第頁2024年陜西省普通高中學業水平合格性考試模擬一數學一、單選題：本大題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題列出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設x∈R，則“|x－1|<1”是“0<x<5”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．人的心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數120/80mmHg為標準值．若某人的血壓滿足函數式p(t)=102+24sin(160πt)，其中p(t)為血壓(單位：mmHg)，t為時間(單位：min)，則下列說法正確的是()A．收縮壓和舒張壓均高于相應的標準值B．收縮壓和舒張壓均低于相應的標準值C．收縮壓高于標準值，舒張壓低于標準值D．收縮壓低于標準值，舒張壓高于標準值3．直線eq\r(3)x＋3y－2＝0的傾斜角是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)4．記Sn為等差數列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n5．已知不重合的兩條直線m，n和兩個不重合的平面α，β，則下列選項正確的是（）A．若m∥n，m∥α且α∥β，則n∥βB．若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則mC．若m⊥n，m⊥α且n∥β，則α∥βD．若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m6．已知函數fx=x2?mx?2m2．若不等式fxA．2B．-2C．3D．-37．已知a>b>0，給出下列命題：①若a?b=1，則a?b<1；②若a3?b3=1，則a?b<1；③若ea?A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數f(x)=sinA．fx的最小正周期為πB．fx的0,C．fx的最小值為 D．圖象的一條對稱軸方程為x=π二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對得1分，有選錯的得0分。）9．已知向量，則（

）A．，則 B．C．與的夾角正弦值為 D．向量在向量上的投影向量為10．下列結論中，正確的有（

）A． B．C． D．11．已知正方體的棱長為2，點O為的中點，若以O為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個交點E，F，G，H，則下列結論正確的是（

