遼寧省撫順市十中2023-2024學年高三第六次模擬考試數學試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

3害用手…用半

2.定義在上的函數—滿足二二42二?，且—為奇函數，貝！J-的圖象可能是（）

3.復數4在復平面內對應的點為（2,3）/2=—2+z?，則五=（

Z2

18.18.18.

A.-----\--iB.----------1C.-1+—z

55555

22

4.已知耳、罵分別為雙曲線—[=1（。>0,6>0）的左、右焦點，過耳的直線/交C于A、B兩點,。

ab

為坐標原點，若。4,8耳，|AFJ=|B月|,則。的離心率為（）

A.2B.75C.76D.V7

5.中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所

示（單位：寸），若乃取3,當該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為（）

5.4

正視國側視圖

俯視圖

A.3B.3.4C.3.8D.4

47r

6.如圖，用一邊長為形的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為號的雞蛋（視

為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）

A,包C01D.'I

22'22

7.已知四棱錐P-A3CD中，24,平面ABC。，底面ABC。是邊長為2的正方形，PA=5E為PC的中點,

則異面直線無與所成角的余弦值為（）

.V13?713?V15「岳

393955

8.若函數/（》）=℃3+3必+6在x=l處取得極值2,貝！Ja—匕=（）

A.-3B.3C.-2D.2

)

10.已知雙曲線C:￡-E=l(a>0,6>0)的一條漸近線的傾斜角為。，且cos6=也，則該雙曲線的離心率為()

。b-5

A.J?B.@C.2D.4

2

11.已知函數/(x)=x2—2x,集合A={%"(%)<O},B={x\f\x)<Q],則AB=()

A.[-1,0]B.[-1,2]

C.[0,1]D.(^?,l]o[2,+a))

12.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，E為A5中點，產為CD的三等分點（靠近。）若AP=xAC+yOE,則

丁一x的值為（）

DF

B

121

A.——B.——C.——D.-1

233

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2x+y>2

13.若羽y滿足約束條件y—2W0,則2=》+?的最大值為

2x-y<2

14.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若sinA+sinB=J^sinC，且c=l,則AABC面積的

最大值為.

15.已知數列｛a'｝的前〃項和為S“，S?=2（an+1）,則滿足S“=-126的正整數”的值為.

16.在平面直角坐標系X0Y中，雙曲線二-二=1（a>0,b>0）的左頂點為A,右焦點為F,過尸作x軸的垂

ab~

線交雙曲線于點P,。.若AAPQ為直角三角形，則該雙曲線的離心率是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓。:'+9=1的左、右焦點分別為耳,巴，直線/垂直于x軸，垂足為丁，與拋物線y2=4x交于

不同的兩點RQ,且耳?—巴。=—5,過尸2的直線機與橢圓。交于48兩點，設=且幾且—2,—1].

(1)求點T的坐標；

(2)求|出+尊|的取值范圍.

「x—m2

18.(12分)在平面直角坐標系X0V中，曲線C的參數方程為〈(機為參數).以坐標原點。為極點，x軸正半軸

y=2m

為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為夕sin3-夕cos6+1=0.

(I)求直線/的直角坐標方程與曲線C的普通方程；

,、11

(II)已知點P(2,l),設直線/與曲線C相交于兩點，求回j+西的值.

19.(12分)如圖，四棱錐尸-A3CD的底面ABC。中，AABD為等邊三角形，5CD是等腰三角形，且頂角

ZBCD=120°,PC±BD,平面平面ABC。，以為必中點.

(1)求證：￡>“//平面尸5C；

(2)若PD工PB,求二面角C—B4—3的余弦值大小.

20.(12分)某學校為了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數據，得到如下頻率分布直

方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.

(1)估計這100人體重數據的平均值〃和樣本方差a?；(結果取整數，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)

(2)從全校學生中隨機抽取3名學生，記X為體重在［55,65)的人數，求X的分布列和數學期望；

(3)由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重y近似服從正態分布N(〃02).若

P(^-2o-<Y<p+2a)>0.9544,則認為該校學生的體重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常?并說明理由.

