1、教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題目 第一章 函數1.1函數的概念與特性教學目的掌握函數定義域的求法；知道函數的幾種特性教學重點熟練掌握各種函數的定義域、值域；掌握函數的特性教學難點函數的有界性使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖教學流程設計復習導入復習中學數學知識，引入新課題二、講授新內容（一）、函數的有關概念1、函數的定義：例1 我國銀行2015年3月

2、1日開始實施的整存整取的基準利率見表1-1表1-1時間3個月6個月1年2年3年5年年利率2.102.302.503.103.754.00時間和年利率都是變量，并且年利率是依賴于時間這個變量的，當存款的時間確定時，其存款的年利率就隨之確定。定義 設在某一個變化過程中有兩個變量x和y，且x的變域為非空集D，如果當x在變域D的每一個值，按照一定的對應法則f，變量y都有唯一確定的值與它對應，那么，就稱y是x的函數，并記作：y=f(x)，xD.其中x叫做自變量，y叫做因變量或函數.自變量x的變域D叫做函數的定義域，可記作D(f)。和x的值對應的y值叫做函數值，而函數值的集合（變域）叫做函數的值域，一般記

3、作M(f)，即：M(f)= f(x) | x D.例2：求解：（略）例3：已知函數，解：課堂練習：1、求下列函數的定義域.（1）； （2）.解 （1）當且僅當且時，才有意義，即，所以函數的定義域是.（2）當且僅當且時，才有意義，即且，所以函數的定義域是.2、 已知，求,. 解；2、分段函數表示函數的方法通常有公式法（解析法）、列表法和圖像法三種 用公式表示函數時，一般用一個式子表示一個函數，但有時需要用幾個式子分段表示一個函數，即對于自變量不同的取值范圍，函數采用不同的表達方式，這種函數叫做分段函數. 例如 都是分段函數。 對于分段函數，要注意以下幾點：(1)分段函數是由幾個公式合起來表示一個

4、函數，而不是幾個函數(2)分段函數的定義域是各段自變量取值集合的并集例4：境內跨縣區普通函件的收費標準如表1-2所示表1-220g及20g以下1.20元60g以上至80g4.80元20g以上至40g2.40元80g以上至100g6.00元40g以上至60g3.60元試求郵資與信函質量的函數關系式、函數的定義域、并畫出其圖像，同時求當信函分別是38g與88g時，應付多少郵資？解：（略）。3、顯函數和隱函數 有些函數的因變量y可以用含自變量x的一個明顯的表達式表達，例如， 等等，這樣的函數稱為顯函數。由函數y=2x+1可得方程2x-y+1=0，由函數 可得方程， 所以方程也可以確定函數的關系。用二

5、元方程F(x,y)=0的形式確定y是x的函數，稱這種函數為隱函數。例如等等，有的隱函數可以化為顯函數，如中可解出；但有些隱函數化為顯函數是困難的，甚至是不可能的。（二）、函數的幾個特性1、函數的單調性定義1.2 設函數y=f(x)定義在區間(a,b)內，如果對于(a,b)內的任意兩點都有成立，則稱函數y=f(x)在區間(a,b)內單調增加（單調減少）。函數在區間(a,b)內單調增加（單調減少）的性質，稱為函數的單調性。而稱區間(a,b)為單調增加（單調減少）區間。2、函數的奇偶性定義1.3 設函數y=f(x)的定義域D(f)是關于原點O對稱的數集，如果對于任意的都有f(-x)=-f(x)成立，

6、則稱f(x)為奇函數；如果對任意的都有f(-x)=f(x) 成立，則稱為f(x)偶函數。由上述的定義可知，奇函數的圖像是關于原點對稱的，而偶函數的圖像關于y軸對稱。函數定義域D(f)關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。例如，是偶函數，但在-3,5內就是非奇非偶。一般的，判斷函數的奇偶性，可先求它的定義域D(f).例5 判斷下列函數的奇偶性：解：（1）奇函數；（2）偶函數；（3）既不是奇函數也不是偶函數。3、函數的周期性定義1.4 對于函數y=f(x)，如果存在一個常數T(T 0),使得對于其定義域內的所有x，都有f(x+T)=f(x)成立，那么稱函數y=f(x) 是周期函數，而稱T為這個函

