高等數(shù)學(xué)主講人

宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院在直角坐標(biāo)系下計算二重積分在極坐標(biāo)系下計算二重積分11.6二重積分的計算本講概要如果積分區(qū)域D為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、在直角坐標(biāo)系計算二重積分1.x型區(qū)域曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱體的底為X型區(qū)域：任取平面截面積為截柱體的曲頂柱體體積的計算故曲頂柱體體積為如果積分區(qū)域D為：2.y型區(qū)域在直角坐標(biāo)計算二重積分：且在D上連續(xù)時

1.若D為

x型區(qū)域

2.若D為y型區(qū)域計算二重積分的步驟：1.畫出積分區(qū)域

D

2.根據(jù)D的特點，選擇積分次序3.4.若D為x

型區(qū)域

若D為y型區(qū)域先對y積分，后對x積分先對x積分，后對y積分計算二重積分的基本思想，將其化成兩次定積分。1.若積分區(qū)域既是x型區(qū)域又是y型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有2.若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干x型區(qū)域或y型區(qū)域,則說明:例1計算二重積分其中

D

是由直線圍成的矩形區(qū)域。例2計算二重積分其中

D

是由直線圍成的區(qū)域。例3計算二重積分其中

D

是由拋物線圍成的區(qū)域。解

求交點,解方程組為計算簡便,先對x后對y積分,得交點坐標(biāo)(1,-1),(4,2)。畫出積分區(qū)域。表示成y型區(qū)域例5計算解:由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,交換二次積分的積分次序的步驟：1、根據(jù)已給的二次積分的積分限用不等式表示區(qū)域D，并畫出D的圖形。2、根據(jù)D的圖形將D用另一種表達式來表示，以確定改變積分次序后的積分限。把所給的二次積分化成另一種二次積分。例6.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則例8.計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,引例：計算解：先求曲線的交點二、利用極坐標(biāo)計算二重積分極坐標(biāo)：若將直角坐標(biāo)系中的原點取為極點，軸的正半軸取為極軸。設(shè)直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)極坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)稱為極坐標(biāo)的極徑。稱為極坐標(biāo)的極角。二重積分中被積函數(shù)把由極軸出發(fā)逆時針方向為正。兩坐標(biāo)系中變量間關(guān)系：求極坐標(biāo)下的積分元素在極坐標(biāo)系下,用射線

=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,及同心圓r=常數(shù),的表示方法。小區(qū)域的面積由圖可知：分劃區(qū)域D為即對應(yīng)有在內(nèi)取點嚴(yán)格的推導(dǎo)：二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖例1：將化成極坐標(biāo)下的二重積分。例1：將化成極坐標(biāo)下的二重積分。3.例1：將化成極坐標(biāo)下的二重積分。4.例1：將化成極坐標(biāo)下的二重積分。例2：計算解：求曲線的交點例3.計算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計算.注:利用例3可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當(dāng)D為R2時,利用例3的結(jié)果,得①故①式成立.例4.計算其中D

為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.例5：計算解：先畫D域解例6例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知例8.計算二重積分其中

D為圓域解:

利用對稱性.解：積分域是圓域，關(guān)于x,y軸對稱例9.內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形

:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則極坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則極坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則(3)計算步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應(yīng)盡量