2024屆湖北十一校高三第二次聯考數學試題+答案

數學試題

詡加：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合〃={%,2+3%—10V。},N=|=>/x-1|,則〃()

A.[0,2)B.[l,2)C.[-5,2)D.(-5,2)

Z已知i為虛數單位，復數z滿足|z+2"=園，則)的虛部為()

A.-lB.lC.iD.-i

3.若tan(a—9)=2,貝IIsin2a=()

3344

A.—B.——C.-D.—

5555

4已知向量滿足H=W=3，則q.(a+3)=()

1^21—2]———11一

A..—aB.—dC.—(<24-b)

5.如圖，A是平面a內一定點，5是平面a外一定點，且48=4五，直線48與平面a

所成角為45°,設平面a內動點〃到點4,3的距離相等，則線段的長度的最小值為

()

A.4B.2V2

D*

C.2

2

（二+心-1）.（1-切6的展開式中/的系數是-2,則實數a的值為（〉

A.OB.3G.-lD.-2

7.平面直角坐標系x。中，已知點4（-cr,0）,8（。,0）其中。>0,若圓（x-a+iy+

（^一。一2）2=，上存在點/>滿足用.而=3/,則實數。的取值范圍是（〉

1

一,+8D.[l,+a>)

2

8.若對于任意正數X》,不等式“。+加工）之4111少一令恒成立,則實數￡1的取值范圍是（）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.若X-N（100,L5?）,則下列說法正確的有（）

A.P（^<100）=-B,E（Jf）=1.5

2

C.P[X<101.5）=P[X>98.5）D.P（97<X<101.5）=P（98.5<X<103）

io.如圖所示的數陣的特點是：每行每列都成等差數列，該數列一共有〃行〃列G>100）,

生表示第，行第）列的數，比如%=7,454=21,則（）

234567???

3$791113???

471Q131619???

5913172125???

6H162]2631

713192$3137???

??????????????????

A.%,=50B.數字65在這個數陣中出現的次數為8次

D.這個數陣中七個數的和s=KI”l）2

C.a=zxj+1

(j4

數學試題第2頁（共6頁）

11.用平面a截圓柱面，圓柱的軸與平面a所成角記為。，當6為銳角時，圓柱面的截線

是一個橢圓.著名數學家Dandelin創立的雙球實驗證明了上述結論.如圖所示，將兩個大小

相同的球嵌入圓柱內，使它們分別位于a的上方和下方，并且與圓柱面和a均相切.下列結

論中正確的有（）

A.橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等

B.橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距QQ相等

C.所得橢圓的離心率e=cos6

D.其中GG2為橢圓長軸，R為球9半徑，有

0

R=AG1?tan—

（第11題圖）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

x+l,x<0

12.己知函數f（x）h,則關于x的不等式的解集為.

ln(x+l),x>0

13.在矩形45CD中，AB=4,BC=6,分別是5G4D的中點，將四邊形4BEF沿

Sy=77,則S1co=

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

15.（13分）在平面四邊形43CD中，AB=45,AC=3t,BC=2-J1.

⑴求cosN8a的值;

勺求4D的長.

(2)若cos/.BCD=一2'C0S—DC

XJ

Jrt4?J|ya?BT

16.（15分）如圖所示，平面ZCFEJ■平面4BCD,且四邊形ZCFE是矩形，在四邊形4B8

中，ZZDC=120°,2ZB=2/Z>=2CD=5C=6.

（1）若的=2而，求證：/〃//平面ADR.

3.

（2）若直線跳'與平面/BCD所成角為巴，求平面與平面5C"所成銳二面角的余弦

6

值.

（第16題圖）

17.（15分）2023年12月30號，長征二號丙/遠征一號S運載火箭在酒泉衛星發射中心點

火起飛，隨后成功將衛星互聯網技術實驗衛星送入預定軌道，發射任務獲得圓滿完成，此次

任務是長征系列運載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官。某市一調

研機構為了了解當地學生對我國航天事業發展的關注度，隨機的從本市大學生和高中生中抽

取一個容量為"的樣本進行調查，調查結果如下表：

關注度

學生群體■oit

關注不關注

17

大學生-w--n

210

高中生

3

Tn

附:

a0.10.050.0250.010.001

2.7063.8415.0246.63510.828

,其中〃=a+b+c+d.

(a+￡>XC+d)(a+cX&+d)

（1）完成上述列聯表，依據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，認為關注航天事業發展與學生

群體有關，求樣本容量〃的最小值；

（2）該市為了提高本市學生對航天事業的關注，舉辦了一次航天知識闖關比賽，包含三個

問題，有兩種答題方案選擇：

方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；

方案二：在三個問題中，隨機選擇兩個問題，都答對可以晉級.