7、數的周期。周期函數f(x)的周期不是唯一的，如果在所有的周期中，存在一個最小的正周期T,則稱T為周期函數的最小正周期。通常，我們把函數的最小正周期簡稱為周期。例如，函數y=sinx和y=cosx都是以為周期的周期函數；函數y=tanx和y=cotx都是以為周期的周期函數；而 和是以為周期的周期函數。周期函數f(x)不一定存在最小正周期，如常數函數f(x)=c(c為常數)，任何正常數都是它的周期，而正常數中沒有最小的正數，所以它不存在最小正周期。4、函數的有界性定義1.5 對于定義在（a,b）內的函數y=f(x),如果存在一個正數M，使得對于(a,b)內的所有x，都有|f(x)|M成立，則稱y=

8、f(x)在(a,b)內是有界的。如果這種M不存在，則稱y=f(x)在(a,b)內是無界的。例如函數在區間內，對于任意的x，恒有，所以，函數在內是有界的，而函數在（0,2）內是無界的，因為不存在這樣的正數M，使得對于(0,2)內的所有x都成立；而同樣的函數在（1,2）內是有界的，因為存在這樣的正數M（例如M=1），使得對于(1,2)內的所有x都成立。 三、小結本次課主要講述了函數的定義及函數的有關性質，它的一些基本性質是什么？ 明確一個函數、二個要素、三種表示法、四個幾何特性。四、布置作業P21:1，2，3.4，5設置問題情境，引入如何用數學式子表示量與量之間的關系，為給出變量之間的函數關系做準

9、備。 函數定義中的兩個要素：定義域、值域，用于判斷兩個函數是否相同。利用函數定義判斷給出新函數表示形式分段函數。通過例子加深理解分段函數概念。引入函數的四個幾何特性總結課堂內容，加深所學知識通過完成作業，鞏固所學內容。教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題目 第一章 函數1.2幾種常用的函數及其圖像1.3反函數1.4復合函數與初等函數教學目的掌握常用的函數及其圖像；知道反函數的概念，會求一個函數的反函數；深刻理解復合函數的概念，懂得復合函數的復合過程。教學重點熟練掌握幾種函數及其圖

10、像性質教學難點復合函數的分解使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖教學流程設計復習導入復習中學幾種常用函數引入新課題二、講授新內容（一）、幾種常用的函數及其圖像冪函數：（為常數）指數函數：(，且，a為常數) 對數函數：(，且，a為常數) 三角函數：，冪函數： 指數函數 對數函數 常用對數函數，以10為底自然對數函數，以無理數e為底1、冪函數（二）、反函數求反函數的步驟是從中解出x，得到，再將x和y互換即可例如求的反函數解 由得，互換字母x，y得所求反函數為函數對應關系必須一

11、一對應（三）、復合函數與初等函數一、基本初等函數與函數的四則運算（1）、基本初等函數：下列6類函數統稱為基本初等函數：常數函數：（c為常數）冪函數：（為常數）指數函數：(，且，a為常數) ，特別當a=e時，對數函數：(，且，a為常數) ，特別當a=e時，函數為自然對數函數三角函數：，反三角函數：， 基本初等函數是人們長期從生產實踐和科學實驗中總結出的最基本、最常用、最重要的一些函數，所以我們要牢記它們的圖像與性質。2、函數的四則運算若函數f(x)與g(x)的定義域分別是D(f)和D(g)，且D(f)D(g)，則f(x)與g(x)的和函數F1(x)定義為對任意數xD(f)D(g)有 F1(x)=

12、f(x)+g(x).同理，函數f(x)與函數g(x)的差函數，積函數，商函數分別是： F2(x)=f(x)-g(x),xD(f)D(g); F3(x)=f(x)g(x),xD(f)D(g); F4(x)=，xD(f)D(g)且xx|g(x)=0.如在1.2節中所提到多項式函數就是由冪函數x,x2,xn和常數a0,a1,an經過加、乘這兩種運算構成的.二、復合函數在研究函數的時候，常會遇到有兩個以上的函數合成的函數。例如，某商店經營一種商品，若不考慮其他因素，那么利潤L是經營額q的函數，而營業額q又是價格P的函數。因此對于在確定范圍內的每一個價格P，經過q都是唯一確定的L與之對應，這樣，也可以把

