第9章9.2向量運算向量的數量積(1)平面向量內容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1．通過物理中功等實例，理解平面向量數量積的概念及物理意義，會計算平面向量的數量積．2．了解平面向量的投影向量的含義．活動方案活動一掌握平面向量的數量積1．平面向量數量積的引入：(1)向量的運算有向量的加法、減法、數乘，那么向量與向量能否“相乘”呢？【解析】

能(2)一個物體在力F的作用下發生了位移s，那么該力對此物體所做的功為多少？(在物理中這個問題是如何解決的？)【解析】

設力F與位移s的夾角為θ，則F所做的功W應為W＝|F||s|cosθ.2．向量數量積的概念：【解析】

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，我們把數量|a||b|cosθ叫作向量a與b的數量積，記作a·b.思考???實數與向量的積與向量的數量積的區別是什么？【解析】

實數與向量的積是向量，向量的數量積是實數．活動二掌握平面向量數量積的有關概念例1判斷下列敘述的正誤，并簡要說明理由．①a·0＝0；②0·a＝0；③a·b＝|a|·|b|；④若a≠0，則對任一非零向量b，有a·b≠0；⑤若a·b＝0，則a與b至少有一個為0；⑥對任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑦若a與b是兩個單位向量，則a2＝b2.【解析】

a·0＝0，故①②錯誤；a·b＝|a||b|cosθ(a，b均為非零向量，θ是a與b的夾角)，故③錯誤；設a與b的夾角為θ，a與b均為非零向量，當cosθ＝0時，a·b＝0，故④⑤錯誤；向量的數量積不滿足結合律，故⑥錯誤；⑦正確．兩個平面向量的數量積是一個全新的運算，最后的結果是一個實數，它是由兩個向量的模與兩個向量夾角的余弦值相乘所得的結果，所以最后的值由3個量決定．若向量a∥b，且a·b＝0，則一定有______．(填序號)①a＝0；②b＝0；③a＝b＝0；④a＝0或b＝0.【答案】

④活動三掌握平面向量數量積的運算及應用例2已知向量a與向量b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3，分別在下列條件下求a·b：(1)θ＝135°；(2)θ＝60°；【答案】

3(3)a∥b；【答案】

6或－6(4)a⊥b.【答案】

0在求兩個向量的數量積時，只要知道兩個向量的模以及它們夾角的大小．注意兩個向量平行時，夾角可能為0°，也可能為180°.兩個向量的夾角，應該是把它們平移到同一個起點，否則容易搞錯夾角的大小．活動四了解平面向量的投影向量的意義例4已知|a|＝6，e為單位向量，當向量a，e的夾角θ分別等于45°，90°，135°時，求向量a在向量e上的投影向量．投影向量也是向量，相當于一個向量在另一個向量方向上的分解．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，且與向量a，向量b的同方向的單位向量分別為e1和e2.(1)向量a在向量e2方向上的投影向量為________；(2)向量b在向量e1方向上的投影向量為________．【答案】

－2e1檢測反饋123451．(2022·泉州期末)已知向量a，b滿足|a|＝2|b|＝2，且a·b＝1，則a與b的夾角為 (

)【答案】

C12345【答案】

B123453．

(多選)(2023·南京大學附屬中學月考)蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成，巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，則下列說法中正確的是

(

)

1234512345【答案】

BCD1