第13章《軸對稱》單元測試卷一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．學校為慶祝國慶，在校內張貼了“愛我中華”四字標語，這些漢字中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，在長方形紙片ABCD中，AD∥BC，將長方形紙片沿BD折疊，點A落在點E處，DE交邊BC于點F，若∠ADB＝20°，則∠DFC等于（）A．30° B．60° C．50° D．40°3．如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，．作直線，交于點，交于點，連接．若，，，則的周長為（

）A．25 B．22 C．19 D．184．如圖，在中，點P在邊BC上方，連接PB，PC，，當取得最小值時，的度數是（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規作圖得到的射線與AC交于點D，則以下推斷錯誤的是（

）A． B． C． D．6．在數學探究活動中，小明進行了如下操作：將一張四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點A恰巧落在BC上，已知∠C＝90°，AB＝6dm，BC＝9dm，CD＝4dm，則四邊形ABCD的面積是（）A．24dm2 B．30dm2 C．36dm2 D．42dm27．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，周長最小時，，之間的關系是（

）A． B． C． D．8．在等腰三角形ABC中，，過點A作的高AD．若，則這個三角形的底角與頂角的度數比為（

）A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:109．如圖，等邊△ABC中，D是邊BC上不與兩端點重合的點，線段AD的垂直平分線分別交AB，AC于點E，F，連接ED，FD，則下列選項中不一定正確的是（）A．EA=ED B．∠EDF=60° C．DF⊥AC D．∠2=2∠110．在△ABC中，CD平分∠BCA，與AB交于點D．若BD＝3，AD＝4，∠A＝30°，△ABC中BC邊上的高為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，將△ABC沿BC翻折，使點A落在點A'處，過點B作BDAC交A'C于點D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，則∠A的度數為．12．如圖，和關于直線AB對稱，和關于直線AC對稱，CD與AE交于點F，若，，則的度數為．13．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點E、N在BC上，則∠EAN=．14．如圖，在中，點為邊上一動點（不與點重合），連接，以直線為對稱軸，作的對稱圖形，以直線為對稱軸，作的對稱圖形，連接．（1）若，則；（2）若，，的面積為14，則面積的最小值為．15．在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內一點，點E是CD的中點，連接AE，作EF⊥AE，若點F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝．（用α含的式子表示）16．如圖，在中，，M、N為邊AB、BC上的兩個動點，將沿MN翻折，翻折后點B的對應點D落在直線BC上方，連接CD，，且，則當是等腰三角形時，度．17．如圖1，將一張直角三角形紙片（已知，）折疊，使得點落在點處，折痕為．將紙片展平后，再沿著將紙片按著如圖2方式折疊，邊交于點．若是等腰三角形，則的度數可能是．18．如圖，，在直線上方作等腰，，，連接，當最大時，．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）如圖所示，如果將軍從馬棚M出發，先趕到河上的某一位置P，再馬上趕到河上的某一位置Q，然后立即返回校場N．請為將軍重新設計一條路線（即選擇點P和Q），使得總路程最短．20．（8分）如圖，已知△ACM是等邊三角形，點E在邊CM上，以CE為邊作等邊△CEF，聯結AE并延長交CF的延長線于點N，聯結MF并延長交AC的延長線于點B，聯結BN．（1）說明△ACE≌△MCF的理由；（2）說明△CNB為等邊三角形的理由．21．（10分）如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN=AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．（1）求證：MP=NP；（2）若AB＝a，求線段PH的長（結果用含a的代數式表示）．22．（10分）如圖，為等邊三角形，點D在線段BA的延長線上，以DC為邊在BC的上方作等邊（點E與點B在DC的兩側）．（1）求證：；（2）點F與點E關于直線DC對稱，連接，試探究與有怎樣的數量關系？并證明你探究的結論．23．（10分）已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G．（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC＝45°．求證：①△BDF≌△ADC；②FG＋DC＝AD；（2）如圖2，若∠ABC＝135°，直接寫出FG、DC、AD之間滿足的數量關系．24．