專題18環排問題例1．21個人按照以下規則表演節目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環報數，報數字“3”的人出來表演節目，并且表演過的人不再參加報數．那么在僅剩兩個人沒有表演過節目的時候，共報數的次數為A．19 B．38 C．51 D．57例2．A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種例3．現有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種例4．5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數字）．例5．、、、四個人圍成一圈，確定好自己的位置后，、、三人隨機站到其他三個位置上，則與不相鄰的的坐法有__________.例6．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數為

__________例7．一個圓桌有十二個座位，編號為1至12.現有四個學生和四個家長入座，要求學生坐在偶數位，家長與其孩子相鄰.滿足要求的坐法共有______種.例8．現有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有____種．（用數字作答）例9．有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？例10．有個人圍著一張圓桌坐成一圈，共有多少種不同的坐法？例11．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？例12．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長之間，有多少種坐法？例13．有5對夫婦和，共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉之后算相同坐法）．（1）若5對夫婦都相鄰而坐，，相鄰而坐，共有多少種坐法？（2）5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，，不相鄰，共有多少種坐法？專題18環排問題例1．21個人按照以下規則表演節目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環報數，報數字“3”的人出來表演節目，并且表演過的人不再參加報數．那么在僅剩兩個人沒有表演過節目的時候，共報數的次數為A．19 B．38 C．51 D．57答案:D解析：【詳解】根據題意21人報數21人次，其中有7人次報數為3，則此7人出列，剩下13人；13人報數15人次，其中有5人報數為3，則此5人出列，剩下8人；8人報數9人次，其中有3人報數為3，則此3人出列，剩下5人；5人報數6人次，其中有2人報數為3，則此2人出列，剩下3人；3人報數3人次，其中有1人次報數為3，則此1人出列，剩下2人；2人報數3人次，其中1人次報數為3，則此人出列,剩下1人．在這個過程中一共報數：21+15+9+6+3+3=57人次．應選答案D．點睛：解答本題的關鍵是充分借助題設條件中提供的操作程序，逐一求出報數的人數，再將其加起來求出其和就是21+15+9+6+3+3=57人次，從而使得問題獲解．體現了思維的重要性和綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．例2．A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種答案:B解析：分析：B、C二人必須坐相鄰的兩把椅子，有4種情況，B、C可以交換，有種情況，其余三人坐剩余的三把椅子，有種情況，利用乘法計數原理可得結論.【詳解】首先，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個座位，位置可以互換，根據排列數的計算公式，得到，，接下來，考慮其余三人的情況，其余位置可以互換，可得種，最后根據分步計數原理，得到種，故選B.【點睛】該題考查的是有關具有限制條件的排列數的問題，涉及到的知識點有特殊元素優先原則，相鄰問題捆綁法，注意不要忽略其內部排列，屬于簡單題目.例3．現有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種答案:B解析：分析：甲比較特殊，先安排甲，隨著甲的安排乙也確定了，然后剩下位置給丙丁即可.【詳解】先安排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學坐另兩個位置的坐法有種，所以共有坐法種數為種．故選：B．例4．5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數字）．答案:86400解析：分析：分三步，先將5個女孩圓排列，再把6個男孩按2，1，1，1，1分成5組，最后把這5組放入已成圓排列的5個間隔即可得解.【詳解】因為任意2個女孩中間至少站1個男孩，則有且僅有2個男孩站在一起，先把5個女孩排成一個圈，這是個圓形排列，因此排法共有(種)，把6個男孩按2，1，1，1，1分成5組有種分法，最后把5組男孩放入5個女孩構成圓排列的5個間隔中有種方法，而站在一起的兩個男孩有順序性，有2種站法，所以，由分步乘法計數原理得，不同的排法共有(種).故答案為：86400例5．、、、四個人圍成一圈，確定好自己的位置后，、、三人隨機站到其他三個位置上，則與不相鄰的的坐法有__________.答案:2解析：計算出、、三人隨機站到三個位置的坐法種數，以及、不相鄰的坐法種數，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】若與分別站在的兩邊，則與不相鄰的坐法有種，故答案為：2.【點睛】方法點睛：計算古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列組合數的應用.