第4節(jié)復(fù)數(shù)高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.理解復(fù)數(shù)的概念,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加減的幾何意義.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分12強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.復(fù)數(shù)的定義及分類(lèi)(1)復(fù)數(shù)的定義形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做__________,實(shí)部是__________,虛部是__________.

(2)復(fù)數(shù)的分類(lèi)全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集,記為C,顯然有R∈C這個(gè)條件不能忽略

虛數(shù)單位

ab實(shí)數(shù)

純虛數(shù)

微點(diǎn)撥1.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是實(shí)數(shù),特別注意復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的虛部是b,而不是bi.2.對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),其實(shí)部a=0是a+bi為純虛數(shù)的必要不充分條件.2.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?__________(a,b,c,d∈R)

共軛復(fù)數(shù)a+bi與c+di共軛?__________(a,b,c,d∈R)

復(fù)數(shù)的模設(shè)

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,b∈R),則向量

的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對(duì)值,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=________微思考“3+2i>1+2i”“2+i<4+i”等結(jié)論對(duì)嗎?為什么?a=c且b=da=c且b=-d提示

不對(duì).兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,但兩個(gè)虛數(shù)只能判斷它們是否相等,而不能比較它們的大小.3.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,b∈R).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).一一對(duì)應(yīng)

一一對(duì)應(yīng)

微點(diǎn)撥若復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,則|z1-z2|的幾何意義是點(diǎn)Z1,Z2之間的距離.4.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律設(shè)z1,z2,z3∈C,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律:①交換律:z1+z2=__________.

②結(jié)合律:(z1+z2)+z3=__________.

(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)iz2+z1z1+(z2+z3)自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中,虛部為bi.(

)2.復(fù)數(shù)中有復(fù)數(shù)相等的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(

)3.已知z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(

)4.實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的都是實(shí)數(shù),虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的都是虛數(shù).(

)××××題組二

回源教材5.(人教A版必修第二冊(cè)復(fù)習(xí)參考題7第1(2)題)復(fù)數(shù)

的共軛復(fù)數(shù)是(

)A.i+2

B.i-2

C.-2-i

D.2-iB6.(人教A版必修第二冊(cè)7.1.1節(jié)例1改編)若復(fù)數(shù)z=m+1+(m-1)i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m=__________.

-1解析

若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),需m+1=0,且m-1≠0,即m=-1.7.(人教A版必修第二冊(cè)習(xí)題7.2第7題改編)已知2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)p=__________.

12解析

因?yàn)?i-3是方程的一個(gè)根,所以-2i-3也是這個(gè)方程的一個(gè)根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得-=(2i-3)+(-2i-3),解得p=12.題組三

連線高考8.(2023·新高考Ⅱ,1)在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限A解析

∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選A.9.(2023·全國(guó)乙,文1)|2+i2+2i3|=(

)A.1

B.2

C.

D.54+iC研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算CC(3)(2023·全國(guó)甲,理2)若a∈R,(a+i)·(1-ai)=2,則a=(

)A.-1

B.0

C.1

D.2C(4)(2024·云南昆明一中模擬)已知復(fù)數(shù)z=

,則z+z2+z3+…+z2023=(

)A.-1

B.1

C.-i

D.i所以z2=-1,z3=-i,z4=1,得z+z2+z3+z4=0,所以z+z2+z3+…+z2

023=505(z+z2+z3+z4)+z+z2+z3=-1.A規(guī)律方法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí),可類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算中的合并同類(lèi)項(xiàng)法則(實(shí)部與實(shí)部相加減,虛部與虛部相加減)進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng),不含虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng),分別合并即可復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),同時(shí)注意將i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的有關(guān)概念A(yù)DA規(guī)律方法復(fù)數(shù)的基本概念有實(shí)部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等,解決這些概念問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是將已知復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),然后根據(jù)概念的不同,列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的條件,從而解決問(wèn)題.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](多選題)(2024·廣東惠州模擬)已知復(fù)數(shù)z=

,則下列選項(xiàng)正確的有(

)A.z的虛部為1

B.|z|=2C.z2為純虛數(shù)

D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限AC

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義例3(1)(2021·新高考Ⅱ,1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限A(2)(2024·山東淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)復(fù)平面內(nèi)表示2-i和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B,則表示向量

的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限A(3)(2024·江西贛州模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=1(i為虛數(shù)單位),則|z-i|的最大值為(

)A.1

B.2

C.3

D.4C解析

設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,因?yàn)閨z+i|=|z-(-i)|=1表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z到定點(diǎn)C(0,-1)的距離為1,所以點(diǎn)Z的軌跡為以C(0,-1)為圓心,半徑r=1的圓.因?yàn)閨z-i|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z到定點(diǎn)B(0,1)的距離,所以|ZB|≤|BC|+1=2+1=3,即|z-i|的最大值為3.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)若復(fù)數(shù)(2-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)C解析

(2-i)·(a+i)=2a+1+(2-a)i,因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2a+1,2-a)在第四象限,A.2-i

B.-2+iC.2+i

D.-2-iA考點(diǎn)四復(fù)數(shù)與方程例4(多選題)(2024·山東濰坊模擬)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+2=0的兩根為x1,x2,其中x1=1+i,