絕密★啟用前

2024年高考考前信息必刷卷04

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

全國陸續有多個省份官宣布在2024年的高考數學中將采用新題型模式。

新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單+3（多選題）+3（填空題）+5（解答題），

其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分三種得分

變為“部分選對得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變為5題，分值依次為

13分、15分、15分、17分、17分。函數和導數不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定

義的壓軸題，以新舊知識材料為主來考察考生的數學思維能力，難度較大。

從2024屆九省聯考新模式出題方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的變化在于改變以往的死

記硬背的備考策略，改變了以前套公式的學習套路，現在主要是考查學生的數學思維的靈活，對三角函數

喝數列的考察更加注重技巧的應用，統計概率結合生活情景來考查考生數學在生活中的實際應用，特別是

最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導性質，考查考生的數學學習能力和數學探索能力，這就要求考

生在平時的學習中要注重定理、公式的推導證明，才能培養數學解決這類問題的思維素養。

-：選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.現有隨機選出的20個數據，統計如下，則（）

7243954616673828282

879195898102102108114120

A.該組數據的眾數為102B.該組數據的極差為112

C.該組數據的中位數為87D.該組數據的80%分位數為102

【答案】D

【解析】將數據按從小到大的順序排列：

7,8,24,39,54,61,66,73,82,82,

82,87,91,95,98,102,102,108,114,120,

對于A,出現次數最多的是82,所以眾數是82,故A錯誤；

對于B,極差為120-7=113,故B錯誤；

對于C,20*50%=10,.,.第10個數和第11個數的平均數為中位數,

即一—82,故C錯誤；

對于D,20x80%=16,?,.第16個數和第17個數的平均數為80%分位數,

即102r2=]02,故D正確.

故選：D.

2.tan80°g的值為（）

sin80°

A.V3B.在

C.2D.4

2

【答案】D

x

tan80°-y/3_sin80°-gcos80°2(sin80°~~cos80°x

【解析】

sin80°sin80°cos80°

—x2sin80°cos80°

2

加tan80。一G4sin(80°-60°)4sin20°4sin20°

則----------=-------------=-------------=-------

sin80°sin160°sin(180o-20°)sin20°

故選：D.

TT31

3.已知。=sin—,Z?=ln-,c=-,則()

522

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

【答案】D

【解析】a=sin^>sin^=^-=c,

562

設尤)=lnx+l-尤,x>l,貝！]/'(龍)=^--<0,

故/(x)在(1,+0上為減函數，故〃x)<〃l)=0即lnx<x-l(x>l),

33

所以人=1115<5-1=0,i^a>c>b,

故選：D.

22

4.已知雙曲線C：「-*=l（“>0/>0）的左，右焦點分別為小制，點M為耳關于漸近線的對稱點.若

ab

S=2,且△叫工的面積為8,則C的方程為（）

\MF2\

Y2V2

A.x2--=1B.——y2=lC.--^=1DyL

4428416

【答案】C

【解析】記月加與漸近線區+世=0相交于點M

由題可知，ON為的中位線，且ON_Lf；M,

所以乙

因為焦點耳(-c,0)到漸近線6x+ay=0的距離比M=tj,

7ylb2+a2

22

所以閨M=2b,\F2M\=2\ON\=2yjFp-FxN=2a,

則S.=。|町||反段=2"=8,

又皿=2

又加‘即Z?=2。，

2"=8’.

聯立I)解得儲=2,〃=8,

[b=2a

22

所以c的方程為土-匕=1.

28

故選：C

5.已知(znr+y)(x+y)5的展開式中各項系數之和為-32,則該展開式中含無V的項的系數為()

A.-30B.-20C.-15D.-10

【答案】D

【解析】令x=y=l得，(m+l)-25=-32,解得機=一2,所以(一2》+,)(彳+?的展開式中含的項的系

數為-2C；+C；=-10.

故選：D.

6.已知正四棱錐P-ABCD各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4,體積為64g,則該球表面積

為()

4兀

A.9兀B.3671C.4冗D.—

3

【答案】B

p

【解析】

c

如圖，設尸在底面ABCD的射影為H,則正以，平面ABC。,

且H為AC,8。的交點.