已知小華同學答出三個問題的概率分別是3,22，小華回答三個問題正確與否相互獨立,

432

則小華應該選擇哪種方案晉級的可能性更大？（說明理由）

f，1

18.（17分）已知橢圓〃：F+4F=l（a>b>°）的離心率為:，4B分別為橢圓的左頂

ab2

點和上頂點，片為左焦點，且&的面積為孝.

（1）求橢圓〃的標準方程：

（2）設橢圓M的右頂點為C.P是橢圓M上不與頂點重合的動點.

3

⑴若點P（l,￡）,點。在橢圓”上且位于x軸下方，直線尸。交x軸于點斤，設&4EF和

3

△CQ尸的面積分別為S「S2,若S]-S2=：,求點。的坐標：

QD若直線4B與直線CP交于點。，直線3尸交x軸于點N,求證：2華川一砧為定值，

并求出此定值（其中柘心設分別為直線0N和直線。。的斜率）?

數學試題第5頁.（共6頁）

19?我們知道通過牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形(如圖1所示陰影部分)的

j'/(x>&,(/(x)>0)

面積力=?，其中=尸。)一尸(。)，尸'(x)=/(x).如果

平面圖形由兩條曲線圍成(如圖2所示陰賬部分)，曲線G可以表示為y=f(x),曲線。2

可以表示為'=6(x),那么陰影區域的面積N=J："(x)-工(喇右，.其中

J：(AW-Z(切粒=J：E(工)辦一J：fl(x)成.

(1)如圖3,連續函數y=/(x)在區間［-3,-2］與［2,3］的圖形分別為直徑為1的上、下

半圓周，在區間［-2,0］與［0,2］的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設萬(%)=J；f［t｝dt,

(2)在曲線/(X)=/(X20)上某一個點處作切線，使之與曲線和X軸所圍成的面積為3,

XA

求切線方程；

(3)正項數列｛伉｝是以公差為d("為常數，d>0)的等差數列，4=1,兩條拋物線

+—y="+2-6GM)記它們交點的橫坐標的絕對值為q,兩條拋物線

4，2+1

SsS,4

圍成的封閉圖形的面積為S”，求證：—L+—+,,,+-2-<T-

%a2a?3

教學誠題第6頁(共6頁)

2024屆高三湖北H■—校第二次聯考

數學參考答案及評分細則

命題學校：鄂南高中命題人：李環宇易紅艷汪勇謀審題人：鄂南高中雷松柏

黃石二中萬蓮艷

題號1234567891011

答案ABBCADDCACDACABC

l,M=(-5,2),AA=[0,+oo)MPI^=[O,2)

選：A

2.^z=a+bi,(a,beR),由|z+2z[=目，a+(b+2)i|=|a+bi\,

a2+(b+2)-=a2+b-,解得6=-1,.?二的虛部為—b=l

選：B

,(tancr-12tana3

3.由tan|a==2,得tantz--3,..sin2a=

I4)1+tana1+tan2a5

選：B

一一3-2

4.由，=3得向量a1的夾角為60°，a-{a+b)=a-■a?b——\ci\

g(a+B)2=g(a+2a*b+b)=-1a2

選：C

5.由題意得，動點河的軌跡是線段48的中垂面與平面答凝

可得線段AM的最小值為4行義也=4

:

6.x2C°+ax?C；(r)+(-l)-C；，所以x2

選：D

7.設尸(x,y),-：PAPB=3a2,得P得軌跡方程為圓by2=4a2,所以圓C和已

/+2a+520

知圓相交即可，圓心距々一八三|0C]W+4，其中6=。,4=2a,得4

74-2Q-520

得

選：D

1

8.參變分離得砂Nu(ln(-lnx)-x,/.?>—(Inj-lnx)--,/.a>—In-

yyyy

設/=上，得42皿匚,/￡(0,+00),設g(x)=@±4,xe(0,+oo),求導討論單調性，可

XtX

得q2—

e~

選：C

9.X?N(100,1.52)可知期望為100,方差為1S,

c選項尸(X<〃+￡)=尸(X〉〃一b)正確

D選項尸(〃-2cr<X<〃+cr)=P(〃-cr<X<〃+2cr)正確

選：ACD

10.第z?行是以為為首項，以。+1)為公差的等差數列，

.,.旬=%]+(/—1)?i=(Z，+1)+(7—1)?Z，=Z，?J+1,C正確

可知A正確，對于B選項

615243342516

at-=i-j+1=65,i-j=64=2°x2=2x2=2x2=2x2=2x2=2x2=2x2°

故共出現7次，B錯誤

對于D選項，令〃=1,2,檢驗可知錯誤.

