第4節(jié)余弦定理和正弦定理[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.借助向量的運(yùn)算,通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.2.能運(yùn)用余弦定理、正弦定理解決三角形形狀的判斷問(wèn)題.1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)asinA=bsin(2)a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC變形(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(4)sinA=a2RsinB=b2RsinC=c2R(5)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(6)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(7)cosA=b2cosB=c2cosC=a2.三角形常用面積公式(1)S=12a·ha(ha(2)S=12absinC=12acsinB=(3)S=121.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sinA+B2(4)cosA+B22.三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.3.在△ABC中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,則B等于(D)A.30° B.45°C.135° D.45°或135°解析:根據(jù)正弦定理asinA=bsinB,得sinB=bsinAa=2×13.(2021·全國(guó)甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,則BC等于(D)A.1 B.2 C.5 D.3解析:法一由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,得BC2+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).法二由正弦定理ACsinB=ABsinC,得sinC=5719,從而cosC=41919(C是銳角),所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=32×41919-3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是(C)A.有一解 B.有兩解C.無(wú)解 D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定解析:由正弦定理bsinB=得sinB=bsinCc=40×所以角B不存在,即滿足條件的三角形不存在.4.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,則c=,△ABC的面積=.

解析:易知c=4+9-2×2×3×1△ABC的面積等于12×2×3×32=答案:735.在△ABC中,acosA=bcosB,則這個(gè)三角形的形狀為.

解析:由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2答案:等腰三角形或直角三角形利用正弦定理、余弦定理解三角形[例1](2021·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.(1)證明:因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC,所以在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac,又b2=ac,所以BD·b=b2,又b>0,所以BD=b.(2)解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E,因?yàn)锳D=2DC,所以AEEB=ADDC=2,DEBC所以BE=c3,DE=2在△BDE中,cos∠BED=BEc29+4a在△ABC中,cos∠ABC=ABc2+a因?yàn)椤螧ED=π-∠ABC,所以cos∠BED=-cos∠ABC,所以c2+4a化簡(jiǎn)得3c2+6a2-11ac=0,方程兩邊同時(shí)除以a2,得3(ca)2-11(c解得ca=23或當(dāng)ca=23,即c=cos∠ABC=c2+a2-當(dāng)cacos∠ABC=c2+a2-綜上,cos∠ABC=712(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程(組),通過(guò)解方程(組)求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.[針對(duì)訓(xùn)練]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsinC+asinA=bsinB+csinC.(1)求A的值;(2)設(shè)D是線段BC的中點(diǎn),若c=2,AD=13,求a的值.解:(1)根據(jù)正弦定理,由bsinC+asinA=bsinB+csinC,可得bc+a2=b2+c2,即bc=b2+c2-a2,由余弦定理可得,cosA=b2+c因?yàn)锳為三角形內(nèi)角,所以A=π3(2)因?yàn)镈是線段BC的中點(diǎn),c=2,AD=13,∠ADB+∠ADC=π,則cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以AD2+即13+a24整理得a2=2b2-44,又a2=b2+c2-2bccosA=b2+4-2b,所以b2+4-2b=2b2-44,解得b=6或b=-8(舍去),因此a2=2b2-44=28,所以a=27.三角形形狀判斷[例2]在△ABC中,已知sinA+sinC解:由sinA+sinCsinB=b+ca及正弦定理得a+cb所以(a-b)(a+b+c)=0,所以a=b.即△ABC為等腰三角形.若選①,則△ABC為等邊三角形.由a(sinA-sinB)=(c-b)(sinC+sinB)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b),即a2+b2-c2=ab.所以cosC=a2+b又C∈(0,π),所以C=π3所以△ABC為等邊三角形.若選②,則△ABC為等腰直角三角形.因?yàn)閎cosA+acosB=b·b2+c2-a所以sinC=1,又C∈(0,π),所以C=π2所以△ABC為等腰直角三角形.判斷三角形形狀的兩種途徑[針對(duì)訓(xùn)練]在△ABC中,c-a2cA.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析:c-a2c=sin2即cosB=ac法一由余弦定理得a2+c即a2+c2-b2=2a2,所以a2+b2=c2.所以△ABC為直角三角形,無(wú)法判斷兩直角邊是否相等.故選A.法二由正弦定理得cosB=sinA又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,即sinBcosC=0,又sinB≠0,所以cosC=0,又角C為三角形的內(nèi)角,所以C=π2和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題[例3](2022·浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面積.解:(1)由正弦定理asinA=得sinA=a·因?yàn)閏osC=35,所以sinC=4又ac=54,所以sinA=5sin(2)由(1)知sinA=55因?yàn)閍=5c所以0<A<π2所以cosA=25所以sinB=sin(π-B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=55×35+255×因?yàn)閎sinB=即1111525所以c=45,所以S△ABC=12bcsinA=12×11×45×與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略:(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相關(guān)邊、角之后,直接求三角形的面積.(2)把面積作為已知條件之一,與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.[針對(duì)訓(xùn)練]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且BA→·AC→+2S(1)求cosB的值;(2)若S=24,求a的值.解:(1)由BA→·AC→+得3bccosA=2×12即sin2A=9cos2A=9(1-sin2A),所以sin2A=910又A∈(0,3π4所以sinA>0,所以cosA>0,故sinA=31010,cosA=故cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=-1010×22+31010×22=10(2)S=24,所以bcsinA=48,得bc=1610,①由(1)知cosB=55,cosA=10所以sinB=25在△ABC中,由正弦定理,得bsinB=即b255聯(lián)立①②,解得b=8,c=210,則a2=b2+c2-2bccosA=72,所以a=62.[例1](2022·山東臨沂二模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,即在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c(a<c<b),則△ABC的面積S=12(ab)2-(a2+bA.24 B.3C.22 D.解析:由正弦定理可知acosB+(b-2c)cosA=0化簡(jiǎn)為sinAcosB+(sinB-2sinC)cosA=0,sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,即sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,因?yàn)閟inC≠0,所以cosA=22cosA=b2+c2-a2解得bc=1,根據(jù)面積公式可知S=12(bc)2[例2]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知C=60°,b=6,c=3,則A=.