因為正四棱錐底面邊長為4,故底面正方形的面積可為16,且A"=gx40=2夜,

2

164

i^-xPHxl6=—,故尸”=4.

由正四棱錐的對稱性可知0在直線PH上,設外接球的半徑為R,

則。”=|4一用，故六=8+(4-A)?,故尺=3,

故正四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為4x7rx9=367i,

故選：B.

rxf〃“+2,〃=2左-1，、

7.已知數列｛%｝滿足4=%=1,%+2=(左eN*),若S,為數列｛%｝的前〃項和，則$5。=()

I—,n—

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

r、[。“+2,〃=2左一1如

【解析】數列｛%｝中，%=%=1，??+2=_9,CeN*),

一cit.,n—，/c

當”=2左-1,左eN*時，an+2-an=l,即數列｛%｝的奇數項構成等差數列，其首項為1,公差為2,

25x24一

lj+tz=

貝q+a3+a5+4925X1Hx2=625,

當〃=2憶上eN*時，—=-l,即數列｛%｝的偶數項構成等比數列，其首項為1,公比為-1,

an

elx[l-(-l)25]?

a

貝I]出+&+。6++50=\=1'

1一(一1)

以S50—(%+Q3+%++〃49)+(“2+“4+“6++%0)=626.

故選：C

8.在三棱錐尸一ABC中，AB=2C，PC=1,PA+PB^4,C4-CB=2,且尸CLAB,則二面角尸-AB-C

的余弦值的最小值為()

A.正B.-C.1D.叵

3425

【答案】A

22

【解析】因為如+尸3=4=2°,所以。=2,點尸的軌跡方程為土+匕=1（橢球），

42

又因為C4-CB=2,所以點A的軌跡方程為1-產=1,（雙曲線的一支）

過點尸作WAB,ABLPC,而尸〃cPC=P，尸￡PCu面PHC,

所以人面P〃C,

設。為A3中點，則二面角。AB-C為NPHC,

所以不妨設OH=2cos6>,6?e^0,1,PH=應sin9,CH=V4cos261-1,

2222

.._TT_2sin^+4cos0-1-12cos^61-sin3

所以cos/PHC=--------1=—F----/=------/

2V2sin^A/4COS20-12v2sinOyJ4cos20-12sin^v3-4sin20

1(1—sin26^

所以cos2/P"C=--------匚-----v，令1—sin2e=1,0</<l,

2sin20(3-4sin20)

2

2/p*」(「sin詞='產>[/=2

所以cos--sin243_4sin2e)-5(l-?)(4r-l)-2『7+41：-5，

等號成立當且僅當f=：=l-sin?。，

所以當且僅當sin6=姮,cos6=?時，(cos/PHC),=也.

55V/n3

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數/（力=4011（〃次+。）（。＞0,。＜0＜兀）的部分圖象如圖所示，貝！J（）

A兀

A.。?夕A=一

6

B.的圖象過點［手,手

C.函數y=7（刈的圖象關于直線X=g對稱

D.若函數y=|〃x）|+2〃x）在區間，彳,"上不單調，則實數2的取值范圍是

【答案】BCD

TTTT5兀

【解析】A：設該函數的最小正周期為T,則有T=—=/=><27=1,

co6

即〃x)=Atan(x+0),由函數的圖象可知：^+(p=^-^>(p=^~,即〃x)=Atan

623

由圖象可知：/(O)=Atang=2gnA=2,

27r

所以。=因此本選項不正確;

1171117171,1371c7i_62^3

B：f=2tan——+—=2tan-----=2tan—=2x-^—=------

636633

所以本選項正確;

5兀[57171

C：因為了——x=2tan------xH—=|2tanx|,

(33

信+x5兀71

=2tan-----Fxd--=|2tan%|,

33

5兀

所以/——x

所以函數y=|/(無)|的圖象關于直線x=￡對稱，因此本選項正確;