21.(12分)在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長

X—y/3—tn

度單位.已知直線1的參數方程為廣。為參數)，曲線C的極坐標方程為p=4sin(0+￡).

y=l+y/3t3

(1)求直線1的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

(2)若直線1與曲線C交于M,N兩點，求AMON的面積.

22.(10分)某工廠生產某種電子產品，每件產品不合格的概率均為P,現工廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前

每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗5件該產品，且每件產品檢驗合格與否相互獨立.若

每件產品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產品每左個(左＜5)一組進行分組檢驗，如

果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件

產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗1次或1+左次.設該工廠生產1000件該產品，記每件產品的平均檢驗

次數為X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)試說明，當P越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；

(ii)當。=0」時，求使該方案最合理時上的值及1000件該產品的平均檢驗次數.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

結合三視圖可知，該幾何體的上半部分是半個圓錐，下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.

【詳解】

由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱，則上半部分的半個圓

錐的體積v=lx-x4^x2^=小殳，下半部分的正三棱柱的體積^=1x4x2^x4=1673，故該幾何體的體積

1233'2

丫=匕+匕=當^+166.

故選:D.

【點睛】

本題考查三視圖，考查空間幾何體的體積，考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.

2、D

【解析】

根據—■為奇函數，得到函數關于中心對稱，排除",計算:三'二排除，得到答案.

【詳解】

—■為奇函數，即(匚+：,=-,~,函數關于〔中心對稱，排除.

二…＜，一=?,二，排除.

故選：二.

【點睛】

本題考查了函數圖像的識別，確定函數關于中心對稱是解題的關鍵.

3、B

【解析】

求得復數百，結合復數除法運算，求得五的值.

【詳解】

z,2+3z_(2+3z)(-2-z)_(2+37)(—2-z)&18.

易知馬=2+37,則一=----------1

-2+z(-2+z)(-2-z)55

故選：B

【點睛】

本小題主要考查復數及其坐標的對應，考查復數的除法運算，屬于基礎題.

4、D

【解析】

作出圖象，取A8中點E,連接E尸2,設尸iA=x,根據雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到。2=7層，進而得

到e的值

【詳解】

解：取A3中點E,連接EF2,則由已知可得尸2,

設尸iA=x,則由雙曲線定義可得A尸2=2a+x,BFi-BF2=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,貝!|EF2=2白a,

由勾股定理可得(4a)2+(273?)2=(2c)2,

所以d=M,

【點睛】

本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數形結合思想，屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題，關

鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.

5、D

【解析】

根據三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數.

【詳解】

由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為％3,1和

一個底面半徑為高為5.4-x的圓柱組合而成.

該幾何體的表面積為

2（x+3x+3）+^■?（5.4-%）=42.2,

解得x=4,

故選：D.

【點睛】

本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎題.

6、D

【解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側面三角形的高，即可求解.

【詳解】

設四個支點所在球的小圓的圓心為。'，球心為。,

4c4〃*

由題意，球的體積為之，即一乃K=，可得球。的半徑為1,

333

又由邊長為0的正方形硬紙，可得圓0'的半徑為:，

利用球的性質可得='儼一0)2=手，

又由。'到底面的距離即為側面三角形的高，其中高為

2

所以球心到底面的距離為^+-=叵口.

222

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及球的性質的綜合應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與計算能力,

屬于基礎題.

7、B

【解析】

BEPD

由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用cos(3E,PD)=即可得解.

BE|.|PD|

【詳解】

24,平面ABC。，底面ABC。是邊長為2的正方形,

,如圖建立空間直角坐標系，由題意:

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,石），D（0,2,0）,

E為PC的中點，

BE=T以，PD=（0,2,一⑹,

1

cos^BE,PD^BEPD__萬_V13

|BE|.|PD|-VB39

2

二異面直線班與P。所成角的余弦值為cos(BE,PD\即為巫.