選：AC

11.A選項易知正確

B選項，如圖可知

G]片=G/,G]g=GXD,GjA+G〔D=GXFX+G冉=(a—c)+(a+c)=2a

.?.002=/D=2。得證

C選項，AOOiK,O片=c,OOj=a,NO。片=6得證

D選項，可知44。1片=4/2。01=2,40/5中，tan'=4d,所以錯誤.

22R

選：ABC

2

12.(-oo,e-l]13.34%14.-3750

12.當x<0時，x+1?1得x<0,，xW0

當x>0時，ln(x+1)<1得一0<x<e-1

綜上：/(》)41的解集為(-叫6-1]

13.由題意，可將三棱錐4-CDE補形成長方體，設長方體外接球半徑為火，則

(2R，=32+32+42=34,S球=4萬火2=34萬

14.???｛｝｝為等差數列，.??數列｛“〃｝等差數列

?「Si4=77,「.7(/+/4)=7(%+句)=77

Q]4=ll-qN_Q]11-a-axan-(11-^J

<，…'，貝U4=-----!----L=------------

%=11—Q”a”—%=2%]—11137

/.7。]+13〃u=110va^aneN+,經檢驗q=12,%i=2

則6/=￡11^=一1,an=l3-n,S=叱”.“二(25-.)?「..%o=_375o

10"22

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

15.（13分）在平面四邊形/BCD中，25=括,/。=3,5。=2血.

3

⑴求cos/BC4的值;

1)Mi

⑵若cosZBCD=——,cosZADC=--—求的長.

135

解：(1)在A48C中，由余弦定理可得：cosZBCA=—————

2AC-BC

/ncA9+8-5V2

/.cosZ.BCA=----------j==—；................5分

2x3x2逝2

(2)sin/ACD=sin(/BCD-ABCA)=sin/BCDcos/BCA-cos/BCDsinZBCA

5V212V217V2

--------1--------------

13213226

sinZADC=yj1-cos2ZADC=-............................9分

5

ACAD

在A4CD中，由正弦定理可得:

sinZADC~sinCD

3ADf255r-

—=—產^AD=——V2................13分

217、歷52

526

16.(15分)如圖所示，平面/CFEL平面4BC￡>,且四邊形ZCFE是矩形，在四邊形

ABCD中,ZADC=120°,2AB=2AD=2CD=BC=6.

2f

⑴若EN=—求證：幺〃//平面8D尸

3，

:.ZDCA=3O°,AC=3y/3又48=3,BC=6

:.ZCAB^9Q0,ZACB=30°，四邊形幺臺四是等腰梯形..............3分

4D//BC且/D=]c

:.AO=-AC=-EF=MF二四邊形ZOEM是平行四邊形..............6分

33

???AM11OF又AM6面0尸u面瓦加,AM//平面9................7分

(2)：平面4C巫，平面/8C。，且四邊形4CEE是矩形二平面/8C。

71

建立如圖所示空間直角坐標系，由RF與平面N8CD所成角為7,得CF=26…8分

35y3

???5(0,3,0)C(3AO,O)尸(3。,0,2百)￡(0,0,2V3)

BE=(0,—3,26)無=(手,1,0)

BC=(36,-3,0)BF=(373,-3,2a9

分

(0,-3,26)?(x,y.z)=-3y+2cz-0

―)

設平面BED的法向量為〃1=(x,y,z),則＜9369

(虧，一]，0),(％//)=3％一1歹=0

々=(2百,2,拘11分

設平面BC廠的法向量為〃2=(%//),

(3百,一3,0)-(x,y,z)=3A/3X-3y=0

則|(3A-3,2?(x,y,z)=3技—3y+2任=0

??n2=(1，A/3,0)..............13分

???cos",叱=撞1..............15分

19

I?iIIn2|

17.(15分)2023年12月30號，長征二號丙/遠征一號S運載火箭在酒泉衛星發射中心點

火起飛，隨后成功將衛星互聯網技術實驗衛星送入預定軌道，發射任務獲得圓滿完成，此次

任務是長征系列運載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官。某市一調

研機構為了了解當地學生對我國航天事業發展的關注度，隨機的從本市大學生和高中生中抽

5

取一個容量為〃的樣本進行調查，調查結果如下表:

關注度

學生群體會計

關注不關注

17

大學生

尸10

嘉中生

J

合計—內

s

附:

a0.10.050.0250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-be)2,

Z2---------------------,其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+1/)(<7+c)(b+d)

(1)完成上述列聯表，依據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，認為關注航天事業發展與學生

群體有關，求樣本容量〃的最小值？

(2)該市為了提高本市學生對航天事業的關注，舉辦了一次航天知識闖關比賽，包含三個

問題，有兩種答題方案選擇：

方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；

方案二：在三個問題中，隨機選擇兩個問題，都答對可以晉級.