D：^=|/(x)|+2/(%)=2tan[x+1]+22tan^^+

71兀兀71兀71

當XW時，y=|/(x)|+2/(x)=2tan|x+—|+2Atan|x+—|=2tan|x+—|+22tan|x+—

3763333

71

=(2+22)tanXd---

3

當,T[5一71不一71

二(-2+22)tan尤后,

57171

當函數y=|f(x)|+4/(x)在區間

~6,~6上不單調時,

貝1|有(2+2彳)(一2+2九)<0=-1<4<1,

故選：BCD

10.如圖，在正方體ABC。-A耳中，點尸是A?的中點，點。是直線C"上的動點，則下列說法正確

的是()

A.△尸BD是直角三角形

B.異面直線尸。與C2所成的角為T

C.當A3的長度為定值時，三棱錐的體積為定值

D.平面尸fiD_L平面ACR

【答案】ABC

【解析】對于A,設正方體的棱長為2,點尸是的中點，故POJLA，；

AB1平面ADD^,ADtu平面ADD^,故AB_LAQ，

貝|J8O=2忘，尸。==?PB=百+詆2=底,

貝U配＞2=尸。2+PB?，即PD_LBB,即△尸3D是直角三角形，A正確；

對于B,在正方體4BCD-ABG。中，點尸是的中點，

則直線DP即為直線AD,異面直線PD與C0所成的角即異面直線4。與C2所成的角,

由于AB"/AB〃C。，AiB=AB=CD,故四邊形4耳。。為平行四邊形，

所以%D//B\C,則NB皿即為異面直線A,D與CR所成的角或其補角，

連接BQ,則BiR=BC=CR=2^,即

故異面直線與C2所成的角為:，B正確；

對于C,設A2,a＞交于點0,則。為AC的中點，連接尸。，

則尸。為△ACDJ的中位線，故尸。//C，，POu平面PSD,CRN平面PSD,

故CD//平面pg。，

當AB的長度為定值時，CQ到平面PB￡)的距離為定值，則。到平面P6D的距離為定值,

而△尸3￡)的面積為定值，故為”皿為定值，

又三棱錐。-依。的體積/故三棱錐的體積為定值，C正確；

對于D,以。為坐標原點，以DADCDA所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

則D(0,0,0),B(2,2,0),P(l,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),D,(0,0,2),

則DP=(1,0,1),￡)8=(2,2,0),AC=(-2,2,0),ADt=(-2,0,2),

m?DP=x+z=0

設平面P3D的法向量為m=(%,y,z)，則

m-DB=2x+2y=0

令x=1,貝!J機=(1,—1,一1)；

n?AC=-2a+2Z?=0

設平面的法向量為〃=(。也。)，貝人

n?ADl=-2a+2c=0

令a=l,貝lj〃=；

則機?〃=1—1-1=-IwO,即九〃不垂直,

故平面PBD和平面AC。1不垂直，D錯誤,

故選：ABC.

11.已知函數〃耳=0出+1)11112￡|-e*+l恰有三個零點，設其由小到大分別為和%，%，則()

A.實數0的取值范圍是

B.再+工2+%3=°

C.函數g(x)=/(x)+^(f)可能有四個零點

D小)餐

廣㈤

【答案】BCD

【解析】對于B,"x)=0oaln(Ff)+*=0,

設“x)=aln[t￡]+f1,則它的定義域為(-1,1),它關于原點對稱，

=+=_+=,所以妝x)是奇函數，

由題意〃(x)=0有三個根士，工2，尤3，則%+/+%=。，故B正確;

對于C,

LL」.(1+Al-ex

所以〃In1-―-I+=0,

ex(l+ex)

1+Xl-exk?l-ex

所以41nH------=—aInH-----------

1-xex+lexex+l

1+xl-ex1-：）=0已經有3個實根網,々/3,

即a\nH-----------

1-xex+l

海>°時’令1-品則只需保證1位國,“可使得方程有4個實根，故C正確;

由B可知，%=一無3，而C=e*。-（w）=e*尸（-無3）,

號一.巧0=如公+代+1）金一1,

又尸(x)=adIn+a(+1

1-x

所以尸(尤3)=ae*lnpm+?+—

1—X,

e-+1)In卜一e-+1=e%-J),故D正確;

=e

l-x3

l-QX1+X

對于A,“In設。(x)=aln

1-x皿加3,

貝…卜呂，加(%)=-----5,所以p'⑼=2a,加（0）=；,

e'+l

從而0<2。<不0<〃<:，故A錯誤.