、/39

故選：B.

【點睛】

本題考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力，屬于基礎題.

8、A

【解析】

對函數f(x)求導可得[二.，即可求出。力，進而可求出答案.

J(1)=2

【詳解】

因為/0)=加+3廠+6,所以八%)=3叱+6%,則1,/,、,c，解得"=-2/=1,則。一A=一3.

j(X)=a+3+b=2

故選:A.

【點睛】

本題考查了函數的導數與極值，考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.

9、A

【解析】

7F

用偶函數的圖象關于y軸對稱排除C,用/(K)<0排除&用/(])〉4排除。.故只能選A.

【詳解】

因為/(—X)=6.(一》-(~x)2==/(X),

41+(-媛yjl+x2

所以函數/(X)為偶函數，圖象關于V軸對稱，故可以排除C；

...兀21

/(〃)=6smm~■=1-<1--——=1-1=0

因為J1+7I11T，故排除3,

\2+2

,1>6--,144

I型+3］應+生=6-存〉6_：=6_2=4由圖象知，排除骨.

,72N不十早”

故選:A

【點睛】

本題考查了根據函數的性質，辨析函數的圖像，排除法,屬于中檔題.

10、A

【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的關系，求出雙曲線的離心率.

【詳解】

解：設雙曲線的半個焦距為c,由題意9e［0,萬）

又cos6=好，則sin6=也，tan6=2,-=2,所以離心率《=￡==6,

55aa飛［aJ

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題

11、C

【解析】

分別求解不等式得到集合AB，再利用集合的交集定義求解即可.

【詳解】

A={x|x2-2x<0}={.r10<x<2}={x|2x-2W0}={x|xWl},

：.A8={x|0WxWl}.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了集合的基本運算，難度容易.

12、D

【解析】

使用不同方法用表示出AF，結合平面向量的基本定理列出方程解出.

【詳解】

解：AF=AD+DF=-AB+AD,

3

—.1一1

又AF=xAC+y￡>E=x（AB+A。）+近萬AB—AD）=（x+萬y）AB+（x—y）AD

r115

y1x=—

XH———Qt

23解得/所以y—x=-1

x-y=iy=--

故選：D

【點睛】

本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4

【解析】

作出可行域如圖所示：

目標函數2=x+y,即為y=—x+z,平移斜率為-1的直線，經過點4(2,2)時，z〃皿=2+2=4.

14、叵

4

【解析】

利用正弦定理將角化邊得到a+6=6,再由余弦定理得到cosC=2-l,根據同角三角函數的基本關系表示出

ab

sinC,最后利用面積公式得到5=!出^也。=!。/—[2]+HJ—1+2",由基本不等式求出ab的取值

22\\abab2

范圍，即可得到面積的最值;

【詳解】

解：?.,在AABC中，sinA+sinB=A/3sinC?**a+b=A/3C=A/3，

."a2+b2-c2(a+b)2-lab-c11.

??cosC----------------------------------------------1,

■:a+b?22寂,即0<。人《金，當且僅當a=6=走時等號成立，

42

：.S=-yj-l+2ab<-.I-1+2x3=旦，：.AABC面積的最大值為—.

22V444

故答案為：在

4

【點睛】

本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應用，以及基本不等式的應用，屬于中檔題.

15、6

【解析】

已知S“=2(%+1),利用a“=S〃-S“T=2a“-2a“_i，求出｛%,｝通項，然后即可求解

【詳解】

；SR=2(%+1),.,.當〃=1時，S[=2(.+1),二q=-2；當〃22時，an-Sn-Sn_x-2an-2a,：.an=2an_1,

故數列｛q｝是首項為2公比為2的等比數列，二4=—2".又5,=2(q+1)=—126,二。"=-64,二—2"=—64,

n=6.

【點睛】

本題考查通項求解問題，屬于基礎題

16、2

【解析】

人2

根據AAPQ是等腰直角三角形，且R為P。中點可得A尸=。尸，再由雙曲線的性質可得a+c=幺，解出e即得.