13、L看成P的函數。定義 1.7：設y是u的函數，即y=f(u)，而u又是x的函數，即u=g(x)，若，則稱函數y=fg(x)為x的復合函數，x叫做自變量，u叫做中間變量。例如，y=u3+1,u=cosxD(f)=R,M(g)=-1,1,則y=cos3x+1就是x的復合函數；又如y=eu,u=x2-1D(f)=R,M(g)=-1,+),則y=ex2-1就是x的復合函數。注意：不是任意兩個函數都能復合成一個復合函數的，因為它必須滿足定義域中的y=f(u)的定義域D（f）與u=g(x)的值域M（g）的交集是非空集D(f)M(g)這個條件，才能復合成復合函數，例如，由y=arcsinu,u=x2+2就不

14、能復合成一個復合函數，因為y=arcsinx的定義域D（f）=-1,1,而函數u=x2+2的值域M（g）=2,+),D(f)M(g)=.復合函數的中間變量可以不止一個，例如y=sinu,u=，V=ln,=2x-1,則復合函數y=sin就是u，這3個中間變量。同時，還必須注意，“復合函數”這個名稱僅僅表示函數的一種表達式，而不是一類新的函數，盡管它可以構成大量的復雜的函數，但對于我們來說，更重要的是要把一個復合函數“分解”成幾個簡單的函數（如基本初等函數及多項式函數等）。例 1 下列函數是由哪些簡單復合而成的？y=2sinx; (2)y=ln(1-x2); (3)y=sin(cosx2).解（1

15、）函數y=2sinx是由基本初等函數y=2u，u=sinx復合而成的。 （2）函數y=ln(1-x2)是由基本初等函數y=lnu及簡單函數u=1-x2復合而成。 （3）函數y=sin(cosx2)是由基本函數y=sinu,u=cos,=x2復合而成。例2 下列函數能否構成復合函數？若能構成復合函數，則寫出y=fg(x)，并求其定義域：(1) (2)y=arccosu,u=2x-1.解 （1）因為函數y=的定義域D(f)=(,o,而函數u=x2+1的值域M（g）=1,).所以D（f）M(g)=,故y=,u=x2不能復合成一個函數。因為函數y=arccosu的定義域D（f）=-1,1,而函數u=2

16、x1的值域M（g）=(,),故D（f）M(g)=-1,1. 所以y=arccosu，u=2x-1可以復合成函數y=arccos（2x1）. 要使函數y=arccos（2x1）有意義，只要|2x1|1,即12x-11,解不等式組，得0 x1,因而復合函數y=arccos（2x1）的定義域是0,1.課堂練習：指出下列復合函數的復合過程（1） （2）解 （1）是由，和復合而成（2）是由，復合而成，其中是簡單函數三、初等函數由基本初等函數經過有限次的四則運算或者有限次的函數復合所構成的，并能用一個解析式表示的函數稱為初等函數。例如,y=ln(2x+)，y=+cosx等都是初等函數。而,及函數就不是初等

17、函數了，因為前者不是“有限次四則運算”，而后者不滿足“可用一個式子表示”的條件。但不是所有的分段函數都不是初等函數，如是分段函數，但它可以看成是由函數y=，u=x2復合而成的一個復合函數，即y=|x|,因此它是初等函數，不能用一個解析表示的分段函數不是初等函數。(四)、小結本次課主要講解常見的函數以及復合函數。特別是指數函數與對數函數在經濟生活中應用非常廣泛，如我們需求函數等，對這四函數重點掌握。對常見的基本初等函數也要掌握，特別是復合函數的分解過程要熟練掌握應用。（五）、布置作業P21:16，17,18,19畫出具體函數圖像從具體到抽象，降低學習難度，使學生很自然地學習了新的知識，達到了突破

18、難點的目的。引導學生得出幾種常用函數的圖像性質。難點是求反函數例子引導學生得出復合函數的概念。復合函數的概念通過例子加深理解復合函數注意：復合函數定義域有要求教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題目 第一章 函數1.5常用經濟函數教學目的1）掌握需求函數、供給函數，并了解供需平衡價格和平衡數量；2）掌握成本函數、收益函數、利潤函數，并深刻了解三者之間的關系，了解平均成本、平均收益和平均利潤函數，了解盈虧平衡點。教學重點成本、收益和利潤函數的關系教學難點函數關系的建立使用的教具/多媒

