2023-2024學年九年級上冊第三單元圓B卷?能力提升卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。1．（2023春?淅川縣期末）下列圖形分別繞某個點旋轉(zhuǎn)120°后不能與自身重合的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、等邊三角形繞它的中心旋轉(zhuǎn)120°能與本身重合，本選項不符合題意．B、圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度能與本身重合，本選項不符合題意．C、這個圖形繞中心性質(zhì)120°能與本身重合，本選項不符合題意．D、五角星繞中心旋轉(zhuǎn)72°與本身重合，本選項符合題意．故選：D．2．（2023?芙蓉區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BAC＝36°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．36° B．45° C．54° D．72°【答案】C【解答】解：如圖，連接BC．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故選：C．3．（2023?高平市一模）如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝8，∵AD∥BO，∴∠OAD＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∵△OAD與△ABD與△AOB是等底等高的三角形，∴S陰影＝S扇形AOB＝＝π．故選：B．4．（2023?城廂區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AED，點B的對應點是點E，連接CD，若AE⊥CD，則旋轉(zhuǎn)角是（）A．25° B．30° C．45° D．50°【答案】D【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△AED，∠BAC＝25°∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，∵AE⊥CD，AD＝AC，∴∠DAE＝∠CAE＝25°，∴∠DAC＝25°+25°＝50°，即旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是50°，故選：D．5．（2023?南溪區(qū)二模）如圖，已知點C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點，弧CD的長為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接OC、OD、CD．∵C，D是以AB為直徑的半圓周的三等分點，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，∵弧CD的長為，∴＝π，解得：r＝1，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△OCD是等邊三角形，在△OAC和△OCD中，，∴△OAC≌△OCD（SSS），∴S陰影＝S扇形OCD＝＝．故選：A．6．（2023?蚌山區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，點P為矩形內(nèi)一動點，且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為（）A．5 B．1 C．2 D．3【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴點P在以BC為直徑的⊙O上，連接OD交⊙O于P′，連接OP、PD，如圖，∵PD≥OD﹣OP（當且僅當O、P、D共線時，取等號），即P點運動到P′位置時，PD的值最小，最小值為DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴線段PD的最小值為1．故選：B．7．（2023?三亞一模）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABO的頂點B在x軸的正半軸上，∠ABO＝90°，點A的坐標為，將△ABO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B的對應點B′落在邊OA上，連接A、A′，則線段AA′的長度是（）A．1 B．2 C． D．2【答案】B【解答】解：∵A（1，），∠ABO＝90°，∴OB＝1，AB＝，∴tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，∵OA＝OA′，∴△ABC是等邊三角形，∴AA′＝OA＝2OB＝2，故選：B．8．（2022春?云夢縣期中）如圖，矩形ABCD的兩邊BC、CD分別在x軸、y軸上，點C與原點重合，點A4（﹣1，2），將矩形ABCD沿x軸向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾點A對應點記為A1，經(jīng)過第二次翻滾點A對應點記為A2．…，依此類推，經(jīng)過3次翻滾后點A對應點A3的坐標為（）A．（5，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，0）【答案】D【解答】解：如圖，A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），故選：D．9．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，3）、B（3，0），以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P．連接AP，若點C為AP的中點，連接OC，則OC的最小值為（）A．1 B．2﹣1 C． D．﹣1【答案】D【解答】解：當點P運動到AB的延長線上時，即如圖中點P1，C1是AP1的中點，當點P在線段AB上時，C2是中點，取C1C2的中點為D，點C的運動路徑是以D為圓心，以DC1為半徑的圓（CA：PA＝1：2，則點C軌跡和點P軌跡相似，所以點C的軌跡就是圓），當O、C、D共線時，OC的長最小，設(shè)線段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，∴AB＝3，∵⊙B的半徑為2，∴BP1＝2，AP1＝3+2，∵C1是AP1的中點，∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，∵C2是AQ的中點，∴AC2＝C2Q＝﹣1，C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半徑為1，∵AD＝﹣1+1＝＝AB，∴OD＝AB＝，∴OC＝﹣1，方法二：如圖，取A′（0，﹣3），連接PA′．根據(jù)三角形中位線定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解決問題．故選：D．10．（2021?永嘉縣校級模擬）如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，過點A作BC的平行線l，P為直線l上一動點，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點，則AE的最小值為（）A． B．7﹣4 C． D．1【答案】D【解答】解：如圖，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運動，連接O'A交于E′，此時AE′的值最小．