【詳解】

由題，設點P(c,%),由爐y2,解得y土一，即線段PR=L,AAPQ為直角三角形，

-------—=1(〃>0,/7>0)ua

b

Jl

ZPAQ=-9且AP=AQ,又尸為雙曲線右焦點，P2過點尸，且軸，.?.”=p尸，可得〃+c=幺，

2a

2_2

:.a+c=^-^-,整理得：2a~+ac-c2=0.即e?—e—2=0,又e〉l,，e=2.

a

故答案為：2

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單性質，是常考題型.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)T(2,0)；(2).

8

【解析】

(1)設出RQ的坐標，代入々P?耳。=-5,結合RQ在拋物線/=4x上，求得RQ兩點的橫坐標，進而求得T

點的坐標.

(2)設出直線機的方程，聯立直線機的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結合月4=；1月6,求得|Z4+ZB(的表達

式，結合二次函數的性質求得|力4+竊|的取值范圍.

【詳解】

(1)可知6(一1,0),耳(1,0),

設P(%，%)，Q(Xo，—%)

22

則用?加=-5=(%+1,%)?(x0-l,-y0)=x0-l-y0,

又y2=4x,

所以-5=Xo?-1-4%0

解得%=2,

所以T(2,0).

(2)據題意，直線加的斜率必不為0,

所以設m:x=什+1,將直線m方程代入橢圓c的方程中,

整理得(7+2)3+22-1=0,

2t

貝11%+%=-涔賓①

1

②

因為耳4=4耳5,

所以％=%%，且x<0,

將①式平方除以②式得M+當+2=--^―

%Xt-+2

所以2+_1l+2=-4t

2『+2

2

同-2,-1],又解得0K產嚀

4(/+1)

又7A+7B=(%+X2_4，X+%)，玉+/_4=(％+%)_2=--——

.?ooo

-

所以L4+TB=(x1+x2-4)-+(y1+y2)=16--3—+—~-y

f+/(尸+2)

1

令”=

7+2

7J_

則“e

16,2

所以網+研2=8/—28〃+16=8—j-ye4,箸

、

TUAT+TUlBTer2,吆12L6

[8

【點睛】

本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線和橢圓的位置關系，考查向量數量積的坐標運算，考查向量模的

坐標運算，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于難題.

4

18、(I)直線/的直角坐標方程為x—y—1=0；曲線C的普通方程為V=4x；(II)

【解析】

（I）利用參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；

（II）將直線參數方程代入拋物線的普通方程，可得4+^=2夜，柩2=-14,而根據直線參數方程的幾何意義，知

1=j（4+，2）一竺代入即可解決.

1PMl網劇團kJkzlMM

【詳解】

（I）由x=pcos0,y=psin0,

可得直線1的直角坐標方程為x-y-1=0.

由曲線C的參數方程，消去參數機，

可得曲線C的普通方程為y2=4x.

f°V2

X—2H-----1

（n）易知點P（2,I）在直線/上，直線/的參數方程為:.為參數）.

y=l+—t

[-2

將直線I的參數方程代入曲線C的普通方程，并整理得f-2萬-14=0.

2

設4是方程t-2萬—14=0的兩根，則有tx+t2=2夜/人=-14.

,1?1=\1=.+閔」。-2|=J（G+-）2—4%

"\PM\回一|他|一|%|一M

【點睛】

本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化，直線參數方程的幾何意義，是一道容易題.