例6．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數為

__________答案:（解析：【詳解】10位男生全排列：，10位女生全排列：.因為是圍成一圈，所以不分頭尾，只需即可.故答案為:.例7．一個圓桌有十二個座位，編號為1至12.現有四個學生和四個家長入座，要求學生坐在偶數位，家長與其孩子相鄰.滿足要求的坐法共有______種.答案:解析：分析：分學生選擇相鄰的四個偶數、學生選擇三個相鄰的偶數，另一個學生坐對面、四個學生每兩個學生選擇相鄰偶數三種情況，求出學生的坐法，家長的坐法、四組家長學生全排列，由分步乘法計數原理和分類加法計算原理即可求解.【詳解】當學生選擇相鄰的四個偶數有，，，，，有種，以學生選為例，家長的排法有，，，有種，同理可得：每一種學生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，當學生選擇三個相鄰的偶數，一個學生坐對面有，，，，，有種，以學生選擇為例，家長的坐法有，，，，，，，，共種，同理可得：每一種學生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，當四個學生每兩個學生選擇相鄰偶數時，學生有，，有種，以學生選擇為例，家長坐法有：，，，，，，，，有種，同理可得：每一種學生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，綜上所述：滿足要求的坐法共有種，故答案為：.例8．現有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有____種．（用數字作答）答案:8解析：分析：先安排甲，有種方法；再安排乙，只能在甲的對面；最后安排丙、丁，有種方法，最后根據分步乘法計數原理可得所求結果．【詳解】先按排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學坐另兩個位置的坐法有種，所以共有坐法種數為種．故答案為8．【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特、計算量大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優先原則，先取后排原則，先分組后分配原則，正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向．同時解答組合問題時必須考慮周全，做到不重不漏，正確解題．例9．有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？答案:768解析：分析：利用排列和捆綁法可求不同的站法.【詳解】把每對姐妹看成一個整體，讓5個整體站成一圈，共有種，每對姐妹之間可以交換次序，故不同站法共有．例10．有個人圍著一張圓桌坐成一圈，共有多少種不同的坐法？答案:種解析：分析：分析可知，要求的圓排列數，只需要求出全排列數，再除以就可以了，即可得解.【詳解】將個人進行編號為，按照一定的順序站成一圈，就形成了一個圓排列，分別以、、、、、、、、、號作為開頭將這個圓排列打開，就可以得到種排列：、、、、、、、、、；；、、、、、、、、、.這就是說，這個圓排列對應了個排列，因此，要求的圓排列數，只需要求出全排列數，再除以就可以了，即不同的坐法種數為種.例11．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？答案:（1）；（2）.解析：分析：（1）若正、副組長相鄰而坐，可將此人看作人，即可求解；（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），可將人看作人，即可求解.【詳解】（1）若正、副組長相鄰而坐，可將此人看作人，即人圍一圓桌，有種，由于正、副組長人可交換，有種，所以共有種，（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），可將人看作人，即人圍一圓桌，有種，因為正、副組長人可交換，有種，所以共有種.【點睛】方法點睛：常見排列數的求法為（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優先法”；（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數.例12．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長之間，有多少種坐法？答案:(1)1440種(2)240種解析：【詳解】試題分析：(1)正、副組長相鄰而坐，可將此人當作人看，即人圍一圓桌，有＝種坐法，又因為正、副組長人可換位，有種坐法，由分步計數乘法原理可得結果．(2)記錄員坐在正、副組長中間，可將此人視作人，即人圍一圓桌，有＝種坐法，又因為正、副組長人可以換位，有種坐法，根據分步計數乘法原理可得結果．試題解析：(1)正、副組長相鄰而坐，可將此2人當作1人看，即7人圍一圓桌，有(7－1)！＝6！種坐法，又因為正、副組長2人可換位，有2！種坐法．故所求坐法為(7－1)！×2！＝1440種．(2)記錄員坐在正、副組長中間，可將此3人視作1人，即6人圍一圓桌，有(6－1)！＝5！種坐法，又因為正、副組長2人可以換位，有2！種坐法，故所求坐法為5！×2！＝240種．例13．有5對夫婦和，共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉之后算相同坐法）．（1）若5對夫婦都相鄰而坐，，相鄰而坐，共有多少種坐法？（2）5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，，不相鄰，共有多少種坐法？答案:（1）7680種；（2）1152種.解析：分析：(1)將一對夫婦視為一組，，視為一組，先將6組人圓排列，再對每一組內的兩