2.2-1指數與對數轉化（課前先學案）

【學習目標】

理解對數，常用對數及自然對數的概念；掌握指數式與對數式的互化；

重點：對數式與指數式的互化及對數運算難點：對數概念的理解

【知識梳理】

1、對數的概念：如果ax=N（a>0且a工1）,那么數x叫做，記作—

a々二No二iog石W1三：b二二

/J；——JTT一

底數指數塞底數真數對數

2、指數式與對數式的互化：優=No

因為指數運算與對數運算互為逆運算，所以前后對應字母相同、取值范圍也相同。

3、常用對數是的對數，記為,

4、自然對數是的對數，記為。

5、對數的性質：（1）零和負數對數；

log,,N

6.同底對數恒等式：a=（a>0,且a#l）；

log”〃二（a>0,且a#1）。

【預習自測】

1.把下列指數式化成對數式：

1_11

2-'=-；273=-；3"=27；l（）T=0.1

23

2.把下列對數式化成指數式:

,1。,1,

電;=一2；1叫雨=~4；log|32=—5；1g0.001=—3

42

3、填空：

log“l=，1嗚。=，1嗚｝=，1啊。=

2.2-1指數與對數轉化（上課正學案）

【課堂檢測】

1、把下列指數式寫成對數式

4A=16<=>;3v=1<=>;/=6=:

2、把下列對數式寫成指數式

x=log230;x=lg25<=>:

3.求下列各式的值

(1)log525,(2)log2-,(3)lg10000,(4)lg0.001,(5)log2—o

【拓展探究】

例1.（1）求使k）g64%=；成立的X的值.（2）求使log」6=2成立的X的值.

例2、求值：（1）21°=1+1823

2bg（2）2°

【當堂訓練】

1、有以下四個命題：

=L,則x=5;

①若log,X=3,則X=15;②若log25X

2

③若log石x=0則x=石；④若log]x=-3,則x=125;

其中正確的是

2、已知log,9=2,則x的值為

3、已知xlog34=L求4,+4x的值。

2.2-1指數與對數轉化（課后溫學案）

【課后作業】

1、若logI(x+2)=0,貝|Jx=;若log4(l-x)=1,則x=.

3

2、求下列各式中x的值：

.1

⑴log2(log4x)=0;(2)log3(lgx)=l；

3、若a〉0且ahl,x>y〉0,下列式子：①log“k)g“y=log〃(x+y);

x

②log“x-log“y=log,,(x-y);③log“二=log“x+logay;

y

④log”(孫)=10gtilog“y其中正確的個數是。

4.已知log2(log3(log4x))=log3(log4(log2，))=0,求x+y的值。

5、求對數式log“_2)(5—x)中的x的取值范圍.

2X+2~x

6、設x=k)g23,求:一的值。

2入—2'

2.2-2對數運算一

【學習目標】

理解對數的運算性質的推導過程，熟練運用對數的運算性質進行化簡求值.；

重點：掌握對數的運算性質；

難點：熟練運用對數的運算性質進行化簡求值.

【知識梳理】

1、指數式與對數式的互化：如果優=N(a>0且awl),那么x=

2、指數的運算性質

(1)a"1?a"=(2)=(3)(a'")"=

根據對數的定義及對數與指數的關系，你能解答下列問題嗎？

(1)設10gM2=〃?，log“3=〃，求a"'+"；

(2)設IogaM=/n,logaN—n,試利用〃?、〃表示loga(MTV).

【歸納】對數的運算性質

如果a>0,M>0,N>0,那么

(1)log“(M?N)=“積的對數=對數的和“

M

(2)log(—)=_______________"商的對數=對數的差”

aN

(3)log?Mn="正數的"次方的對數=正數的對數的n倍”

【注意】順用'逆用運算性質，如Ig5+lg2=lg()=1,真數的取值范圍必須是(0,+8)：

log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的.

2

log10(-10)=2log10(-10)是不成立的.

【預習自測】

1、1g2+1g5=,log318-陶2=

log26-log23=----------------，logs3+log51=----------------------

log”2+log“；=----------------Jog35-隰15=----------------------

log2(log216)=?