19、（1）見解析；（2）叵

7

【解析】

（1）設中點為N,連接MN、DN,首先通過條件得出CBLAB,加。NLA5,可得DN//BC,進而可得

DN//平面PBC,再加上ACV//平面尸3C,可得平面DMN//平面尸5C,則DW7/平面尸5c；

（2）設血中點為。，連接A。、CO,可得尸O_L平面ABCD,加上班），平面PCO,則可如圖建立直角坐標系

O-xyz,求出平面R鉆的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：設AB中點為N,連接MN、DN,

?.A血為等邊三角形，

DNLAB,

DC=CB,ZDCB=12Q°,

.-.ZCBD=30°,

ZABC=600+30°=90°,即CBLAB,

rDNLAB,

：.DN//BC,

BCu平面PBC,Z)N<z平面PBC,

:.DN//平面PBC,

MN為△PAB的中位線，

:.MN//PB,

Mu平面P3C,MNa平面「5C,

:.MN//平面PBC,

MN、ON為平面DAW內二相交直線，

???平面DMN//平面PBC,

DMu平面DMN,

」.￡)M7/平面尸5c；

(2)設6。中點為。，連接AO、CO

m為等邊三角形，5CD是等腰三角形，且頂角NBCD=120。

:.AO±BD,COVBD,

,-.A>C、。共線，

PC±BD,BDLCO,PCCO=C,PC,COu平面PCO

..班)，平面PCO.

POu平面PCO

:.BD±PO

平面平面ABCD,交線為BD,POu平面尸況)

.,.PO_L平面ABC。.

設AB=2,則AO=3

在5CD中，由余弦定理，得：BD2=BC~+CD2-2BC-CD-cosZBCD

又BC=CD,

22=2BC2-2BC2-cos120°，

百_百

...CrnJD—_rCzryi-_-2----，CC7-，

33

PD±PB,。為BD中點，

PO=-BD=1,

2

建立直角坐標系O-孫z(如圖)，則

C-日,0,0,P(0,0,l),A(AO,O),5(0,1,0).

I37

.-.BA=(A/3,-1,0),PA=(A/3,0,-1),

設平面R43的法向量為“=(x,y,z),貝！I，

n-BA=Q\f3x-y=0

n-PA=06x-z=0

取x=l,則＞=2=0，

平面PAC的法向量為OB=(0,1,0),

/八小n-OB0T

\/M網7，

二面角C—K4—8為銳角，

二二面角C—K4—8的余弦值大小為叵.

7

【點睛】

本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學生計算能力和空間想象能力，是中檔題.

20、(1)60；25(2)見解析，2.1(3)可以認為該校學生的體重是正常的.見解析

【解析】

(1)根據頻率分布直方圖可求出平均值〃和樣本方差

(2)由題意知X服從二項分布6(3,0.7),分別求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),尸(X=3),進而可求

出分布列以及數學期望；

(3)由第一問可知y服從正態分布N(60,25),繼而可求出尸(50<F<70)的值，從而可判斷.

【詳解】

解：(1)

u=(47.5+72.5)x0.004x5+(52.5+67.5)x0.026x5+(57.5+62.5)x0.07x5=60

/=[(60—47.5y+(72.5—60月x0.02+[(60—52.5)2+(67.5-60)2]x0.13

+[(60-57.5)2+但5—60)2]x0.35標25

(2)由已知可得從全校學生中隨機抽取1人，體重在[55,65)的概率為0.7.

隨機拍取3人，相當于3次獨立重復實驗，隨機交量X服從二項分布5(3,0.7),

則P(X=0)=Cx0.7°x0.33=0.027,尸(X=1)=C；x0.7x0.32=0.189,

尸(X=2)=C；x0.72x0.3=0.441,P(X=3)=Cfx0.73x0.3°=0.343,

所以X的分布列為：

X0123

P0.0270.1890.4410.343

數學期望EX=3x0.7=2.1

(3)由題意知F服從正態分布N(60,25),

則P(〃-2CTWF<〃+2cr)=P(50<7<70)=0.96>0.9544,

所以可以認為該校學生的體重是正常的.

【點睛】

本題考查了由頻率分布直方圖求進行數據估計，考查了二項分布，考查了正態分布.注意，統計類問題，如果題目中沒

有特殊說明，則求出數據的精度和題目中數據的小數后位數相同.

21、(1)直線/的普通方程為括x+y—4=0.曲線C的直角坐標方程是圓：(X