2023年甘肅省武威市成考專升本數學(理)

自考真題(含答案)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

設-4x+3<O|,Q=-1)>2],則PCQ等于()

(A)|*lx>3|(B)|xl-1<x<2|

1(C)|xl2<x<3|(D)|xll<x<2|

2.已知正方形ABCD,以A,C為焦點，且過B點的橢圓的離心率為

A.JIB網.

C.fD金

f.r=3eo5.

方程J去示的曲線是

3.()

A.A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

4,?…一，i'

A.A.'<

1A

C.(~T-T

(,A6、

D.5'

(9)設中：仁=I且5=1.

乙:直線y=依+4與，=*平行，

則?季Q

(A)甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件

(B；甲是乙的充分條件似不是乙的必要條件

(C;甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

5.(D1甲是乙的充分必要條斗

已知函敢的圖像在點M(lJ(D)處的切線方程是y=%+2,?|/U)?

/⑴為()

A.2

B.3C.4D.5

方程/+/+以+Ey+F=0是圓的方程的

(A)充分但非必要條件

(B)必要但非充分條件

(C)充要條件

7.(。)既非充分也非必要條件

8.已知點A(l,-3),B(0,-3),C(2,2),則AABC的面積為()

A.2

B.3

3

C.

5

D.2

9.下列函數在各自定義域中為增函數的是()o

A.y=l+2，B.y=1—x

C.y=1+x2D.y=l+2r

下列函數中，為減函數的是

3J

[0(A)y-x(B)1y=sinx(C)y=-x(D)y=cosx

11.雙曲線3x2-4y2=i2的焦距為()。

A.2。

B.2抬

C.4

D.2

212

12.過點P(5,0)與圓'-VTz-5=0相切的直線方程是

A.y=5B.x=5C.y=-5D.x=-5

13.I*?=(0.1.0)與8=(-3.2.萬)的夾角的余弦值為)

A.A.

臣

B.

C.1/2

D.O

14.設m=sina+cosa,n=sina-cosa,貝！|m2+n2=()

A.A.2B.cosaC.4sin2aD.2sin2a

15.

函數y=*'()

A.為奇函數且在(0,+8)上為增函數

B.為偶函數且在(-8,0)上為減函數

C.為奇函數且在(0,+?上為減函數

D.為偶函數且在(-8,0)上為增函數

二計2%為叁數)

16.設直線的參數方程為''',則此直線在y軸上的截

距是()

A.5B.-5C.5/2D.-5/2

(+展開式中所有奇數鼻系數之和等于1024,則所物項的系數中最大

17.的值是()A.33O

B.462C.680D.790

(6)efifty=>0)的反函數為

(A)y-x*(*eR)(B)y=5?(?eR)

(C)y?5*(??R)(D)，,在(at?R)

18.5

19.空間向量a=(1,忘，「與Z軸的夾角等于

A.A.300B.45°C.60°D.90°

20.

第1題設集合乂={1,2,3,4,5},N={2,4,6},T={4,5,6},則(MAT)

UN()

A.(4,5,6}B.{2,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6}D.{2,4,6}

21.下列函數中，為偶函數的是()o

A.j=log2xB.y=J

4

Cr.j=——D.y=/+n

X

22.若tana=3,貝!)tan(a+;r/4)=()o

A.-2B.l/2C.2D.-4

23.

第9題正三棱錐的高為2,底面一邊的長為12,則它的側面積為()

A.144B.72C.48D.36

nnn

24.函數f(x)=2cos(3x-二)在區間二，的最大值是()。

A.0

B.

C.2

D.-1

25.闕數.v-'的鼓小值為()

A.A.A.

B.5

C.

D.

(5)fifty>/wl-i的定義域是

(A)Uls>l|(B)

26.(C)|xl?>H(D)|sl?<-I>11

27.*?/(?)■?，—+3x-9,已知/U)在-3時取得極值,則。=A.2B.3C.4D.5

28.已知f(x)是定義域在［-5,5］上的偶函數，且f(3)>f(l),則下列各式-

定成立的是

A.f(-1)<f(3)B.f(O)<f(5)C.f(3)>f(2)D.f(2)>f(0)

29.