24

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.已知正數x,y滿足x+y=6,若不等式。—恒成立，則實數a的取值范圍是

x+1y+2

【答案】（-8,4]

【解析】因為x+y=6,

22

所以公工+工(x+l)-2(.x+l)+l+(y+2)-4(y+2)+4

x+1y+2x+1y+2

4,c14

=x+l+—--2+y+2+----4=3-1------1----

x+1y+2x+1y+2

14

所以"3+-1+再3+、+i+y+2」+」

9x+1y+2

=382+昌y+2+4段(x+l)=3+22為2=4,等號成立當且僅當y=4,x=2,

所以［?）+號］=4,實數。的取值范圍是（-8,4］.

V/^min

13.已知正三棱柱ABC-A與G的底面邊長為2,以A為球心、百為半徑的球面與底面ABC的交線長為叵,

則三棱柱ABC-的表面在球內部分的總面積為

13兀36

【答案】----1----

84

【解析】記以4為球心，石為半徑的球面與底面ABC的交線半徑為小正三棱柱的高為人，

則3x2〃=退，且d+后=3,解得廠=1,h",

6622

可知：底面MC在球4內部分是以半徑為了，圓心角為:的扇形，面積為3耕@2三,

底面ABC在球A內部是以半徑為立，圓心角為￡的扇形，面積為=J,

2323（2）8

側面AA4B在球4內部分如圖（陰影部分）所示，

因為A4,=T，AM=￥，AM=AN=6，可知N44M=；,

所以面積為2x（扃旦工+”，

23\,22228

同理側面A41cle在球4內部分面積為a+主叵，

28

顯然側面BB&C與球A不相交，

所以三棱柱ABC-的表面在球內部分的總面積為2xg++g=+

oJo2o4

故答案為：—.

84

14.已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項是2°，接下來的兩項是2°,21,

再接下來的三項是2。,2；22,依此類推，若該數列的前〃項和為%若log2（S“）wZ,〃eN*,則稱（"，。式邑））

為“好數對”，如1唱（鳥）=1暇2°=0,1幅（邑）=1嗨21=1,則（1,0）,（2,1）都是“好數對”，當心66時，第

一次出現的“好數對”是.

【答案】（95,14）

【解析】若log2（S“）eZ/eN*,則S“為2的整數塞，將數列排成如下形式：

第％行為2°,,21,第無行的和為二（I一叫=2J1，

1-2

該數列前1+2+3++左=%（%+1）項的和為$碎+i）=（2-）+（22-1）++（27）=2小-"2,

22

令如士D266,則女211,此時-左-2可用以2為底的整數幕表示，

2

當1+2-左-2=0時，有A=1,此時共有1'（"1+2=3項,不滿足總項數“266；

2

當1+2+4—左一2=0時，有左=5,止匕時共有5.（1+5）+3=18項,不滿足總項數“266；

2

當1+2+4+8—上一2=0時，有左=13,此時共有13x0+1*+4=95項,滿足總項數”266；

2

所以"的最小值為0+；）X13+4=95,此時S95=2'log2（S95）=14,

所以當66時，第一次出現的“好數對”是（95,14）,

故答案為：（95,14）.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）設〃eN*,有三個條件：①凡是2與S”的等差中項；②％=2,S向=q（S“+1）；③S“=2角-2.在

這三個條件中任選一個，補充在下列問題的橫線上，再作答.（如果選擇多個條件分別作答，那么按第一

個解答計分）

若數列｛風｝的前n項和為S,,且_____.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

⑵若｛風力“｝是以2為首項，4為公差的等差數列，求數列也“｝的前〃項和，.