解析:由正弦定理,得sinB=bsinCc=6所以B=45°或135°,因?yàn)閎<c,所以B<C,故B=45°,所以A=75°.答案:75°[選題明細(xì)表]知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)利用正弦、余弦定理解三角形1,2,4,9,10,11判斷三角形的形狀5,6與面積有關(guān)的解三角形問(wèn)題3,7,8,12綜合13,14,151.已知在△ABC中,A=π6,B=πA.2 B.1 C.3 D.2解析:由正弦定理asinA=bsinB?b=2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,b=7,a=1,B=2π3A.5 B.2 C.3 D.3解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得7=1+c2+c,解得c=2或-3(舍去).3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為a2A.π2 B.π3 C.π4解析:根據(jù)題意及三角形的面積公式知12absinC=a所以sinC=a2所以在△ABC中,C=π44.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,則abA.2 B.3 C.2 D.3解析:由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinAcosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,則cosA=12又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若cbA.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形解析:由cb<cosA,得sin又B∈(0,π),所以sinB>0,所以sinC<sinBcosA,即sin(A+B)<sinBcosA,所以sinAcosB<0.因?yàn)樵谌切沃衧inA>0,所以cosB<0,即B為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形.6.(多選題)對(duì)于△ABC,有如下判斷,其中正確的是(ABD)A.若cosA=cosB,則△ABC為等腰三角形B.若△ABC為銳角三角形,有A+B>π2C.若a=8,c=10,B=60°,則符合條件的△ABC有兩個(gè)D.若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC是鈍角三角形解析:對(duì)于A,若cosA=cosB,則A=B,所以△ABC為等腰三角形,故A正確;對(duì)于B,若A+B>π2則π2>A>π所以sinA>cosB,故B正確;對(duì)于C,由余弦定理可得b=82+10對(duì)于D,若sin2A+sin2B<sin2C,則根據(jù)正弦定理得a2+b2<c2,cosC=a27.(2021·全國(guó)乙卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

解析:由題意得S△ABC=12acsinB=34ac=3,則ac=4,所以a2+c2=3ac=3所以b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12則b=22.答案:228.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》卷五“田域類(lèi)”里有一個(gè)題目:問(wèn)有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田的三邊長(zhǎng)分別為13里,14里,15里,求三角形沙田的面積.則該沙田的面積為平方里.

解析:由題意畫(huà)出△ABC,且AB=13里,BC=14里,AC=15里,在△ABC中,由余弦定理得,cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=132+142-15答案:849.(2022·全國(guó)甲卷)已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)ACAB取得最小值時(shí),BD=解析:設(shè)BD=k(k>0),則CD=2k.根據(jù)題意作出大致圖形,如圖.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·(-12)=k2在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·12=4k2則AC2AB2=4k2-4k+4因?yàn)閗+1+3k+1≥23(當(dāng)且僅當(dāng)k+1=3k+1,即k=3-1時(shí),等號(hào)成立),所以AC2AB2≥4-1223=4-23答案:3-110.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,則角C的大小是(A)A.π6或2π3 C.2π3 D.解析:由b2+c2-3bc=a2,得b2+c2-a2=3bc,則cosA=b2+c2-因?yàn)?<A<π,所以A=π6由bc=3a2及正弦定理,得sinBsinC=3sin2A=3×14=3即4sin(C+A)sinC=4sin(C+π6)sinC=3整理得3cos2C=sin2C,則tan2C=3,又0<2C<5π3即2C=π3或4π3,即C=π611.(多選題)在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,C為鈍角,且c-b=2bcosA,則下列結(jié)論正確的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0<cosA<12 D.0<sinB<解析:因?yàn)閏-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b·b2+c2-a22bc所以sinAcosB-sinBcosA=sinB,所以sin(A-B)=sinB,由于C是鈍角,所以A-B=B,即A=2B,故B正確;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此12<cosA<1,0<sinB<112.(2022·山東濱州二模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a+c=4,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列,則△ABC的面積的最大值為.

解析:因?yàn)閟inA,sinB,sinC成等差數(shù)列,所以2sinB=sinA+sinC,由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,所以2b=4,即b=2,所以由余弦定理可得22=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,即ac(1+cosB)=6,又22=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB,即2≥ac(1-cosB),當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立,所以2×6≥ac(1-cosB)·ac(1+cosB)=(acsinB)2,因?yàn)閟inB>0,所以acsinB≤23,所以S△ABC=12acsinB≤3當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立,所以△ABC的面積的最大值為3.答案:313.在①(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB);②2ccosC=acosB+bcosA;③△ABC的面積為12c(asinA+bsinB-csinC)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并加以解答.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(1)求C;(2)若D為AB的中點(diǎn),且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)選擇①.根據(jù)正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3選擇②.根據(jù)正弦定理有sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,所以sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC.因?yàn)镃∈(0,π),所以sinC≠0,從而有cosC=12,故C=π選擇③.因?yàn)?2casinB=1所以asinB=asinA+bsinB-csinC,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cosC=a2+b2-又因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3(2)在△ACD中,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2-2AD·