7

2、求值：logs35-21og5§+log51.8；

【課堂檢測】

1、求下列各式的值：

7535

(1)10g2(4x2)；(2)IgVlOO；(3)log2(2x4)；(4)log5125.

2、用log“x,log.y,log。z表示下列各式:

⑵電拶

（1）bg戶;

z

【拓展探究】

例1、1、求下列各式的值:

2

⑴log2^+log212-|log242；22

(2)lg5+-lg8+lg5.1g20+(lg2)

【當堂訓練】

【課外拓展】

1、【2015高考安徽】lgj+21g2-(1)-'=。

2、已知函數則//('=o

3、若/(x)=a,且/(]g4=?,則。=。

【選做】

2*7_2%<1

1、已知函數/(1)=(’—，且/(〃)=一3,則/(6-。)=_______________。

-log2(x+l),x>1

2、已知定義在R上的函數/(%)=2及一嘰1(加為實數)為偶函數，記

a=/(log053),b=/(log,5),c=/(2加)，則a,仇c,的大小關系為。

2、【解析】：/3)=-3,.?.當aWl時，/(。)=21一2=-3,則2"7=-1,此等式顯然

7

不成立，當。>1時，一log2（a+l）=—3,解得。=7,.../⑹一。=/（T=2-1-1-2=--

2、【解析】由/（力為偶函數得加=0,所以。=21叫/一1=2臉3一1=3-1=2,

l5

z,=20g=_i=5-l=4,c=2°-l=0，所以c<a<b.

2.2-3對數運算二

【學習目標】

利用換底公式將對數轉化為常用對數或自然對數進行對數運算

問題1假設3陋=兀則log25==x?log,3,即log,5=log,3、，從而有3、=5,

logo3

把3、=5化為對數式為：log，5=x,又因x=座二，所以得出log,5=3型巨的結論.

10g23log23

問題2怎樣用常用對數表示log35?

----------losN

【換底公式】一般地，log“N=)^,其中(a>0,且aw1；c>0,且cw1）

log—

用語言可表示為：“一個對數可以用同底數的兩個對數的商來表示

【預習自測】

1、利用對數的換底公式化簡下列各式：

(1)logaC*log(.a；(2)log23?log34?log45?log52；

⑶(電43+^83)(432+?92).

利用換底公式可以把題目中不同底的對數化成同底的對數，進一步應用對數運算的性質.

兩個常用的推論:①log,/」og/=l,logab-logz,c-logta=l.

Yi

②log=—k)g“b(凡b>0且均不為1).

am

小結在利用換底公式進行化簡求值時,一般情況是根據題中所給的對數式的具體特點選擇

恰當的底數進行換底，如果所給的對數式中的底數和真數互不相同，我們可以選擇

以10為底數進行換底.

【課堂檢測】

計算：lg1—lg|+lg12.5—Iog89/og34；lg20+log10025;

2log34-log48-log8m=log416,求取的值.

【拓展探究】

若2"=5"=10,則l+1=_________________o

ab

【當堂訓練】

1、計算：1og916/og881的值為.

2、若log5ylog36-log6X=2,則》=.

3、已知Ig2=a,lg3=b,試用表示log125

【課外拓展】

1、已知log89=a,k)g25=8,則lg3=(用a、6表示).

2、若log“2=m，1。以5=",則.

3、(lg5)2+lg2-lg50=.

4、己知log[89=a,18'=5,求log3645.

【選做】

2'+1

【2015高考山東】若函數/(%)=]一是奇函數，則使f(x)>3成立的X的取值范圍為

2.-(1

()

(A)(-8,-1)(B)(-1,0)(c)(0,1)(D)(l,+oo)

【答案】C

2'+12T+1

【解析】由題意“X)=—/(—%)，即1—=——--，所以，(l-?)(2v+l)=0,a=l,

2-a2-a

2*+12V+1

/(x)=*^,由f{x}=-x一〉3得，1<2'<2,0<X<1,故選C.

2'—12—1

2.2-4對數函數一

【學習目標】

1.理解對數函數的概念以及|對數函數與指數函數間的關系|；

2.掌握對數函數的圖象與性質

重點：對數函數的概念以及它與指數函數間的關系

難點：掌握忖數函數的圖象與性質.