【解析】（1）選條件①時，由于。“是2與S”的等差中項；

所以2a,=2+S,,①

當”=1時，解得q=2；

當”..2時，2a,T=2+S,T②，

①一②得：2ali-2%=%,，

整理得4=247，

所以數列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數歹U；

所以a“=2x2"T=2"（首項符合通項），

所以。"=2”；

選條件②時，由于4=2,Sn+i=%（S“+1）；

所以：Sn+i=2Sn+2,①，

當*2時,S,=2SR+2,②,

①一②得：4+1=2。“，

所以數列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數歹U；

故%=2x2i=2"（首項符合通項），

所以2=2"；

選條件③時，因為S“=2向-2,

所以當”=1時，?1=S]=22-2=2

當〃22時，an=Sn-Sn_}=-2-(2"-2)=2"

因為〃=1時也滿足。,=2"，

所以a.=2"

（2）若僅也」是以2為首項，4為公差的等差數列,

所以為2=2+(〃-1)義4=4〃-2,

4?-2

所以勿

2"

26104〃-2

故八萬+三+井…+丁①,

126104〃—2

2"~2r+2^+2i+'"+2"+1②,

1x(1-

與=1+：+-.+工安4M-2

①一②得:=1+

2'222"2"+,2"+1

2

整理得（=6-安?

16.（15分）在某數字通信中，信號的傳輸包含發送與接收兩個環節.每次信號只發送0和1中的某個數

字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數字有可能出現錯誤，已知發送信號。時，接收為。和1的概率分

別為a(O<a<l),1-a；發送信號1時，接收為1和。的概率分別為尸(0〈尸.假設每次信號的

傳輸相互獨立.

(1)當連續三次發送信號均為0時，設其相應三次接收到的信號數字均相同的概率為了(。)，求了(。)的最小

值；

(2)當連續四次發送信號均為1時，設其相應四次接收到的信號數字依次為4％，無3,無4,記其中連續出現相同

2

數字的次數的最大值為隨機變量X(冷馬，%3,無4中任意相鄰的數字均不相同時，令X=1),若￡=§，求X

的分布列和數學期望.

【解析】(1)由題可知/'((z)=a3+(i一￡)3=3々2一3夕+1=3]&一；)+；,

因為0<&<1,所以當a=g時，/(e)的最小值為;.

(2)由題設知，X的可能取值為1,2,3,4.

①當X=1時，相應四次接收到的信號數字依次為0101或1010.

m,,”八212112128

因止匕，P(X_1)__X—X_X----1----X_x_x__—,

v,3333333381

②當X=2時，相應四次接收到的信號數字依次為0010,或0100,或1101,或1011,或1001,或0110,

或1100,或0011.

2|221

212^(114

因此，P(X=2)=x—x—x2+—x—x—x2+

3333I339

③當x=3時，相應四次接收到的信號數字依次為ino,或oni,或oooi,或IOOO.

因此，p(x=3)=f-1x-x2+-xf->|x2=—

\3)33\3J81

④當X=4時，相應四次接收到的信號數字依次為0000,或1111.

因此，P(X=4)

所以X的分布列為

X1234

842017

P

8198181

Qqon17OHO

因此，X的數學期望E（X）=1X9+2XJ+3X?+4X9=$.

oloololol

17.（15分）已知點尸、A、B是拋物線C:/=4y上的點，且A4_LP3.

（1）若點尸的坐標為（2,1）,則動直線A3是否過定點？如果過定點，請求出定點坐標，反之，請說明理由.

⑵若|酬=|冏，求.RW面積的最小值.

【解析】（1）解:設直線ABIx軸，則直線A3與拋物線C有且只有一個交點，不合乎題意.