設命題甲命題乙:直線與直線Y=H+I平行.則

A.甲居乙的必要條件但不是乙的充分條件

B.甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件

C.甲彳、是乙的充分條件也不是乙的必要條件

I).甲造乙的充分必要條件

30.6〃+叱81=()。

A.8B.14C.12D.10

二、填空題(20題)

一個底面直徑為32cm的圓柱形水桶裝入一些水.將一個球放入桶中完全淹沒,

31水面上升了9cm，則這個球的表面積是_—cm：.

計算3~X3~-log.t10—log4-=

32.5-------------------

33.已知（2.2萬）J=

34.設離散型隨機變量X的分布列為X-1012Pc2c3c4c則c=

35.已知隨機變量自的分布列為:

201234

P1/81/41/81/61/3

貝!IEg=_____

為了檢查一批零件的長度，從中抽取10件,量得它們的長度如下（單位:mm）：

22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.3222.35

則樣本的平均數（結果保留到小數點第二位）為這組數據的方差

36.為-------?

37.一個圓柱的底面半徑和高都與一個球的直徑相等，則該圓柱與該球

的體積的比為

38.1g（tan43°tan45°tan47°）=.

39.已知ij,k為單位向量且互相垂直響量a=i+j,b=-i+j-k,則axb=

40.正方體的全面積是a2,它的頂點都在球面上，這個球的表面積是

41.1"■匕

已知球的一個小圓的面枳為叫球心到小網所在平面的即崗為員.則這個球的

42.去面枳為?

43.已知57t<a<ll/2n,且|cosa|=m,則cos（a/2）的值等于.

44.從新一屆的中國女子排球隊中隨機選出5名隊員，其身高分別為（單

位:cm)

196,189,193,190,183,175,

則身高的樣本方差為cm2(精確到0.1cm2).

45.過點M(2,-1)且與向量a=(-3,2)垂直的直線方程是_______.

在5個數字1,2,3,4,5中,陶機取出W個數字，則列下兩個數字是自敷的模率是

46.

已知球的半徑為1,它的一個小圓的面積是這個球表面積的"，則球心到這個小

47.圓所在的平面的距離是______

48.球的體積與其內接正方體的體積之比為.

49.

設正三角形的一個頂點在原點.關于X軸對稱，另外兩個頂點在拋物線」=2屈

上.則此三角形的邊長為

設離散型隨機變量X的分布列為____________________________

X-2-102

-----

P--0.20.10.40.3

50則期望值E(X)=

三、簡答題(10題)

51.

(22)(本小題滿分12分)

面積為6的直角三角形三邊的長由小到大成等差數列.公差為d.

(I)求d的值；

(H)在以最短邊的長為首項，公差為d的等差數列中,102為第幾項?

52.(本小題滿分12分)

已知等差數列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

⑴求數列｛an｝的通項公式；

⑵當n為何值時，數列｛an｝的前n項和Sn取得最大值,并求該最大值.

53.

(本小題滿分12分)

△48C中，已知a1+c1-b3-ar,且lo&sinX+lo&sinC=-1,面積為，求它二

出的長和三個角的度It

54.(本小題滿分12分)

已知等比數列％」中,%=16.公比g=-L.

(1)求數列的通項公式；

(2)若數列：a」的前n項的和S.=124.求n的俏.

55.

(本小題滿分13分)

已知B8的方程為F+/+ax+2y+a2=0,一定點為4(1.2).要使其過定點4(1.2)

作圓的切線有兩條.求a的取值范圍.

56.

(本小題滿分13分)

2sin^cos0+—

設函數/⑷=-T-7--小e[0,^]

(1)求/(為)；

(2)求/(。)的最小值.

57.(本小題滿分12分)

某服裝店將進價為40元一件的襯衫，按50元一件售出時，能賣出500

件，如果這種襯衫每件漲價1元，其銷售量就減少10件，商店為了獲

得大利潤，問售價應為多少？

58.

(本小題滿分12分)

已知數列la1中=2.a..|=ya..

(I)求數列I。」的通項公式；

(D)若數列laj的前”項的和S.=第，求”的值.

（25）（本小題滿分13分）

已知拋物線0為坐標原點,F為拋物線的焦點?

（I）求10/1的值；

（n）求拋物線上點P的坐標，使的面積為差

59.

60.

（本小題滿分12分）

在（a%+l）7的展開式中,%3的系數是％2的系數與％4的系數的等差中項,

若實數a>l,求a的值.