（12分）【學習新知】等邊對等角是等腰三角形的性質定理，如圖1，可以表述為∵∴【新知應用】已知：在中，，若，則______；若，則______．【嘗試探究】如圖2，四邊形中，，，若連接，則平分．某數學小組成員通過觀察、實驗，提出以下想法：延長到點，使得，連接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性質可以證明．請你參考他們的想法，寫出完整的證明過程．【拓展應用】借助上一問的嘗試，繼續探究：如圖3所示，在五邊形中，，，，連接，平分嗎？請說明理由．答案一、單選題1．C【分析】根據軸對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，對選項進行分析，即可得出答案．【詳解】解：A、“愛”不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；B、“我”不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；C、“中”是軸對稱圖形，故該選項符合題意；D、“華”不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意．故選：C2．D【分析】由折疊的性質得到∠ADB＝∠EDB，解得∠ADF的度數，再根據兩直線平行內錯角相等解答．【詳解】由折疊的性質得∠ADB＝∠EDB，∴∠ADF＝2∠ADB，∵∠ADB＝20°，∴∠ADF＝2×20°＝40°，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠ADF＝40°，故選：D．3．C【分析】由垂直平分線的性質可得BD＝CD，由△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．【詳解】解：由作圖的過程可知，DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∵，，∴△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C4．B【分析】先根據題意畫出輔助線，再根據三角形的面積和最短路徑得出與三角形的高之間的關系，進而得出的度數．【詳解】解：過點作，作點關于的對稱點，連接，∴，∴的最小值為：，∴，，∵，∴，∴，∴，∵∴，∴，即故選．5．D【分析】根據作圖過程可得BD平分∠ABC，然后根據等腰三角形的性質即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，根據作圖過程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故選項A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故選項B成立；沒有條件能證明CD=AD，故選項D不成立；故選：D．6．B【分析】由折疊的性質得到BE=BA=6，∠ABD=∠EBD，利用角平分線的性質以及三角形公式即可求解．【詳解】解：根據題意，將一張四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點A恰巧落在BC上的E處，連接DE，過點D作DF⊥BA并交BA的延長線于點F，如圖：∴BE=BA=6，∠ABD=∠EBD，∵∠C=90°，DF⊥BA，∴DF=DC=4，∴四邊形ABCD的面積=BCCD+ABDF=94+64=30(dm2)．故選：B．7．C【分析】連接AP，根據線段垂直垂直平分線的性質可知PA=PC，．由，即得出，由此可知當A、P、D在同一直線上時，最小．再根據等腰三角形“三線合一”的性質可知AD為的平分線，即．最后根據三角形外角性質即得出，由此即可判斷．【詳解】如圖，連接AP，∵直線MN是線段AC的垂直平分線，且P在線段MN上，∴PA=PC，．∵,∴．由圖可知CD為定值，當A、P、D在同一直線上時，最小，即為的長，∴此時最小．∵D是邊BC的中點，AB=AC，∴AD為的平分線，∴．∵，即，∴．故選C．8．D【分析】分等腰三角形頂角是鈍角和銳角兩種情況討論即可.【詳解】解：情況1：如圖：∵，∴，∵CA=CB，∴∠B=∠CAB=15o，底角與頂角的度數比為：15o:150o=1:10；情況2：如圖：∵，CA=CB，∴∠B=∠CAB=，底角與頂角的度數比為：75o:30o=5:2，綜上，這個三角形的底角與頂角的度數比為5:2或1:10，故選：D.9．C【分析】由線段垂直平分線的性質得出EA=ED，FA=FD，選項A正確；由等邊三角形的性質得出∠BAC=∠B=60°，由等腰三角形的性質得出∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，得出∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，選項B正確；由三角形的外角性質得出∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，再由∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED，得出∠2=2∠1，選項D正確；即可得出結論．【詳解】解：∵EF是AD的垂直平分線，∴EA=ED，FA=FD，選項A正確；∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=60°，∵EA=ED，FA=FD，∴∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，選項B正確；∵∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED∴60°+∠2=60°+2∠1，∴∠2=2∠1，選項D正確；已知條件不能推出DF與AC是否垂直故選：C．