設直線A2的方程為＞=云+"設點A（X[,%）、3（%,%）,則占片2且無2*2,

y=kx+b

聯立可得尤2—4kx—4b=0，A=16嚴+16。＞0，

無2=4y

由韋達定理可得占+無2=4左，XjX2=-4b,

AP=（占一2,%-1）=[司一2,^^],同理=

=（x「2f「2）.[i6+a+2）（x2+2）]=0,

所以，占X?+2（占+/）+20=—46+8%+20=0,可得b=2左+5,

故直線AB的方程為丫=履+2左+5=左（了+2）+5,

因此，直線A3過定點（-2,5）.

（2）解：由（1）可知，直線的斜率存在，且直線的方程為丫=狂+以記線段A3的中點為點

①當上=0時，則A、5關于y軸對稱，此時線段AB的垂線為y軸，

因為|上4|=|尸到，則點P為坐標原點，又因為心，尸3,貝LE4B為等腰直角三角形，

[y=xfx=Ofx=4

則鉆的兩腰所在直線的方程為y=土光，聯立I,,解得八或一

[x=4y[y=0[y=4

i2

此時，|=J=AM。+4。=46.,S^PAB==16；

②當上HO時，2k,汽匹=h與三+6=2公+6,即點M（2左,242+6）,

因為=|尸固，貝

X%1X

設點9（飛，兒），其中X。/再且X。/馬，AP={x0-xv04j,BP=[xQ-x2,°j,

由已知可得AP.BP=(x0-x^x0

=伉一?『。72)[d+xJ(x0+%)+16]=0,

所以，無;+/)+引9+16=%+4&-48+16=0,貝!|b=%+Axo+4,

2K+6-%。可得6=%-232+字,

直線加的斜率為原"=

2k—X。

所以,2左(左~+3)+(左~—l)x0=0,當A=±1時，等式2人(42+3)+(左-—I)%=0不成立,

5%',

所以,

42儼+3丫2公儼+3)

所以,/?=今+5+4,貝U%2+匕=a2++4

k2-1

F(F-I)。+/儼+3)2-2P(k2+3)(F-l)+4(fc2-l)24伊+爐

伍2一1丫(獷-1)-

16(3+1)3

故襄.=；同卜。|明=4①+1)儼+4=,,/,2左4+2左一+1.

=16fc-+l----------->16.

()k4-2k2+l

綜上所述，S△叩N16.

因此，B4B面積的最小值為16.

18.(17分)已知函數/(x)=a(x—l)e*+i—2xlnx-尤2(°cR).

(1)當a=0時，求函數在區間［r,1］上的最小值;

(2)討論函數/(尤)的極值點個數；

(3)當函數〃x)無極值點時，求證：asin—>^.

2a7i

【解析】(1)當〃=0時，/(x)=-2xlnx-x2,

則f(x)--2^1-lnx+x--^-2%=-2(lnx+x+l),

令g(x)=/(x),貝!Jg，(尤)=-21：+l),

因為xe［e-2,l］,所以g，(x)<0.則g(x)在［e』l］上單調遞減，

又因為:(b2)=2(1-片2)>0"")=-4<0,

所以現?廠,1)使得廣優)=0,/(可在『,不)上單調遞增，在5,1)上單調遞減.

因此，〃尤)在［r,1］上的最小值是八曉)與/⑴兩者中的最小者.

因為f(e2)=4e-2_€-=片2(4一片2)>0,/(1)=_1,

所以函數〃尤)在［小,1］上的最小值為t.

(2)尸(x)=a［Le*M+(x-l)ex+1^-2^1-lnx+%--J-2x=oxex+1-2(lrLr+x+l),

由r(x)=。，解得1=2(1-；：+1)=2(1晨:：+l),

易知函數，=Inx+X+1在(0,+8)上單調遞增，且值域為R,

力

令lnx+x+l=/,由/'(%)=0,解得〃=

設為⑺=［,則/⑺

因為當.<1時，當，>1時，所以函數可/)在(-8,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減.

22

根據/z(l)=—,f—>一。時，/z(x)—>-oo,limh(t)=lim—=0,

得〃?)的大致圖像如圖所示.

因此有：

(i)當時，方程力(。=。無解，即尸(力無零點，“X)沒有極值點；

(ii)當“=