山東省莒縣2024年高一數學第二學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知三棱柱的底面為直角三角形，側棱長為2，體積為1，若此三棱柱的頂點均在同一球面上，則該球半徑的最小值為（）A．1 B．2 C． D．2．直線與圓相交于M，N兩點，若．則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在中，角的對邊分別是，，則的形狀為A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形4．“結繩計數”是遠古時期人類智慧的結晶，即人們通過在繩子上打結來記錄數量.如圖所示的是一位農民記錄自己采摘果實的個數.在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿四進一.根據圖示可知，農民采摘的果實的個數是（）A．493 B．383 C．183 D．1235．在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為()A． B． C． D．6．已知直線是函數的一條對稱軸，則的一個單調遞減區間是（）A． B． C． D．7．已知下列各命題：①兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面：②若真線不平行于平面，則直線與平面有公共點：③若兩個平面垂直，則一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線：④若兩個二面角的兩個面分別對應垂直，則這兩個二面角相等或互補.則其中正確的命題共有（）個A． B． C． D．8．設等比數列的前項和為，若，公比，則的值為（）A．15 B．16 C．30 D．319．如圖，在圓內隨機撒一把豆子，統計落在其內接正方形中的豆子數目，若豆子總數為n，落在正方形內的豆子數為m，則圓周率π的估算值是（）A．nmB．2nmC．3n10．已知函數（其中為自然對數的底數），則的大致圖象為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．和的等差中項為__________．12．已知數列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數列{an}的通項公式為________.13．若在上是減函數，則的取值范圍為______.14．計算：__________．15．已知直線：與直線：平行，則______.16．如圖中，，，，M為AB邊上的動點，，D為垂足，則的最小值為______；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，點是的中點，點是和的交點．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．18．某地合作農場的果園進入盛果期，果農利用互聯網電商渠道銷售蘋果，蘋果單果直徑不同則單價不同，為了更好的銷售，現從該合作農場果園的蘋果樹上隨機摘下了50個蘋果測量其直徑，經統計，其單果直徑分布在區間內（單位：)，統計的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋果中隨機抽取6個，則從，的蘋果中各抽取幾個？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個蘋果中隨機抽取2個，求這兩個蘋果單果直徑均在內的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現的頻率代表概率，若該合作農場的果園有20萬個蘋果約5萬千克待出售，某電商提出兩種收購方案：方案：所有蘋果均以5.5元/千克收購；方案：按蘋果單果直徑大小分3類裝箱收購，每箱裝25個蘋果，定價收購方式為：單果直徑在內按35元/箱收購，在內按45元/箱收購，在內按55元/箱收購.包裝箱與分揀裝箱費用為5元/箱（該費用由合作農場承擔).請你通過計算為該合作農場推薦收益最好的方案.19．某質檢機構檢測某產品的質量是否合格，在甲、乙兩廠勻速運行的自動包裝傳送帶上每隔10分鐘抽一包產品，稱其質量（單位：克），分別記錄抽查數據，獲得質量數據莖葉圖（如圖）.（1）該質檢機構采用了哪種抽樣方法抽取的產品？根據樣本數據，求甲、乙兩廠產品質量的平均數和中位數；（2）若從甲廠6件樣品中隨機抽取兩件.①列舉出所有可能的抽取結果；②記它們的質量分別是克，克，求的概率.20．某同學假期社會實踐活動選定的課題是“節約用水研究”.為此他購買了電子節水閥，并記錄了家庭未使用電子節水閥20天的日用水量數據（單位：）和使用了電子節水閥20天的日用水量數據，并利用所學的《統計學》知識得到了未使用電子節水閥20天的日平均用水量為0.48，使用了電子節水閥20天的日用水量數據的頻率分布直方圖如下圖：（1）試估計該家庭使用電子節水閥后，日用水量小于0.35的概率；（2）估計該家庭使用電子節水閥后，一年能節省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表.）21．如圖，在中，，，點在邊上，且，.（1）求；（2）求的長.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

先證明棱柱為直棱柱，再求出棱柱外接球的半徑，利用基本不等式求出其最小值.【詳解】∵三棱柱內接于球，∴棱柱各側面均為平行四邊形且內接于圓，所以棱柱的側棱都垂直底面，所以該三棱柱為直三棱柱.設底面三角形的兩條直角邊長為，，∵三棱柱的高為2，體積是1，∴，即，將直三棱柱補成一個長方體，則直三棱柱與長方體有同一個外接球，所以球的半徑為.故選D【點睛】本題主要考查幾何體外接球的半徑的計算和基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.2、A【解析】

可通過將弦長轉化為弦心距問題，結合點到直線距離公式和勾股定理進行求解【詳解】如圖所示，設弦中點為D，圓心C(3,2),弦心距，又，由勾股定理可得，答案選A【點睛】圓與直線的位置關系解題思路常從兩點入手：弦心距、勾股定理。處理過程中，直線需化成一般式3、A【解析】

先根據二倍角公式化簡，再根據正弦定理化角，最后根據角的關系判斷選擇.【詳解】因為，所以,,因此,選A.【點睛】本題考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析轉化能力，屬基礎題.4、C【解析】

根據題意將四進制數轉化為十進制數即可.【詳解】根據題干知滿四進一,則表示四進制數,將四進制數轉化為十進制數,得到故答案為:C.【點睛】本題以數學文化為載體，考查了進位制等基礎知識，注意運用四進制轉化為十進制數，考查運算能力，屬于基礎題．5、B【解析】

在三棱錐中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,進而得到三棱錐外接球的直徑，得到，利用體積公式，即可求解.【詳解】由題意知，在三棱錐中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根據球的性質，可得三棱錐外接球的直徑為，即，所以球的體積為，故選B.【點睛】本題主要考查了與球有關的組合體中球的體積的計算，其中解答中根據組合體的結構特征和球的性質，準確求解球的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.6、B【解析】