四、解答題（10題）

61.已知正六邊形ABCDEF的邊長為a,PA為過點A而垂直于正六邊形

所在平面M的垂線，且PA=a,求

I.點P到各邊AB、BC、CD的距離。解析：因為PAJ_平面M所以

PA±BC所以點P到AB的距離為a,過A作BC的垂線交CB的延長

線于G連接PG所以BC_L平面APG即PG±AB

II.PD與平面M所成的角

62.設函數f(x)=2x3+3mx2-36x+m,且f'(-l)=-36

(I)求m;

(H)求f(x)的單調區間.

已知函數/(x)=(x+o)e*+-xJ.且/'(0)=0.

(I)求。；

(II)求/(X)的單調區間，并說明它在各區間的單調性；

(山)注明對仃總部行/(X)三I.

63.

64.設函數/(")=占一①一1

I.求f(x)的單調區間

II.求f(x)的極值

C旦

65.在AABC中，已知B=75。，’2

(I)求cosA；

(II)若BC=3,求AB.

66.某工廠每月生產x臺游戲機的收入為R(x)=-4/9x2+130x-206(百元)，

成本函數為C(x)=50x+100(百元)，當每月生產多少臺時，獲利潤最大？

最大利潤為多少？

更]

設南數-.?c[0,J

nintf.CCM0*2

什)求/(1)；

(2)求人6)的最小值.

67.

2

68.已知等差數列前n項和Sn=2n-n.

(I)求這個數列的通項公式；

(II)求數列第六項到第十項的和.

69.

三角形兩邊之和為10,其夾角的余弦是方程2r-3x-2=0的根，求這個三角形周長

的最小值.

70.

巳知數列<。.}?％=1.點在直蛭

(1)求數列{。.即通項公式；

(2)函數/(1>)■I?—*—?———?…+-("eN",且nN2),求函數/(<?)

的?小值一

五、單選題(2題)

71.對滿足a>b的任意兩個非零實數，下列不等式成立的是

A.yi7r>\/T6FB.lga?>lg〃C.a*>64D.(y)0<(j)*

72.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某項目比賽，其中至少有

一名女生入選的組隊方案數為()

A.100B.11OC.120D.180

六、單選題(1題)

方程/++Ox+Ey+尸=0是圓的方程的()

(A)充分但非必要條件

(B)必要但非充分條件

(C)充要條件

73」D)既1E充分也非必要條件

參考答案

1.C

2.C

C■所.以4c為，3，即為y3包立型標點,設正方形邊長為，第B-夸d).設■園方

最

程為點+.將8心,坐標帶人.得5'乂知~故心率為《=：=1j"芋，

3.B

消去參數，化曲線的參數方程為普通方程，

所以方程J.表示的曲線是桶圜.(答案為B)

[1y=5胤曲

4.A

5.B

6.B

B解析:四為小，,所以八1)=千，山切線過點得點MiSM坐標為,所以/(1)=

?|■，所以41)+八1)=工

7.B

8.D

易知AB=1,點C到AB邊的距離為2+3=5,故AB邊的高為5,因此

三角形的面積為；…

9.A

該小題主要考查的知識點為增函數.【應試指導】由指數函數圖像的性

質可知，A項是增函數.

10.C

11.A

本題考查了雙曲線的焦距的知識點。

=_式=1

3x?-4y2=12可化為43,即a?=4,b2=3,貝!)

c=I-=療，則焦距二'--「o

12.B

將圓的一般方程配方得出圓的標準方程.則點P(5,0)在圓上只有一條切

線(如圖)，即x=5

'?'x2—4J—5=0=>(x—2)!+9=9=32

則點p(5,o)在aj上只有一條切線(如困人

即x=5.

13.C

14.A

15.B

產-口+（工,一不”

i.假的參數方程為

16.C

JL殘彳晟人才&，曰=?''尸鼻+，；.AHAy”上立.曼力言.

17.B

B|?析：H然奇散項之和是所有項系數之和的半，0*=1即將所有項系數之和2"=2048=2"“

=11,各項的系數為一項式系數,故系域最大值為c：或C；1.為461

18.C

19.C

20.B

21.B

該小題主要考查的知識點為偶函數的性質.【考試指導】

A項JogyKIog2（-z）,故A項不是

偶蠹數（項，亳k9：?故C項不是偶函數；D項.

二+zW（一］尸一］,故D項也不是偶函數,而B項

中￡=（―z）2.故B項是偶函數.

