2022屆高三數(shù)學二輪復習大題訓練（綜合訓練（8））1．如圖，中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，若為外接圓劣弧上一點，求的最大值．2．為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產(chǎn)生抗體與某項指標值的相關性，研究人員從某地區(qū)10萬人中隨機抽取了200人，對其注射疫苗后的該項指標值進行測量，按，，，，，，，，，分組，得到該項指標值頻率分布直方圖如圖所示．同時發(fā)現(xiàn)這200人中有120人在體內(nèi)產(chǎn)生了抗體，其中該項指標值不小于60的有80人．（1）填寫下面的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關”．指標值小于60指標值不小于60合計有抗體沒有抗體合計（2）以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，若從該地區(qū)注射疫苗的人群中隨機抽取4人，求產(chǎn)生抗體的人數(shù)的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8283．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列，滿足，且是，的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，對任意正整數(shù)，總有成立，試求實數(shù)的取值范圍．4．如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，平面平面，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）試問線段是否存在點，使得二面角的平面角的余弦值為，若存在，請計算的值；若不存在，請說明理由．5．已知為坐標原點，點，，過動點作直線的垂線，垂足為點，，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若，，，均在上，直線，的交點為，，，求四邊形面積的最小值．6．已知函數(shù)，，．（1）若存在唯一的零點，求的取值范圍；（2）若有兩個不同的解，，求證：．2022屆高三數(shù)學二輪復習大題訓練（綜合訓練（8））1．如圖，中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，若為外接圓劣弧上一點，求的最大值．【解答】（1）由，整理得，，由余弦定理得，，由為三角形內(nèi)角得；（2）由圓內(nèi)角四邊形性質(zhì)可得，，設，則，在中，由正弦定理得，所以，，所以，當時，取得最大值．2．為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產(chǎn)生抗體與某項指標值的相關性，研究人員從某地區(qū)10萬人中隨機抽取了200人，對其注射疫苗后的該項指標值進行測量，按，，，，，，，，，分組，得到該項指標值頻率分布直方圖如圖所示．同時發(fā)現(xiàn)這200人中有120人在體內(nèi)產(chǎn)生了抗體，其中該項指標值不小于60的有80人．（1）填寫下面的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關”．指標值小于60指標值不小于60合計有抗體沒有抗體合計（2）以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，若從該地區(qū)注射疫苗的人群中隨機抽取4人，求產(chǎn)生抗體的人數(shù)的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】（1）由該項指標值頻率分布直方圖，可得該項指標值不小于60的人共有，填寫下面的列聯(lián)表，指標值小于60指標值不小于60合計有抗體4080120沒有抗體404080合計80120200，有的把握認為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關”．（2）以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，則概率．若從該地區(qū)注射疫苗的人群中隨機抽取4人，產(chǎn)生抗體的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4，則，，，1，2，3，4，，同理可得：，，，，的分布列，01234則的數(shù)學期望．3．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列，滿足，且是，的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，對任意正整數(shù)，總有成立，試求實數(shù)的取值范圍．【解答】（1）設等比數(shù)列的首項為，公比為．依題意是，的等差中項，有，代入，得．．，解之得或，，又單調(diào)遞增，，，；（2）∵，①②①②得，，由，即對任意正整數(shù)恒成立，．對任意正整數(shù)，恒成立．，．即的取值范圍是，．4．如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，平面平面，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）試問線段是否存在點，使得二面角的平面角的余弦值為，若存在，請計算的值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：是等邊三角形，是的中點，，平面平面，平面平面，，平面，平面，，，，平面．（2）存在線段的中點滿足題意．理由如下：面，，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，0，，，，，設，，，其中，，則，平面的一個法向量，0，，設平面的法向量，，，則，取，則，0，，由題意得，，解得，線段上存在點，使得二面角的平面角的余弦值為，．5．已知為坐標原點，點，，過動點作直線的垂線，垂足為點，，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若，，，均在上，直線，的交點為，，，求四邊形面積的最小值．【解答】（1）設，則，所以，，所以，所以的軌跡的方程為：．（2）由題知直線，斜率必存在，且不為0，設，，，，，，，，設，代入拋物線方程中得：，整理得，，所以，，因為，設，代入拋物線方程中得：，整理得：，，所以，，所以四邊形的面積為：，當且僅當，即時等號成立，此時四邊形的面積最小，最小值為2，綜上，四邊形的面積最小值為2．6．已知函數(shù)，，．（1）若存在唯一的零點，求的取值范圍；（2）若有兩個不同的解，，求證：．【解答】（1）∵的定義域為，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，（1），所以存在唯一的零點，符合題意；當時，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值也是最大值，最大值為（a），若存在唯一的零點，則（a），解得．綜上可得：的取值范圍是，．（2）證明：令，，①當時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，不符合題意；