相似全章復習與鞏固

金目標導航

課程標準

1、了解比例的基本性質，線段的比、成比例線段;

2、通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，理解相似多邊形對應角相等、對應邊成

比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利

用這些性質和判定方法解決生活中的一些實際問題；

3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位似變換后點的

坐標的變化；

4、結合相似圖形性質和判定方法的探索和證明，進一步培養推理能力，發展邏輯思維能力和推理論證的

表達能力，以及綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.

相

似

圖

形

的

應

用

繳知識精講

知識點01相似圖形及比例線段

1.相似圖形：在數學上，我們把稱為相似圖形(similarfigures).

要點詮釋：

（1）相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

（2）“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等;

2.相似多邊形

如果兩個多邊形的,對應邊的,我們就說它們是相似多邊形.

要點詮釋：

（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質.

（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.

3.比例線段：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a?.斤c:d,

我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

要點詮釋：

（1）若a:蛇,貝！Jad%c；（d也叫第四比例項）

（2）若a:6=6:c,貝=ac（6稱為a、c的比例中項）.

知識點02相似三角形

1.相似三角形的判定：

判定方法（一）：,所構成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：,那么這兩個三角形相似.

判定方法（三）：,那么這兩個三角形相似.

要點詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的

夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.

判定方法（四）：,那么這兩個三角形相似.

要點詮釋：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，

若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.

2.相似三角形的性質：

（1）相似三角形的,對應邊的；

（2）相似三角形中的等于相似比；

相似三角形,,都等于相似比.

要點詮釋：

要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.

（3）相似三角形周長的比等于相似比；

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

3.相似多邊形的性質：

（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.

（2）相似多邊形的周長比等于相似比.

（3）相似多邊形的面積比等于.

知識點03位似

1.位似圖形定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點

叫做位似中心.

2.位似圖形的性質：

（1）位似圖形的對應點和位似中心在；

（2）位似圖形的等于相似比；

（3）位似圖形中的對應線段平行.

要點詮釋：

（1）位似圖形與相似圖形的區別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.

（2）位似變換中對應點的坐標變化規律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點

為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.

知識點04黃金分割

L定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB,若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全

PRAp

長之比，即——=—（此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項），則P點就是線段AB的黃金分割點（黃

APAB

金點），這種分割就叫.

APB

2.黃金三角形：—的等腰三角形，它的底角為72°,恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形.

黃金三角形性質：底角平分線將其腰黃金分割.

知識點04射影定理

在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,

.,.△ABC^AACD^ACBD（“角角”）

______________________________（射影定理）;

_____________________________（等積）.

u能力拓展

考法01相似三角形

【典例1】已知：如圖，/ABC=/CDB^90°,A（=a,BC=b,當BD與a、6之間滿足怎樣的關系時，這兩個三

角形相似？

【即學即練1］如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于0.

(1)求證：△COMs/XCBA；(2)求線段0M的長度.

-------+~ID

B/MC

【典例2】如圖，在AABC中，ZC=90°,將AABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處,

已知MN〃AB,MC=6,NC=26,則四邊形MABN的面積是()

A.6GB.1273C.18GD.24G

考法02相似三角形的綜合應用

【典例3】已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點0,點E在邊BC的延長線上，且OE=OB,

連接DE.

(1)求證：DE±BE；

【典例4】如圖，在AABC中，點D,E分別在邊AB,AC上，ZAED=ZB,射線AG分別交線段DE,

BC于點F,G,且坦

ACCG

(1)求證：△ADFs^ACG；

(2)若m求處的值.

AC2FG

A

D

【即學即練2］如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,Z\ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處.

(1)求證：△BDESZ\BAC；

(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長度.

【典例5】如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD=2,BC=4,點M是AD的中點，aMBC是等邊三角形.

(1)求證：梯形ABCD是等腰梯形.

(2)動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且NMPQ=60°保持不變.

設PC=x,MQ=y,求y與x的函數關系式.

【即學即練3］如圖所示，在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=8,AC=6.若動點D從點B出發，沿線段BA運

動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度.過點D作DE〃BC交AC于點E,設動點D運動的時間為

x秒，AE的長為y.

(1)求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當x為何值時，4BDE的面積S有最大值，最大值為多少？

考法03黃金分割用

【典例6】如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片ABCD,先折出BC的中點E,再折出線段AE,

然后通過折疊使E