第四節空間中的垂直關系內容索引必備知識·自主學習核心考點·精準研析核心素養測評【教材·知識梳理】1.直線與平面垂直(1)定義：直線l與平面α內的_____一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.任意(2)判定定理與性質定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條_____直線垂直，則該直線與此平面垂直

性質定理垂直于同一個平面的兩條直線_____

相交平行2.直線和平面所成的角定義：一條斜線和它在平面上的_____所成的___________叫做這條直線和這個平面所成的角.范圍是_______.射影銳角或直角3.平面與平面垂直(1)二面角：從一條直線出發的___________所組成的圖形叫做二面角；在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作_________的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.(2)定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是_________，就說這兩個平面互相垂直.兩個半平面垂直于棱直二面角(3)判定定理與性質定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的_____，則這兩個平面垂直

性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于_____的直線與另一個平面垂直

垂線交線【常用結論】1.若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.2.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.3.三垂線定理在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.4.三垂線定理的逆定理在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直,則l⊥α.()(2)若兩平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.()(3)若直線a⊥平面α,直線b∥α,則直線a與b垂直. ()(4)若α⊥β,a⊥β,則a∥α. ()(5)若兩平面垂直,則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.()(6)如果兩個平面所成的二面角為90°,則這兩個平面垂直.()提示:(1)×.直線l與平面α內的任意一條直線都垂直,則l⊥α.(2)√.(3)√.(4)×.若α⊥β,a⊥β,則a∥α或a?α.(5)×.若兩平面垂直,則其中一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.(6)√.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1證明線面垂直時忽視平面上的兩條直線相交考點一、T3考點三、角度12證明面面垂直時找錯直線考點一、T3,43應用面面垂直的性質定理時忽視與交線垂直考點三、角度24線面角、二面角概念混淆致誤考點二、T1,2【教材·基礎自測】1.(必修2P55練習AT3改編)已知平面α,β,直線l,若α⊥β,α∩β=l,則()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直線lD.垂直于直線l的平面一定與平面α,β都垂直【解析】選D.A中平面可與α平行或相交,不正確.B中直線可與α有各種線面關系,不正確.C中平面可與直線l平行或相交,不正確.2.(必修2P56習題1-2AT11改編)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則 ()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解析】選C.由題意知,α∩β=l,所以l?β,因為n⊥β,所以n⊥l.3.(必修2P57習題1-2BT9改編)在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,則圖中直角三角形的個數是________.

【解析】因為∠ABC=90°,故△ABC是直角三角形;因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,故△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形.答案:44.(必修2P57習題1-2BT8改編)在三棱錐P-ABC中,點P在平面ABC中的射影為點O.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是△ABC的________心.

【解析】如圖,延長AO,BO,CO分別交BC,AC,AB于點H,D,G.因為PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,所以PC⊥AB,因為AB⊥PO,PO