19、體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖教學流程設計一、復習導入復習中學數學知識，介紹經濟數學的特點，引入新課題二、講授新內容（一）、常用經濟函數1、成本、收益和利潤函數一般地，成本包含固定成本與可變成本兩部分，固定成本與產量或銷售量無關，即包括設備的固定費用和其他管理費用。而可變成本是隨產量（或銷售量）的不同而不同的。如果產量（或銷售量）為q，固定成本為c0， 可變成本為C ，則產量（或銷售量）成本函數是 C(q)=c0+C(q)即總成本=固定成本+可變成本 平均單位成本函數函數： 例1某

20、糧油加工廠，加工大米日產能力是40t，固定成本為2000元，每加工1t大米，成本增加100元，試求出每日的成本與日產量的函數關系，并分別求當日產量是20t,25t時的總成本及平均單位成本。解：（略）2、收益函數：收益函數是描述收入、單價和銷售量之間相依關系的表達式，一般有下列表示法： 設q代表銷售量、P是價格，R是收益例 2某商品的價格為60元/件時，月銷售量為10000件，當價格提高2元/件時，月銷售量就會減少200件。在不考慮其他因素時，（1）試求這種商品月銷售量與價格之間的函數關系，并求其定義域；（2）當價格提高到多少元時，這種商品就會賣不出去？解：（略）3、利潤函數：收益與成本之差（即

21、利潤L可以表示為產量q的函數）（1）L(q)0盈利，（2）L(q)0虧損，（3）L(q)=0盈虧平衡滿足L(q)=0的q0稱為盈虧平衡點（又稱保本點）例3、生產某種產品的固定成本為1000元，每件產品的可變費用為10元，若此產品的出售價為15元/件。求（1）盈虧轉折點的產量（2）盈虧轉折量解：（略）2、需求、供給函數需求量Q就是價格p的函數,稱為需求函數。（1）、需求函數： 需求量Q就是該商品價格p的函數，稱為需求函數。 對應法則f在不同的情況下，又有各種各樣的形式，常見的有線性需求函數，二次需求函數，還有冪需求函數，指數需求函數等，它們有一個共同的特點：即商品的價格低，則商品的需求量大，反之

22、，商品的價格高，則需求量小，所以需求函數是價格的單調減函數。例4某種型號的電冰箱，當每臺價格為1000元時，日需求量為20臺，如果每臺電冰箱打9折促銷，即降價到900元，則日需求量為30臺.若需求量與價格之間是線性關系，求電冰箱的日需求量Q與價格p之間的函數關系。（2）、供給函數：供給量與價格之間的函數就稱為供給函數。同樣，在經濟學中，對應法則f也是多種多樣的，但是從供給的特征來看，供給函數一般是增函數，即商品的價格低，生產者不愿意生產，供給量就少，反之，商品的價格高，則供給量就多。從圖形上看，需求函數是一條單調下降的直線，供給函數是一條單調上升的直線。我們把這兩條曲線放在同一個坐標系中，就會

23、發現有這樣的關系，兩條直線交于一點，這一點的含義是，在價格為時，產品的需求量與供給量是相同的，即供需達到了平衡。這一點稱為供需平衡點。價格超過時，供過于求；價格低于時，供不應求。在經濟分析中，供需平衡點所對應的價格，稱為市場均衡價格；它所對應的需求量或供給量稱為市場均衡數量。三、小結本次課主要講述常用的經濟函數。通過學習了解經濟應用中常用的需求函數、供給函數之間的關系，會求簡單的函數關系式；熟練掌握經濟應用中常用的成本函數、收益函數和利潤函數之間的關系，會求它們及它們平均函數的關系式。四、布置作業P23:21，22,23,24，25設置問題情境，引入如何用數學式子表示量與量之間的關系，為給出變

24、量量之間的函數關系做準備。 仔細講解解題的步驟和認知過程，突出重點，培養學生分析問題和解決問題的能力通過說明，慢慢引導學生分析得出另一級常用經濟應用函數。給出常用模型，降低學習難度，給學生一定的理解空間。總結課堂內容，加深所學知識通過完成作業，鞏固所學內容。教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題目 2.1 極限的概念教學目的理解函數極限的思想，會通過觀察圖像判別數列或者函數在自變量指定的變化方向上的變化極限；教學重點極限的概念教學難點左右極限的概念使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設