）A．平面B．與EH所成的角的大小為45°C．平面D．平面與平面OEF所成角夾角的余弦值為12．設函數f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,下列說法正確的是()A.函數f(x)為偶函數 B.當x∈[1,+∞)時,有f(x-2)≤f(x)C.當x∈R時,f(f(x))≤f(x) D.當x∈[-4,4]時,f(三、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。溫馨提示：請在答題卡上作答，在本試卷上作答無效。）13．口袋內裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球，其中有45個紅球；從中摸出1個球，若摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為．14．已知x>0，y>0，x+2y=6，則2x+115．已知向量a=λ,?1,b16．已知點O0,0,OA=?1,1,OB=3,3四、解答題(本大題共3小題,共36分)17．(本小題滿分12分)已知函數f(x)=2sinxcosx+cos2x-sin2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)當x∈[0,π218．(本小題滿分12分)如圖,在三棱錐PABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點,已知PA⊥AC,AB⊥BC,且PA=6,AB=BC=8,DF=5.(1)求證:平面DEF⊥平面ABC;(2)求直線PB與平面PAC所成角的正弦值.19．(本小題滿分12分)已知函數f(x)=ax-q·a-x(a>0,且a≠1)是定義域為R的奇函數,且f(1)=32(1)求q的值,并判斷和證明f(x)的單調性;(2)是否存在實數m(m>2且m≠3),使函數g(x)=log(m-2)[a2x+a-2x-mf(x)+1]在[1,2]上的最大值為0?如果存在,求出實數m所有的值;如果不存在,請說明理由;(3)是否存在正數k(k≠1),使函數(x)=ka2x+【參考答案】1．D解析：由|x－1|<1可得0<x<2，由0<x<2能推出0<x<5，由0<x<5推不出0<x<2，故“|x－1|<1”是“0<x<5”的充分而不必要條件．或由(0，2)(0，5)得出結論．故選A．2．C解析：收縮壓=p(t)max=102+24=126；舒張壓=p(t)min=102-24=78．故選C．3．D解析：直線的斜率為k＝－eq\f(\r(3),3)，設傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6)．故選D．4．A解析：設公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))故an＝2n－5，Sn＝eq\f(（2n－5－3）·n,2)＝n2－4n．故選A．5．B解析：對于A，當m∥n，m∥α且α∥β，則n可能在β內，故A錯誤．對于B，因為m⊥α，故在m上可取m作為α的法向量，同理在n上可取n作為β的法向量，因為α⊥β，故m?n=0，即得m⊥n，故B正確．對于C，當m⊥n，m⊥α且n∥β時，α,β可能相交，也可能平行，故C錯誤．對于D，當m∥α，n⊥β且α⊥β時，m,nB．6．C解析：fx<x+k，即根據題意：?2+6=m+1?2×6=?2m2?k，解得D．7．B解析：①若a?b=1，則，，則，即①錯誤；若a3?b3=1，則，即，因為a>b>0，所以a即，即a?b<1，所以②正確；若ea?eb=1，則，因為b>0，即，所以a?b<1，即③正確；④取a=e，b=1，滿足，但a?b>1，所以④錯誤；所以真命題有②③B．8．D解析：∵f(x)=sinx+cosx對B，由x∈[0,π2]，得x+π4∈[π4,3π4]，則f(x)在[0,π2]上先增后減，故BD．9．ACD【分析】求出即可判斷A；根據平面向量共線的坐標表示即可判斷B；求出兩向量夾角的余弦值，從而可判斷C，根據投影向量的計算公式計算即可判斷D.【詳解】解：對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，因為，所以與不平行，故B錯誤；對于C，，則，所以與的夾角正弦值為，故C正確；對于D，向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.10．AD【分析】根據誘導公式逐項分析即得.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD.11．ABD【分析】首先根據球的性質、勾股定理說明E，F，G，H分別是正方體棱的中點，再根據線面平行的判定定理、異面直線所成角的求法、線面垂直的性質以及二面角的定義、等腰三角形進行判斷.【詳解】在正方體中，平面，又平面，所以，在中，，又正方體的棱長為2，點O為的中點，所以，又，設，所以，即H是正方體棱的中點，同理可證，E，F，G分別是棱，，的中點.對于選項A，因為G，H分別是棱、的中點，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于選項B，因為，所以與EH所成的角即為，因為E，H分別是棱、的中點，大小為45°，故B正確；對于選項C，因為E，H分別是棱、的中點，所以，因為G，H分別是棱、的中點，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C錯誤；對于選項D，取EF、GH的中點I、Q，連接OI、QI、QO，因為OF=OE，所以，同理可證，所以即為平面與平面OEF所成角的平面角，根據勾股定理有：，，，所以在等腰中有：.所以平面與平面OEF所成角夾角的余弦值為，故D正確.故選：ABD.12．ABC由題設,f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|}=|所以其函數圖象如圖所示.由圖知,f(x)為偶函數,A正確;當x=1時,f(-1)=f(1);當x∈(1,2)時,f(x-2)<f(x);當x=2時,f(0)=f(2);當x∈(2,3)時,f(x-2)<f(x);當x=3時,f(1)=f(3);當x∈(3,+∞)時,f(x-2)<f(x),故B正確;當x∈{0,1,2,3}時,f(f(x))=f(x);當x∈(0,1)時,0<f(x)<x<1,易知f(f(x))=f2(x)<f(x);當x∈(1,2)時,0<f(x)<1<x<2,當x∈(2,3)時,0<f(x)<1<2<x<3,均有0<|x-2|<1,則f(f(x))=(x-2)2<f(x)=|x-2|;當x∈(3,+∞)時,1<f(x)<x,則f(f(x))=||x-2|-2|<f(x)=|x-2|;所以f(f(x))≤f(x)在x∈[0,+∞)上恒成立,根據偶函數的對稱性,在(-∞,0)上f(f(x))≤f(x)也成立,故C正確;在x∈[-4,4]上,當x=4時,|f(4)-2|=|2-2|=0<f(4)=2,故不成立,故D錯誤.13．0．32【詳解】試題分析：因為摸出白球的概率是0．23，所以由古典概型概率公式，知白球的個數為100×0．23=23，所以黑球的個數為100?23?45=32，所以摸出黑球的概率為32100考點：古典概型．14．4【解析】由x+2y=6，得x6+y【詳解】解：由x+2y=6，得x6所以2==23+2y3x所以2x+1故答案為：415．2【分析】利用向量垂直的坐標表示即可得解．【詳解】因為a=所以2λ?1×4=0，解得λ=2．故答案為：2．16．1,2【分析】根據題意，得到OP=【詳解】由題意知，點O0,0，且OA因為點P是線段AB中點，可得OP=所以點P的坐標為1,2．故答案為：1,2．17．解:(1)f(x)=4cosxsin(x+π6)-1=4cosx(32sinx+23sinxcosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6所以f(x)的最小正周期T=π.由題意2x+π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2-π12,k∈Z,所以f(x)對稱中心為((2)因為-π6≤x≤π4,所以-π3≤2x≤π2,所以-π6所以當2x+π6=-π即x=-π6時,f(x)min=-1;當2x+π6=π2,即x=π18．(1)證明:取AB1的中點K,連接A1B,因為四邊形ABB1A1為長方形,所以K為A1B的中點,因為D為BC的中點,連接KD,所以KD∥A1C,又因為KD?平面AB1D,A1C?平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.(2)解:在直三棱柱中,CC1⊥平面ABC,因為AD?平面ABC,所以CC1⊥AD,又因為CE⊥AD,CC1∩CE=C,所以AD⊥平面CC1E,所以DE⊥平面CC1E,即DC1與平面CC1E所成的角為∠DC1E,則sin∠DC1E=DEC1D,因為D為BC的中點,所以CD=12BC=2,CC所以C1D2=CD2+CC12=22+(23)2=16,則C1D=4,因為AC2+BC2=AB∠ACB=90°,在Rt△ACD中,AD2=CD2+AC2=22+32=13,所以AD=13,cos∠CDA=DCAD=213,DE=DCcos∠CDA=2×213則sin∠DC1E=4134=19．(1)解:因為對任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1),令x=y=1,則f(1+1)+f(1+1)=f(1+1),所以f(2)=0.(2)證明:?x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則f(x1)+f(x2-1x1-1+1)=f(x1-1+1)+f(x又x2因為對任意的x>2均有f(x)>0,所以f(x2所以f(x1)<f(x2),所以函數f(x)在(1,+∞)上單調遞增.(3)解:因為函數f(x)為奇函數且在(1,+∞)上單調遞增,所以函數f(x)在(-∞,-1)上單調遞增,令x=y=2,可得f(5)=2f(3)=2,令x=2,y=4,可得f(9)=f(3)+f(5)=3,又f(8+1)+f(18+1)=f(8×1所以f(98因為f(x)為奇函數,所以f(-98所以由f(cos2θ+asinθ)<3,可得cos2θ+asinθ<-98或1<cos2假設存在實數a,使得cos2θ+asinθ<-98或1<cos2令t=sinθ,則t∈(0,1],則對于cos2θ