10．D【分析】過點作垂足為，過點作于，過點作于點，證明，得到，根據等面積求得，設，由，得出，根據等面積法求得的長，即可求解．【詳解】如圖，過點作垂足為，過點作于，過點作于點，∵CD平分∠BCA，∴，在與中∴∴∵∴設∵∴∴又∴故選D二、填空題11．130°12．【分析】根據軸對稱的性質得出角的度數，進而利用三角形外角的性質解答即可．【詳解】解：∵△ABC和△ABE關于直線AB對稱，△ABC和△ADC關于直線AC對稱，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案為：118°．13．32°【分析】先由∠BAC＝106°及三角形內角和定理求出∠B＋∠C的度數，再根據線段垂直平分線的性質求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC?（∠BAE＋∠CAN）解答即可．【詳解】解：在△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B＋∠C＝180°?∠BAC＝180°?106°＝74°，∵EF、MN分別是AB、AC的中垂線，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，∴∠EAN＝∠BAC?（∠BAE＋∠CAN）＝106°?74°＝32°．故答案為32°．14．4【分析】（1）先由平行線的性質得到，再由軸對稱的性質得到，最后根據三角形內角和計算即可；（2）先由軸對稱的性質得到，進而求出，再由30度角的性質得到，求出，最后根據垂線段最短作答即可．【詳解】（1）．，由題意知，，，故答案為．（2）過點E作，交FA的延長線于點G，由軸對稱的性質得，．，，，，∵，，易知當時，AD最短，此時，，故答案為4．15．180°﹣α．【分析】根據全等三角形的性質得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根據線段垂直平分線的性質得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根據角的和差即可得到結論．【詳解】解：延長AE至M，使EM＝AE，連接AF，FM，DM，∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，在△AEC與△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵點F在BD的垂直平分線上，∴FB＝FD，在△MDF與△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案為：180°﹣α．16．40【分析】連接BD，根據折疊的性質可得，得，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三種情況討論可得結果．【詳解】解：連接BD，如圖，由折疊可得，MB=MD，BN=DN，∴，∵∴∴∵∴∵是等腰三角形，∴分三種情況討論：①當NC=DC時，又∴整理得，故此種情況不存在；②當DN=DC時，∴解得，∴；∵∠AMD＞20°，∴此種情況須舍去；③當DN=NC時，∵∴解得，∴綜上，的度數為故答案為：17．＃＃【分析】由翻折可得AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，所以∠BDB′=4∠A，所以∠ADF=180°-4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，若∠ADF是等腰三角形，有三種情況：①當AD=AF時，∠ADF=∠AFD，②當AD=DF時，∠AFD=∠A，③當DF=AF時，∠ADF=∠A，然后分別列式計算即可解決問題．【詳解】由翻折可知：，，，，，，，，，若是等腰三角形，有三種情況：①當時，，，解得；②當時，，，（不符合題意舍去）；③當時，，，解得．綜上所述：的度數可能是或．故答案為：或．18．【分析】構造等腰，如圖1，使，，則，，當、、三點共線時，最大，然后根據已知角及等腰三角形的性質即可求解．【詳解】解：如圖1，構造等腰，使，，則，，∴當、、共線時，最大，此時，如圖2所示，，，則，∴，∵，，∴，∴．故答案為：45°．三、解答題19．解：如圖：作點M關于的對稱點，作點N關于的對稱點，連接交于P、交于Q，則M→P→Q→N為最短路線．20．（1）證明：△ACM和△CEF是等邊三角形，∴CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，在△ACE和△MCF中，，∴△ACE≌△MCF（SAS）；（2）解：∵△ACE≌△MCF（SAS），∴∠CAE=∠CMF，∵∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN與△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（ASA），∴CN=CB，∵∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，∴△CNB是等邊三角形．21．（1）如下圖所示，過點M作MQCN，∵為等邊三角形，MQCN，∴，則AM=AQ，且∠A=60°，∴為等邊三角形，則MQ=AM