利用周期公式計算出周期，根據對稱軸對應的是最值，然后分析單調減區間.【詳解】因為，若取到最大值，則，即，此時處最接近的單調減區間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時處最接近的單調減區間是：即，此時無符合答案；故選：B.【點睛】對于正弦型函數，對稱軸對應的是函數的最值，這一點值得注意.7、B【解析】

①利用平面的基本性質判斷.②利用直線與平面的位置關系判斷.③由面面垂直的性質定理判斷.④通過舉反例來判斷.【詳解】①兩兩相交且不共點，形成三個不共線的點，確定一個平面，故正確.②若真線不平行于平面，則直線與平面相交或在平面內，所以有公共點，故正確.③若兩個平面垂直，則一個平面內，若垂直交線的直線則垂直另一個平面，垂直另一平面內所有直線，若不垂直與交線，也與另一平面內垂直交線的直線及其平行線垂直，也有無數條，故正確.④若兩個二面角的兩個面分別對應垂直，則這兩個二面角關系不確定，如圖：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F與二面角D1-DC-A的兩個半平面就是分別對應垂直的，但是這兩個二面角既不相等，也不互補．故錯誤..故選：B【點睛】本題主要考查了點、線、面的位置關系，還考查了推理論證和理解辨析的能力，屬于基礎題.8、A【解析】

直接利用等比數列前n項和公式求.【詳解】由題得.故選A【點睛】本題主要考查等比數列求和，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解析】試題分析：設正方形的邊長為2.則圓的半徑為2，根據幾何概型的概率公式可以得到mn=4考點：幾何概型.【方法點睛】本題題主要考查“體積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與體積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題題的總體積（總空間)以及事件的體積(事件空間)；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤.10、D【解析】令，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，又令，所以有兩個零點，因為，，所以，且當時，，，當時，，，當時，，，選項C滿足條件.故選C.點睛：本題考查函數的解析式和圖象的關系、利用導數研究函數的單調性；已知函數的解析式識別函數圖象是高考常見題型，往往從定義域、奇偶性（對稱性）、單調性、最值及特殊點的符號進行驗證，逐一驗證進行排除.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設和的等差中項為，利用等差中項公式可得出的值.【詳解】設和的等差中項為，由等差中項公式可得，故答案為：.【點睛】本題考查等差中項的求解，解題時要充分利用等差中項公式來求解，考查計算能力，屬于基礎題.12、【解析】

利用來求的通項.【詳解】，化簡得到，填.【點睛】一般地，如果知道的前項和，那么我們可利用求其通項，注意驗證時，（與有關的解析式）的值是否為，如果是，則，如果不是，則用分段函數表示.13、【解析】

化簡函數解析式，，時，是余弦函數單調減區間的子集，即可求解.【詳解】,時，,且在上是減函數，，，因為解得.【點睛】本題主要考查了函數的三角恒等變化，余弦函數的單調性，屬于中檔題.14、【解析】

分子分母同除以，即可求出結果.【詳解】因為.故答案為【點睛】本題主要考查“”型的極限計算，熟記常用做法即可，屬于基礎題型.15、4【解析】

利用直線平行公式得到答案.【詳解】直線：與直線：平行故答案為4【點睛】本題考查了直線平行的性質，屬于基礎題型.16、【解析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出的值，然后利用換元法求解出對應的最小值即可.【詳解】如圖所示，設，所以，根據條件可知：，所以，設，，，所以，所以，所以，所以當時，有最小值，最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用坐標法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數中的一組“萬能公式”：，.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；（2）.【解析】

(1)在中，利用中位線性質得到，證明平面.(2)直接利用體積公式得到答案.【詳解】在中，點是的中點，底面是正方形點為中點根據中位線性質得到，平面，故平面.(2)底面【點睛】本題考查了線面平行，三棱錐體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.18、（Ⅰ)4個；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】

（Ⅰ）單果直徑落在，，，的蘋果個數分別為6，12，分層抽樣的方法從單果直徑落在，，，的蘋果中隨機抽取6個，單果直徑落在，，，的蘋果分別抽取2個和4個；（Ⅱ）從這6個蘋果中隨機抽取2個，基本事件總數，這兩個蘋果單果直徑均在，內包含的基本事件個數，由此能求出這兩個蘋果單果直徑均在，內的概率；（Ⅲ）分別求出按方案與方案該合作農場收益，比較大小得結論．【詳解】（Ⅰ)由莖葉圖可知，單果直徑落在，的蘋果分別為6個，12個，依題意知抽樣比為，所以單果直徑落在的蘋果抽取個數為個，單果直徑落在的蘋果抽取個數為個（Ⅱ）記單果直徑落在的蘋果為，，記單果直徑落在的蘋果為，若從這6個蘋果中隨機抽取2個，則所有可能結果為：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的總數為15個.這兩個蘋果單果直徑均落在內包含的基本事件個數為6個，所以這兩個蘋果單果直徑均落在內的概率為.（Ⅲ）按方案：該合作農場收益為：（萬元）；按方案：依題意可知合作農場的果園共有萬箱，即8000箱蘋果，則該合作農場收益為：元，即為31.36萬元因為，所以為該合作農場推薦收益最好的方案是.【點睛】本題考查概率、最佳方案的確定，考查莖葉圖等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、（1）系統抽樣；乙廠產品質量的平均數，乙廠質量的中位數是113；甲廠質量的平均數，甲廠質量的中位數是113（2）①詳見解析②【解析】

（1）根據抽樣方式即可確定抽樣方法；根據莖葉圖中的數據，即可分別求得兩組的平均數與中位數；（