關于隨機變量的獨立性兩事件A,B獨立的定義是:若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.1.設X,Y是兩個r.v,若對任意的x,y,有:

則稱X和Y相互獨立

.一、隨機變量相互獨立的定義2.設X,Y是兩個r.v,若對任意的x,y,有:則稱X和Y相互獨立

.第2頁,共17頁，星期六，2024年，5月3.若(X,Y)是離散型r.v,則上述獨立性的定義等價于：對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有則稱X和Y相互獨立.第3頁,共17頁，星期六，2024年，5月其中是X和Y的聯合密度，幾乎處處成立,則稱X和Y相互獨立

.對任意的x,y,有:4.若(X,Y)是連續型r.v,則上述獨立性的定義等價于:這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.由條件密度的定義：可知,當X與Y相互獨立時，第4頁,共17頁，星期六，2024年，5月例1:1)設(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解:x>0

y

>0即:可見對一切x,y,均有：故X,Y獨立.第5頁,共17頁，星期六，2024年，5月2)若(X,Y)的概率密度為:情況又怎樣？解:0<x<10<y<1故X和Y不獨立.第6頁,共17頁，星期六，2024年，5月例2:甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.

乙獨立地到達,而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率.

又甲先到的概率是多少？解:設X為甲到達時刻,Y為乙到達時刻以12時為起點,以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)第7頁,共17頁，星期六，2024年，5月所求為:P(|X-Y|≤5),甲先到的概率由獨立性:先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率P(X<Y)第8頁,共17頁，星期六，2024年，5月解一:P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)第9頁,共17頁，星期六，2024年，5月解二:P(X<Y)=1/2被積函數為常數，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)第10頁,共17頁，星期六，2024年，5月類似的問題如：甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭,設兩船各自獨立地到達,并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的.若甲船需停泊1小時,乙船需停泊2小時,而該碼頭只能停泊一艘船,試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率.第11頁,共17頁，星期六，2024年，5月在某一分鐘的任何時刻,信號進入收音機是等可能的.若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間隔小于0.5秒,則信號將產生互相干擾.求發生兩信號互相干擾的概率.第12頁,共17頁，星期六，2024年，5月盒內有個白球,個黑球,有放回地摸球兩次.例3:設:第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(1)的聯合分布律及邊緣分布律;(2)判斷的相互獨立性;(3)若改為無放回摸球,解上述兩個問題.第13頁,共17頁，星期六，2024年，5月(1)的聯合分布律及邊緣分布律解如下表所示:(2)由上表可知故的相互獨立.第14頁,共17頁，星期六，2024年，5月(3)的聯合分布律及邊緣分布律如下表所示:第15頁,共17頁，星期六，20