22.A

該小題主要考查的知識點為三角函數的運算.

tana+tan~

tan(Q_______4

1-tanatan-

4

3+1__

1-3X1=―2?

23.B

24.C

本題考查了三角函數的最值的知識點。

7T7T

當x=時，函數f（x）=2cos（3x-3）取最大值，最大值為2o

25.A

L紜十多一(任一§>,+23>2宿最小值為2序.(答案為A)

26.D

27.D

D”折：如0，(*)—+2?+3.用當—?0.帶人?|用?二5

28.A由偶函數定義得:f(-l)=f(l),.\f(3)>f(l)=f(-l).

29.D

D由于:命題甲q命題乙(甲對乙的充分性).命

題乙今命理甲(甲紂乙乙的耍性3故選D.

【分析】點題#專對充分必要條件的配M.

30.B

該小題主要考查的知識點為對數函數與指數函數的性質.

2

64丁+!og|81=(28)1+

山+(§)=2。嗎-2=16-2=14.

31.576加

32.

7

【解析】該小題主要考查的知識點為對數函數與指數函數的計算.

c?5.1Q

3TX3T—log,10—log4-2-=3

5

。°&10+1。&=9—log,16=9—2=7.

【考試指導】

33.

120*12?-yiJ-2.?*2?2J3x（。）-

?7-^?ij-）/O?120，

4x22

34.

今【解析】c+2c+3c+4c=10c=l,，c=^.

35.

3622.35,0.00029

37.

38.0Ig(tan43°tan450tan470)=Ig(tan430tan450cot430)=Igtan45°=Igl=0.

39.0由向量的內積坐標式，坐標向量的性質得i2=j2=k2=l,ixj=jxk=ixk=0,

Va=i+j,b=-i+j-k得:axb=(i+j)(-i+j-k)=-i2+j2=-l+l=0.

40.

設正方體的犢長為工,6/=￡,工=%因為正方體的大對角線為球體的直徑.布2F=V3T

q6

=ya,UP所以這個球的表面積是S==4/=4x?佟)’=耕(答案為:

41.

42.

12x

43.

,1rn

V5x<cr<^-x（aG第三象限角）,；?舞VgV斗K（gW第二象限角

4ZL4vZ）

44.

s?=47.9（使用科學計*器計算）.（答案為47.9J

45.

設Ptr,y）為所求直線上任一點，則源=Q-2,y+D,因為訪_u.

?一?

則MP,a=（x-2?y4-l）,（―3.2）=-3（jt~2）+2（y+l）=0.

即所求直線的方程為3工一2丫-8一0.（若案為3H—2?—8=0）

46.

解析J個數字中共右三個奇數.若■下兩個是奇數局*法為。標.&的取gc；種,以所承儲

而

臣

47.3

48.

設正方體校長為i,則它的體積為i.它的外接環穴徑為4.半徑為R

M

球的體積V=4,一+信戶$.(售案卻%

49.

50.°'

51.

(22)解：(I)由已知條件可設直線三角形的三邊長分別為

Q-d,Q,a+d.其中a>0,d>0,

則(a+d)2=1+(Q-d)2.

a=4(/,

三邊長分別為3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d-\.

故三角形的三邊長分別為3,4,5,

公差d=L

(U)以3為首項,1為公差的等差數列通項為

4=3+(n-l),

3+(口-1)=102,

n=100,

故第100項為102.

52.

(1)設等差數列1。」的公差為人由已知％+，=0,得

2a,+W=0.又已知5=9.所以d=-2.

效歹ljIa.I的通項公式為4=9-2(n-I).即4=11-2n.

(2)數列I。」的前n項和

S.=^*(9+1—2n)=—n1+10n——(n-5)J+25.

當n=5時,S.取得最大值25.

53.

24.H因為，+『-從=農,所以占上四

即cos”上,而B為△楨(：內角,

所以B=60*.又1咕疝14+log4sinC=-1所以sin/l?sinC=器

則y[coB（4-C）-cos（A+C）]='^'-

所以cos（4-C）-ct?!20°cos（4-C）=0

所以A-C=90°或4-C=-90。.又N+C=120。,

解得4=105。,C=15。；或4=15°,C=105°.

因為e血=-aAmnC=Ifi^mnAsinBfiinC

-2R2.2+#..臣.二!!？=鳥2

4244

所以=月,所以R=2

所以a=2&im4=2x2xsinl05。=（卷+力）（cm）

b=IRsinB=2x2x?in600=24（cm）

c=2RmnCs2x2xsinl50=（^6-互）（ctn）

或a=（網6=2有（cm）c=（%+&）（cm）

??=初長分別為（用+^）cm2樂n、（而-A）cm,它們的對角依次為105。.600.152

54.