25、備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖一、知識回顧復習數列知識二、情境引入引例 ： 一對年輕的夫妻，在孩子出生之時，用1萬元作為初始投資。如果投資按10%的連續復利計算，到孩子20歲生日時，估計能拿到多少元的成長金？若繼續做投資，到孩子28歲生日時，能拿到多少元的婚嫁金？（一）、數列的極限極限的概念來源于實踐，我國古代早就有極限概念的萌芽，“一尺之錘，日取其半，萬事不竭。”這句話的意思是：一尺長的一根木棒，第一天截取它的一半，剩下尺，第二天取剩下的一半，還剩尺，第三天取剩下的一半，還剩尺，.，第n天還剩尺，

26、當n無限增大時，無限減小，但并不是0，卻與0無限接近。剩下的木棒長度按天數的順序就構成數列：定義2.1: 對于無窮數列，如果當n無限增大時，無限趨近于一個確定的常數A，則稱當n趨于無窮大時，數列以A為極限，記作或數列以常數A為極限，亦稱數列收斂于A；如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。例如，上面數列就收斂于0，即 =0，而數列=就是發散的。從極限的定義可知：（1）收斂數列的極限是唯一的。（2）收斂數列一定是有界數列。（二）、函數的極限1)x時，函數 y=f(x)的極限考察函數f(x)=, 當自變量X取正值且無限增大時(記作x+)，函數f(x)= 無限趨近于常數0，此時稱0為f(x)=，當x+時

27、的極限。同樣，當自變量X取負值而絕對值無限增大(記作x-)時，函數f(x)=也無限趨近于常數0，此時，稱0為f(x)=，當x-時的極限。定義2.2：對于函數y=f(x)，如果當自變量x的絕對值無限增大時，函數f(x)無限趨近于某個確定的常數A，則常數A稱為函數f(x)當x時的極限，記作：或注：“x的絕對值無限增大”可記為“|x|+”或“x”因此，“x ”應包括“x+”或“x-”兩種情況。2) x 時，函數 y=f(x)的極限觀察x1時，函數f(x)=x+1的變化趨勢，(見教材P26圖2.3所示)，無論x從大于1的一側趨近于1，還是從小于1的一側趨近于1，函數f(x)=x+1的值無限趨近于2，這

28、時，我們說函數f(x)=x+1當x1時以常數2為極限。定義2.3：對于函數y=f(x)，如果當自變量x無限趨近于定值，即x（x可以不等于）時，函數f(x)無限趨近于某個確定的常數A，則常數A稱為函數f(x)當x時的極限，記作說明:如果當x從的左側無限趨近于（通常記作x）時，函數f(x)以A為極限，則稱A為函數f(x)當x 時的左極限，記作如果當x從的右側無限趨近于（通常記作x ）時，函數f(x)以A為極限，則稱A為函數f(x)當x 時的右極限，記作左極限、右極限統稱為單側極限.定理2.1： 成立的充分必要條件是:這個定理常用來判定函數在一點的極限是否存在。例1：作圖并求函數f(x)= 當x1時

29、的左右極限，并說明是否存在 ？ 解 ：的圖象（如教材P27圖2-4所示），從圖中可以看出，當x1且無限趨近于1時，函數的值無限地趨近于常數2，即函數的右極限存在，且有=2。由于在x1的左、右極限不相等，所以，當X 1時，函數的極限不存在。例2：求下列函數當時的左極限與右極限，并說明當時，的極限是否存在（1） ，（2）解（1）作出函數圖象，如下圖， ,，因，所以.（2）作出函數圖象，如下圖， ，因，所以不存在.二、課堂練習：求下列函數當時的左極限與右極限，并說明當時，的極限是否存在（1） （2）三、小結：理解極限的思想，會通過函數圖像求函數的極限；在討論函數極限時，一定離不開自變量的變化趨勢；是

30、否存在和在點處有無定義無關；極限是一種函數的變化趨勢，是動態變化過程中考查出來的，而不是一個點一個點的函數值算出來的。四、作業：P38:1（1）（2）（3）通過實際生活中的案例，引起學生學習的興趣。設置問題情境，引入極限的思想。從具體到抽象，從特殊實例歸納函數極限的定義，降低學習難度，使學生很自然地學習了新的知識，達到了突破難點的目的。把數列極限概念推廣時的函數極限。給出時函數極限的定義。進一步推廣時的函數極限。導出時函數的極限定義。在時函數極限定義下，說明單側極限概念。通過學與做的課堂活動，引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式整理總結，理清思路，形成牢固的知識鏈和知識體系