【知識梳理】

【對數函數的定義】一般地，我們把函數形如卜=log“*3>0,且a聲川叫做對數函數,

其中x是自變量，函數犍義域是（013.

【對數函數的圖象及性質】

一、具體函數：

寫出在同一坐標系內作出函數y=log2%及y=k）g|x的圖象的過程，觀察圖象，并指出這

兩個函數有哪些相同性質和不同性質？

1i

X???124???

42

??????

y=log2x

y=logAx???…

2

由圖知：(1)兩圖象都位于)，軸;

(2)經過定點(,);

(3)定義域都是(,);

(4)值域都是

單調性：函數y=log?x的圖象是,y=log]X的圖象是

2

這說明y=log?x在(0，+8)上是,》=1081%在(0,+8)上是.

奇偶性：___________________________

二、一般函數

歸納總結y=k)g“x(a>0,且。工1)的圖像和性質

定義y-log。x(a>。且Qw1)

底數a>\0<a<l

圖象y1y

1

o/(LO)Lo

定義域

值域

單調性在(0,+co)上_______在(0,+co)上________

共點性圖象過點_______，即k)g“l=0

函數值當x>l時y____當x>1時y____

特征當0<x<l時y____當0<x<1時y____

對稱性函數y=log.x與y=log!x的圖象關于x軸對稱

a

【預習自測】

1、已知對數函數/(x)的圖像過點(4,2),則該函數的解析式為.

2、求下列函數的定義域.

(l)y=logo,2(4~x)；(2)y=log,Nx—”W1).

3、比較下列各題中兩個數的大小：

(l)log25.3與log24.7；(2)logo.27與logo.29；

(3)k>g3n與logn3；(4)log“3.1與log“5.2(a>0,a#l).

小結①如果兩對數的底數相同，則由對數函數的單調性(底數a>1為增；0<“<1為減)

比較；②如果兩對數的底數和真數均不相同，通常引入中間變量進行比較；

【課堂檢測】

1、指出下列函數那些是對數函數.

(l)y=log2(x+l)(2)y=21og|X(3)y=log4x+l

2

21口

(4)y=log4x(5)y=logvx(6)y=log.T)>/且ax1)

2、求下列函數的定義域:

y=log3(l-x)；y=j^?y=Nlog3X.

3、函數y=log“(x+l)-2的圖像恒過定點。

【拓展探究】

已知/(x)=1g,a,be(-1,1)求證：/(a)+f(b)=

1+x\i+ah

【當堂訓練】

1>已知集合4=卜,=1。8213求Ac3

2、函數y=Jlg(x—1)的定義域是__________________________________

【課外拓展】

1、求不等式log“(2x+7)>log“(4x—l)(a>0且aH1)中x的取值范圍。

【選做】

1、【2015高考湖北】函數/(x)=7^1+尼二$匕6的定義域為()

x-3

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)(3,4JD.(-1,3)(3,6]

2、己知函數/(》)=108“*+3)在區間[一2,—1]上總有|/(到<2,求實數。的取值范圍。

【解析】1、由函數y=/(x)的表達式可知，函數/(x)的定義域應滿足條件：

4-|》20,三二空心>0,解之得%>2,*。3,即函數/(幻的定義域為(2,3)(3,4J,故應

x-3

選C..

2因為xw[—2,—1]，所以1WX+3W2.

當a>1時，log“1Vlog“(x+3)<loga2,

BP0</(x)<loga2,

因為/(x)<2,所以4解得a>

log02<2

當0<a<1時，log“2<loga(x+3)<log?1,

即k)g“2W/(x)W。

因為f(x)v2,所以1解得0<Q<J.

[loga2>-2,2

綜上,實數。的取值范圍是“卜(拒收)

2.2-5對數函數二

【學習目標】

掌握對數函數的圖象與性質

重點：對數函數的概念以及它與指數函數間的關系

難點：掌握阿致函麻語斯寫祗質.