(1)因為a,=5,.即16=O|x：,得.=64.

所以,該數列的通項公式為a.=64x(/)z

⑵由公式S一W得，=竺孕,

1"9.1

'"I

化的得2"=32.解得n=5.

55.

方程？+/+ax+2y+『=0表示［fll的充婺條件是：1+4-4aJ>0.

即??2<亨.所以-yA<a<y-TT

4(1.2)在腳外，應滿足：1+21+a+4+aJ>0

HDJ+a+9>0.所以oeR

綜上，"的取值范圍是(

56.

1+2Mn0co86+—

由題已知公

(sin9+cos0)'+/

sin。+COB^

令二=+cos^,得

=[V*--~^]3+而

y/2x

由此可求得/(強)=瓜"。)最小值為而

57.解設襯衫每件提高X元售出時，利潤為Y元，此時賣出的件數為

500—10x件，獲得收入是(50+X)(500一10x)元，則利潤

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以當X=20時，利潤Y取得最大值9000元，此時售價

為50+20=70元

58.

(1，由已知得為於。，,18/，

所以歷」是以2為首項.十為公比的等比數列.

所以a.=2(引.即4=/6分

(n)由已知可噓=」二^",所以你=你，

1--

12分

解得n=6.

(25)解：(I)由已知得,0),

o

所以I0FI=J.

o

(口)設P點的橫坐標為明("0)

則P點的縱坐標為片或-/1

△0”的面積為

解得Z=32,

故。點坐標為(32,4)或(32,-4).

可見,展開式中的系數分別為C；M.CM,Cat

知.2Ca

x67x6x5

5a-10a+3=0.

60.

61.因為PA_L平面M所以PA±BC所以點P到AB的距離為a,過A

作BC的垂線交CB的延長線于G連接PG所以BC_L平面APG即

PG±AB

■:AG=^a.PA=a,

:.在RtAAPG'P.PG-/PA*+.AG：

a.因此P到8c的距離為岑a.

?；PA，平而M.

；.AC是PC在平面M上的射影.

又t?AD是正六邊形ABCDEF外接網的

uts.

.,./ACD=90,

因此AC_LCD,所以CD_L平面ACP.即PC

HP到CD的距離.

?；AC=/a.PA=a,

;PC=，3下+<?=2a.因此P到CD的距

離為2a.

，設PD與DA所夾的角為a.在Rt^PAD

中』，uma=而PA一心a一下1’

.".a-arctan:為PD與平面M所夾的角.

62.

（I）由已知得/（x）=6H2+6叩-36,

又由/（-I）=-36得

6-6m-36=-36?

故m=1.（6分）

（II）由（I）得，，（工）=6/+6工一36.

f

令（x）=0,解得?=—3,X2=2.（8分）

當zV—3時,/（工）>0;

當一3VhV2時/（z）V0;

當工>2時/（z）>0.

故/（x）的單調遞減區間為（-3.2）J（z）的

胞調遞增區間為（一8?一3）?（2,+8）.

（12分）

63.

M；<I)y(x)=(x+fl+l)e*+x.

由/'(0)=0得1+a=0，所以a=-l....4分

(U)由(I)可知，/*(*)?xe+x-x(e*+1).

當x<0時./r(x)<0；當x>0時./V)>0.

函數/(x)的單調區間為(y,0)和(0,+?).函數/(x)在區間(Y>，0)為減函數，

在區間(0,+8)為增函數.……1°分

(III)/(o)=-i.由(II)知，/(o)=-i為最小值，則y(x)》-i....13分

f(x)=(eJ—x—l)/=eT-1?

令—1=0，得I=0

當工￡(一8,0)時，/1)vo,

64.1函數的定義域為Goo,+oo)zG(O,十8)時，所以f(x)

在(-8,0)單調增加在(0,+oo)單調增加

n/(0)=e。-0-1=1-1=0,又因為的在x=0左側單調減少,在

x=0右側單調增加所以x=0為極小值點，且f(x)的極小值為0.

65.

(I)由cosC=烏得C=45°

故A=180°-75°-45°

=60",

因此cosA=cos60Q

1

2?

BC=