31、。通過完成作業，鞏固所學內容。教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題目 2.2 極限的運算法則教學目的1）熟練掌握極限的四則運算法則，特別注意法則的條件是在各自極限存在情況下展開計算； 2）熟練計算由多項式組成的分式函數的極限。教學重點極限的運算法則教學難點極限的計算使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖一、知識回顧極限概念復習二、新授1.學習新知（一）、極限的

32、運算法則：設當x (或x )時， =A, =B(此處省略了自變量x的變化趨勢，下同)，則有下列極限的運算法則成立。法則2.1 limf(x)g(x)=f(x)g(x)=AB法則2.2 f(x)g(x)=f(x)*g(x)=AB法則2.3 注 ：上列法則對于有限個函數的情況同樣成立由法則2.2可得以下推論：推論1：推論2：推論3：利用極限運算法則，可以進行極限的運算.例1 求：解：因為例2 求：解： 例3求：解：因為x0時，分子分母極限均為零，不能直接用商的極限法則，可先對分子有理化，然后再求極限例4求：解：課堂練習 求.解：由于，所以不能直接利用法則求極限，考慮到分子和分母都有公因子，可以先約

33、去公因子，再求極限，即.例5 求： 解：例6 求： 解：三、課堂練習：求下列函數的極限：（1） （2） （3） （4） （5） （6）四、小結：理解極限的思想，會利用極限四則運算法則求簡單函數的極限。五、作業：P38: 2（1）（3）（4）（6） （9）（10）（13）（14）引導學生有目的地復習，為后面的學習做準備給出極限四則運算法則，注意說明法則中的條件和推廣只能是有限個函數。利用約分方法來滿足法則的前提條件。利用分子分母同除以x在分子分母最高次冪，來適應法則的前提條件。教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐

34、 理實一體化 習題課 其他授課題目 2.3 兩個重要極限教學目的掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限 教學重點兩個重要極限，理解復利與貼現的意義，會求某些簡單的復利與貼現的計算題。教學難點兩個重要極限的應用；使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖一、復習引入 考察極限對x任取一系列趨于零的數值時，經計算可得 的一系列對應值，如表2-1所示。從上表可以看出，當x無限趨近于0時，的值無限x10.70.50.30.10.01.0.95850.99830.99960.9997

35、0.99980.9999.趨近于1，即=1二、講授新課（一）、兩個重要極限1、 =1 特點： = 1 * GB3 它是“”型 = 2 * GB3 （三角形代表同一變量） 思考：嗎？例1：求：解：例2：求：解：例3：求： 解：例4：求： 解：例5：求： 解： 例6：求：求解： =12、考察極限（1+）觀察：當時函數的變化趨勢。如表2-2所示 表2-2x-1000000-1000-10101000.2.718302.719642.867972.593742.71692.當時，函數的值都無限趨近于一個確定的常數e2.718281828459045. 記作e因此有：（1+） = e 特點：（） (1+

36、無窮小) ，即1型；（）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數， 推廣： 例7：求： 解：例8：求： 解：例9：（1）解：原式=1+（）= 1+=例10：求： 解：例11：求：解：例12：（）解：原式=（）=(1)=(1+) =(1+)(1+)= e 例13: 關于利息（復利）的計算問題設初始投資（本金），年利率為p，若每年結算一次，則一年的本利和為（1+p）.如果第二年以第一年末的本利和為本金計算，則到第二年末，本利和為.照此方法計息，則第n年末的本利和為，這種計息方法為復利。如果一年結算m次，且每次結算后的利息都以計入本金，則每期利率為，一年后的本利和為，第n年末的本利和為。如果結算次數無

37、限增多，即m，則有：所以，本金為，按年利率p不斷計算復利，則n年后的本利和上述極限稱為連續復利公式，式中的n可視為連續變量.上述公式是一個理論公式，僅作為投資較長情況下的一種近似估計。解答本章引言中所提出的問題：已知 =10000元，按年利率10%的連續復利計算，到孩子20歲生日時，能拿到本利和為：若繼續投資，到孩子20歲生日時，能拿到本利和為：三、課堂練習：求下列式子的極限：（1+） （1+）四、小結：掌握兩個重要極限，并運用兩個重要極限求極限計算，理解復利與貼現的意義，理解簡單的復利與貼現等金融操作的數學意義；并會解決類似的簡單案例題。五、作業：P38：3（2）（4）（5）（7）（8）（9