【知識梳理】

定義

y-logax(a>0且Qw1)

底數a>\0<?<1

圖象y1y

1

oO

定義域

值域

單調性在(0,+oo)上_______在(0,+8)上________

共點性圖象過點_______,即log“l=0

函數值當x>l時y_______當x>1時y________

特征當0<x<l時y_______當0<x<1時y_________

對稱性函數y=log“x與y=log]x的圖象關于x軸對稱

a

【預習自測】

1、觀察下圖所示函數y=k)g＞，y=logo.5X，y=logi(p:,y=logo/x的圖象，你能得出什么結

論？

對于底數的對數函數，在（1,+8）區間內，底數越越靠近X軸;

對于底數的對數函數，在（1，+8）區間內，底數越越靠近X軸.

2、函數y=log?x,y=log/>x,y=logd的圖象如下圖所示，那么〃，c與1的大小關系.

3、比較下列各組數的大小:

12-6

Iog3§與10g5j；logo.i1.3和logo.i1.8；

Iog35和log64；Iogi.i0.7與logi.20.7.

【小結】

對于兩個不同底的對數式，若真數相同，可轉化為同底（利用換底公式）或利用對數函數圖象,

數形結合解得；若不同底，不同真數，則可利用中間量進行比較.

4、填空:

函數y=ax+2-3(a>0且aWl)必過定點.

函數y=a2x+'-4(a>Q,且a/1)的圖象恒過定點.

函數y=(a>0且aWl)恒過定點(1,2),則b=.

函數y=loga(2x+l)的圖像恒過定點.

函數y=log?(2x+1)-2的圖像恒過定點.

函數y=log〃(2x+Z?)-l(a>0且aWl)恒過定點(2,-1),則b=.

【課堂檢測】

1、解下列不等式或方程

(2)lg(x+5)2=2(3)(log,x)2+3log1x+2=0

【拓展探究】

1、已知函數/(x)=log(,(x+l),g(x)=log“(l一x),(a>0,ah1).

(1)求函數f(x)+g(x)的定義域；(2)判斷函數/(x)+g(x)的奇偶性，并說明理由。

【當堂訓練】

1已知a=（g）,b=32,c=log3（g），則a,Ac的大小關系是

2、函數/（幻=log2（3x+1）在區間（0,田）上的值域是

3、當0＜。＜1時，在同一坐標系中，函數y與y=log“x的圖象大致是（）

【課外拓展】

1、已知函數/（x）=log〃（"一1）,（。＞0且。71）

（1）求/（x）的定義域；（2）討論函數/（X）的增減性

2、已知函數/(x)=log“(x+l)—log“(l—x),(a>0且awl)

(1)求/(x)的定義域；

(2)判斷函數的奇偶性并證明；

(3)當a>l時，求使函數/(x)>0的x的取值范圍.

2.2-6對數函數三

【學習目標】：指數函數與對數函數性質的綜合應用

【預習自測】

1,已知函數/。）=嗓4（4'-1）.

（1）求/（X）的定義域；

（2）討論/（x）的單調性；

（3）求/（x）在區間g,2上的值域。

【課堂檢測】

2、已知函數/(x)=loga(1-x)+logfl(x+3)(0<a<1).

(I)求函數/(x)的定義域；

(II)若函數/(x)的最小值為—4,求實數a的值.

參考答案：

1解析(1)由4、一1>0,解得x>0,

因此/(x)的定義域為(0,go)

(2)設0<用</，則。<4"一1<4'2-1,

因此log4(4"-1)<log4(40一1),即/(內)<f(x2),/(%)在(0,m)上遞增。

(3)/(x)在區間；,2上遞增，

又=⑵=1嗚15,

因此/(x)在1,2上的值域為[0/og415]；

1—x>0

2解析解：(I)要使函數有意義則有1，解之得一3vxvl.

x+3>0

所以函數的定義域為同一3<x<1}

22

(II)函數可化為/(x)=log“(1一x)(x+3)=log“(-x-2x+3)=log(,[-(x+l)+4]0

-3<x<1,0v—(x+1)~+4<4.

2

???0<a<1,.-.logfl[-(x+l)+4]>log”4,

???/(x)min=1嗚4.

5

由log“4=-4,得“T=4,「?。=44故實數a的值為一

2

【課外拓展】

CX+1(0<x<c)Q

1、已知函