此時⊙O與⊙O'交點為E'．∵∠BE'C＝120°∴所對圓周角為60°，∴∠BOC＝2×60°＝120°，∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，∴O′B＝O′C＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A＝＝5，∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故選：D．填空題(本題共6題,每小題3分，共18分）。11．（2013?湖州模擬）如圖，將一塊含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A1BC1的位置，若AB＝8cm，那么點A旋轉(zhuǎn)到A1所經(jīng)過的路線長為6πcm（結(jié)果保留π）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵點A旋轉(zhuǎn)到A1所經(jīng)過的路線長是以點B為圓心，AB為半徑，旋轉(zhuǎn)角度是180﹣45＝135°，∴根據(jù)弧長公式可得：＝6πcm．故填空答案：6π．12．（2023?南召縣模擬）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，且點P到點A、B、C的距離分別為2、1、，則正方形ABCD的面積為13．【答案】13．【解答】解：將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得△CBE，連接PE，過點B作BH⊥PE于H，∴BP＝BE，∠PBE＝90°，∠APB＝∠CEB，AP＝CE，∴△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝，∵PE2+CE2＝（）2+（2）2＝10，PC2＝（）2＝10，∴PE2+CE2＝PC2，∴∠PEC＝90°，∴∠BEC＝∠APB＝135°，∴∠APB+∠BPE＝135°+45°＝180°，∴點A、P、E三點共線，∵PE＝，∴PH＝BH＝，∴AH＝AP+PH＝，在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2＝BH2+AH2＝（）2+（）2＝13，∴正方形ABCD的面積為：13．故答案為：13．13．（2023春?蘇州期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為25．【答案】25．【解答】解：過A作AD⊥A1B于D，如圖：在△ABC中，AB＝10，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝10，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∵AD⊥A1B，∴AD＝AB＝5，∴S△A1BA＝×10×5＝25，又∵S陰影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，∴S陰影＝S△A1BA＝25，故答案為：25．14．（2023?廣西模擬）已知以AB為直徑的圓O，C為AB弧的中點，P為BC弧上任意一點，CD⊥CP交AP于D，連接BD，若AB＝6，則BD的最小值為3﹣3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ，則∠AQC＝90°，連接AC，BC，BQ．∵⊙O的直徑為AB，C為的中點，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴點D的運動軌跡為以Q為圓心，AQ為半徑的，又∵AB＝6，C為的中點，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝3，∴△ACQ中，AQ＝3，∴BQ＝＝3，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值為3﹣3．故答案為3﹣315．（市北區(qū)校級自主招生）如圖，AB是圓O的直徑，AB＝8，點M在圓O上，∠MOB＝60°，N是的中點，P為AB上一動點，則PM+PN的最小值是4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作點M關(guān)于AB的對稱點M'，連接NM'，交AB于點P，此時PM+PN有最小值，連接ON，OM，則OB垂直平分MM'，，∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，∵N是的中點，∴，∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，∵AB＝8，∴ON＝OM'＝4，在等腰Rt△ONM'中，NM'＝ON＝4，∵MP＝M'P，∴MP+NP＝M'N＝4，故答案為：4．16．（2022秋?龍巖期中）如圖，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的兩個頂點C、A分別在OM，ON上移動，若AC＝6，則點O到AC距離的最大值為3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作△AOC的外接圓⊙P，過點P作PQ⊥AC與Q，延長QP⊙P于O'，連接PA、PC．當點O在圓周上運動到點O'，即點O與O'重合時，點O到AC距離最大．∵∠MON＝45°，∴∠CO'A＝45°，∴∠CPA＝90°，∵PQ⊥AC，∴QA＝QC＝AC＝3，∴PQ＝AC＝3，PA＝QA＝3，O'P＝AP＝3，∴O'Q＝O'P+PQ＝3+3．故答案為3+3．三、解答題（本題共5題，共52分）。17．（10分）（2023?廬陽區(qū)一模）已知直線a和直線外的兩點A、B，經(jīng)過A、B作一圓，使它的圓心在直線a上．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：作圖如右：18．（10分）（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于點E，BD交CE于點F．（1）求證：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半徑及CE的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中點，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半徑為5，∵S△ABC＝AB?CE＝BC?AC，∴CE＝＝＝．19．（10分）（2023?迎澤區(qū)校級一模）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）連接OA，由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）連接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施．20．（10分）（2023?杭州二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點F是CD延長線上的一點，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于點E．（1）求證：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：過點A作AG⊥BD，垂足為點G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．21．