21．近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統計數據如表l所示：表1根據以上數據，繪制了如右圖所示的散點圖．(1)根據散點圖判斷，在推廣期內，y=a+bx與(2)根據(1)的判斷結果及表1中的數據，求y關于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；參考數據：其中υ參考公式：對于一組數據u1,υ1,

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

直接利用等差數列公式和等比中項公式得到答案.【詳解】是與的等比中項，故即解得：故選：A【點睛】本題考查了等差數列和等比中項，屬于常考題型.2、B【解析】是線段上一動點，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當最短時，即時直線與平面所成角的正切的最大．此時，，在直角△中，．三棱錐擴充為長方體，則長方體的對角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．(2)若球面上四點構成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用求解．3、B【解析】

給出具體角度，可以得到終邊相同角的表達式.【詳解】角終邊相同的角可以表示為，當時，，所以答案選擇B【點睛】判斷兩角是否是終邊相同角，即判斷是否相差整數倍.4、A【解析】

直線過定點，利用直線的斜率公式分別計算出直線，和的斜率，根據斜率的單調性即可求斜率的取值范圍．【詳解】解：直線整理為即可知道直線過定點，作出直線和點對應的圖象如圖：，，，，，要使直線與線段相交，則直線的斜率滿足或，或即直線的斜率的取值范圍是，故選．【點睛】本題考查直線斜率的求法，利用數形結合確定直線斜率的取值范圍，屬于基礎題．5、B【解析】

求出樣本中心點的坐標，代入線性回歸方程求解．【詳解】設表中看不清的數據為，則，，代入，得，解得．故選：．【點睛】本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關鍵，是基礎題．6、C【解析】

利用向量平行的性質直接求解．【詳解】向量，，共線，，解得實數．故選：．【點睛】本題主要考查向量平行的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7、A【解析】解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三個坐標分別為P分△ABC所得三個三角形的高與△ABC的高的比值，∵f（Q）=（1/2，1/3，1/6）∴P離線段AB的距離最近，故點Q在△GAB內由分析知，應選A．8、D【解析】設第一天織尺，第二天起每天比前一天多織尺，由已知得，，故選D.【方法點睛】本題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的前項和公式，屬于中檔題.等差數列基本量的運算是等差數列的一類基本題型，數列中的五個基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，另外，解等差數列問題要注意應用等差數列的性質（）與前項和的關系.9、A【解析】

將根據誘導公式化為后，利用兩角和的正弦公式可得.【詳解】.故選：A【點睛】本題考查了誘導公式，考查了兩角和的正弦公式，屬于基礎題.10、D【解析】

首先根據即可得出，再根據前n項的公式計算出即可。【詳解】，選D.【點睛】本題主要考查等差數列的求和公式及等差數列的性質，屬于難題.等差數列的常用性質有：（1）通項公式的推廣：

（2）若

為等差數列，

；（3）若是等差數列，公差為，

，則是公差

的等差數列；二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

故答案為3.【點評】本題主要考查以向量的數量積為載體考查新定義，利用向量的數量積轉化是解決本題的關鍵，12、【解析】

根據可知，得到數列為等差數列；利用等差數列前項和公式構造方程可求得；利用等差數列通項公式求得結果.【詳解】由得：，即：數列是公差為的等差數列又，解得：本題正確結果：【點睛】本題考查等差數列通項公式、前項和公式的應用，關鍵是能夠利用判斷出數列為等差數列，進而利用等差數列中的相關公式來進行求解.13、【解析】

將所有的基本事件全部列舉出來，確定基本事件的總數，并確定所求事件所包含的基本事件數，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【詳解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口區調研的專家），共個，因此，所求的事件的概率為，故答案為．【點睛】本題考查古典概型概率的計算，解決這類問題的關鍵在于確定基本事件的數目，一般利用枚舉法和數狀圖法來列舉，遵循不重不漏的基本原則，考查計算能力，屬于基礎題．14、或【解析】

根據三角函數的性質求解即可【詳解】，如圖所示：則故答案為：或【點睛】本題考查由三角函數值求解對應自變量取值范圍，結合圖形求解能夠避免錯解，屬于基礎題15、或【解析】

由指數函數的性質得，由此能求出結果．【詳解】方程，，或，解得或．故答案為或．【點睛】本題考查指數方程的解的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意指數函數的性質的合理運用．16、【解析】

設，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數的性質得到的最小值，從而得到面積的最小值.【詳解】因為，所以，顯然，，設，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因為，所以當時，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【點睛】本題主要考查了利用三角函數求解實際問題的最值，涉及到正弦定理的應用，屬于難題.對于這類型題，關鍵是能夠選取恰當的參數表示需求的量，從而建立相關的函數，利用函數的性質求解最值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.【解析】

（1）用定義證明得到答案.（2）推出（3）利用錯位相減法和分組求和法得到，再證明不等式.【詳解】解：（1）由，得，即.∴數列是以為首項，1為公差的等差數列.（2）∵數列是以為首項，1為公差的等差數列，∴，∴.（3）.∴，∴.【點睛】本題考查了等差數列的證明，分組求和法，錯位相減法，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.18、（1）為，為；（2）產品投入3.75萬元，產品投入6.25萬元，最大利潤為4萬元【解析】

（1）根據題意給出的函數模型，設；代入圖中數據求得既得，注意自變量；（2）設產品投入萬元，則產品投入萬元，設企業利潤為萬元.，列出利潤函數為，用換元法，設，變化為二次函數可求得利潤的最大值．【詳解】解：（1）設投資為萬元，產品的利潤為萬元，產品的利潤為萬元由題設知；由圖1知，由圖2知，則，.（2）設產品投入萬元，則產品投入萬元，設企業利潤為萬元.，，令，則則當時，，此時所以當產品投入3.75萬元，產品投入6.25萬元，企業獲得最大利潤為4萬元.【點睛】本題考查函數的應用，在已知函數模型時直接設出函數表達式，代入已知條件可得函數解析式．19、（1）；（2）2【解析】

（1）聯立兩條直線的方程，解方程組求得點坐標，根據的斜率求得與其垂直直線的斜率，根據點斜式求得所求直線方程.（2）根據（1）中點的坐標以及為中點這一條件，求得兩點的坐標，進而求得三角形的面積.【詳解】解：（1）聯立，解得交點的坐標為，∵與垂直，∴的斜率，∴的方程為，即.（2）∵為的中點，已知，，即，∴【點睛】本小題主要考查兩條直線交點坐標的求法，考查兩條直線垂直斜率的關系，考查直線的點斜式方程，考查三角形的面積公式以及中點坐標，屬于基礎題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）首先利用正弦定理邊化角，再利用即可得到答案；（2）利用余弦定理和面積公式即可得到答案.【詳解】（1），所以，所以，即因為，所以，所以，即.（2）因為，所以.由余弦定理可得，因為，所以，解得.故的面積為.【點睛】本題主要考查解三角形的綜合應用，意在考查學生的基礎知識，轉化能力及計算能力，難度不大.21、（1）y=c?dx【解析】

(1)根據散點圖判斷，y=c?dx適宜；（2）y=c?dx，兩邊同時取常用對數得：【詳解】（1）根據散點圖判斷，y=c?dx適宜作為掃碼支付的人數y關于活動推出天數（2）∵y=c?dx，兩邊同時取常用對數得：1gy=1g(c?d設1gy=v,∴v=1gc+1gd?x∵x