已知小華同學答出三個問題的概率分別是3,22，小華回答三個問題正確與否相互獨立,

432

則小華應該選擇哪種方案晉級的可能性更大？(說明理由)

解：⑴

■

學生!》體生計

人汁不知

11

大學至一.一.g

11

G中生

10)10

—ItyM，.

frit5

6

零假設為“。：關注航天事業發展與學生群體無關

根據列聯表中的數據，經計算得到/=25510=女

7n3n3n2n63

ToToT'T

因為依據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，認為關注航天事業發展與學生群體有關

所以力2=耳>3.8410”>30.25

由題可知，〃是10的倍數，.1"min=40

321

（2）記小華同學答出三個問題的事件分別Z,8,C,則尸（幺）=牙尸（5）=§,P（C）=a

記選擇方案一通過的概率為Px

6=尸（2麻）+尸（疝0+尸（初0+尸（28。）

32131112132117,

——_?—.___?___.__.___?___.—.——?—.__.________]]3

-432432432432—24.........

記選擇方案二通過的概率為P2

P2=-P(AB)+-P(BC)+-P(AC)

29

72

,/q>￡,.?.小華應該選擇方案一15分

xv1

18.（17分）已知橢圓/：+2T=1（。>6〉0）的離心率為一，45分別為橢圓的左頂

ab2

點和上頂點，耳為左焦點，且△兒?々的面積為三.

（1）求橢圓M的標準方程；

（2）設橢圓/的右頂點為C,。是橢圓〃上不與頂點重合的動點：

3

（i）若點尸（1,2）,點。在橢圓〃上且位于x軸下方，直線尸。交工軸于點尸，設△4/）」「和

7

3

△CDF的面積分別為￡,邑，若，-S?=Q,求點。的坐標;

(ii)若直線Z8與直線CP交于點Q,直線AP交x軸于點N,求證：2左3-左支為定值，

并求出此定值.

N

題圖)

c_1

a2

解：(1)由題意得＜1分

i,、卜E

-(a-c)b=——

12、2

解得a=2,c=l2分

22

二?橢圓”的標準方程為乙+工=14分

43

(2)(i)連接尸C

13o3

「DPC=—x4x——S6分

SS[=S4Ape—S&\DPC

222

33-g

??S.DPC—

22-0AOPC

3

OD//PCk8分

OD2

3

y=——x

3?3

直線如的方程為y=—2%，聯立'22得覆.-10分

土+J

[43

(其它方法酌情給分)

(ii)設直線0c的斜率為左,則直線QC的方程為：y=k(x-2)

y=k(x-2)

直線4s的方程為＞=；-(x+2),由＜_V3.。、得

y=^-(x+2)

2(2左+#)4v/

以2k-a11分

8

y=k(x-2)

2

由＜xy2得(3+4左2)%2_16左2%+16左2—12=0

—+—=1

[43

c16P-12....2—6-12k

2xp=...........-13分

「3+4左2.3+4左2'3+4左2

—4百左2一12左一3百

.?直線5尸的方程為：〉=

8左2—6

...我-華⑼15分

2k+A/3

8?+121,M

…kQN=-k+—

2(2左+G)2(2左—G)-16G24

2k-也2k+6

"2kQN-kQc=^為定值

17分

19.（17分）我們知道通過牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的

a?7

面積Z=<，其中[/(%[=廠他)一7(。)，7(%)=/(%).如果

-￡/(X)67X,(/(X)<0).

平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線a可以表示為y=＜（x）,曲線。2

可以表示為＞=人（耳，那么陰影區域的面積Z=J：（力（x）—工,其中

（1）如圖3,連續函數y=/（x）在區間［-3,-2］與［2,3］的圖形分別為直徑為1的上、下

9

半圓周，在區間［-2,0］與［0,2］的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設尸（x）=J；/（/W，

求1尸（2）—尸（3）的值；

（2）在曲線/（》）=X2（》20）上某一個點處作切線，使之與曲線和x軸所圍成的面積為

求切線方程；

（3）正項數列也｝是以公差為d（d為常數，d〉0）的等差數列，4=1,兩條拋物線

1

y=bnx+—＞=*4+!（〃6乂）記它們交點的橫坐標的絕對值為%,兩條拋物

b,J%

線圍成的封閉圖形的面積為色，求證：縣+邑