38、），4（1）（2）（3）（4）（5）通過計算引入第一個重要極限講解第一個重要極限舉例講解加深學生的理解通過列表數據，引導學生觀察結果，引入第二個重要極限得出第二個重要極限舉例加深學生對于極限公式的理解引導學生利用所學知識解決實際經濟問題通過學與做的課堂活動，引導學生形成良好的學習方式教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題目 2.4 無窮小量與無窮大量教學目的理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義；掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量；會運用等價無窮小量求函數的極限教學

39、重點無窮小量與無窮大量教學難點等價無窮小量的判定及其在極限運算中的應用使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖一、復習引入 極限的概念二、無窮小量與無窮大量1、無窮小量（1）、無窮小量的概念定義2.4 如果當x（或x ）時，函f(x)的極限 為零，則稱f(x)當x（或x ）時是無窮小量，簡稱無窮小。例如，當x0時， 2x、sinx都是無窮小量注意1）說f(x)是無窮小，必須指明x的變化趨勢，如當x 時1/x是無窮小。而當x趨于其他數值時，1/x不一定是無窮小.2）數零是唯一可

40、作為無窮小的常數.（2）、無窮小的性質性質1 有限個無窮小量的代數和仍為無窮小量；性質2 有限個無窮小量的積仍然是無窮小量；性質3 有界函數與無窮小量之積為無窮小量例如，對于，當x0時，是無窮小量，且由于，即為有界函數，由性質3知是無窮小， 即（3）、無窮小與函數極限的關系定理2.2 函數f(x)以常數A為極限的充分必要條件是f(x)可以表示為A與一個無窮小之和，即: 其中，2、無窮大量定義2.5 如果當x（或x ）時，函數f(x)的絕對值無限增大，則稱f(x)當x（或x ）時是無窮大量，簡稱無窮大，記作：例如，對于，當x從=1的左邊或右邊無限趨于1時，f(x)向下或向上無限地遠離x軸，因此，

41、當x1時， 是無窮大量。從這個例子還可以看出，當 x1 時， x-1是無窮小量，而x-1的倒數是無窮大量。一般地，無窮小量與無窮大量有如下關系：無窮大量的倒數是無窮小量；非零的無窮小量的倒數是無窮大量。例1：求：解：當x時，是無窮小量，而的極限是1。根據無窮小量與無窮大量的關系，得：觀察第2.2節的例5、例6和本節的例1，可得一般結論：3、無窮小量的比較無窮小量都以零為極限，但是不同的無窮小量趨于零的快慢速度不一定相同.為了說明它們趨于零的快慢程度，我們給出無窮小的階的概念。定義2.6 設當x（或x ）時，都是無窮小量.（1）如果，則稱是比較高階的無窮小量（2）如果，則稱是比較低階的無窮小量（

42、3）如果（常數C0），則稱和是同階無窮小量，特別地，當C=1時稱與是等價無窮小量，記作。例如，當x0時x、3x、等都是無窮小量，由于 所以x0時是比x較高階的無窮小量；由于所以當x0時，3x與x是同階的無窮小量例2 當t0時，試比較無窮小量解 因為 所以當t0時是等價無窮小定理2.3 設當x（或x ）時，無窮小 1， 1，且 存在，則定理2.3表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母可分別用各自的等價無窮小來代替。 常見的等價無窮小有：當x0時， sinxx，tan xx，arctanx x，ln(1+x) x，() x，(1-cosx) 等等例3：求：解：注意 利用等價無窮小求極限，只能在

43、乘除中使用，不能在加減中使用，否則，就會出現錯誤的解答：例4：求解：=三、課堂練習： 1、當時，與是否同階？是否等價？2、求解：=四、小結：理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義，掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量，會運用等價無窮小量求函數的極限。特別地，用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或對分子、分母的因式進行替換），分子或分母中若有“+”“-”號連接的各部分不能分別作替換。五、作業：P39： 5、8（1）（2）引入無窮小量的概念引入無窮大量的概念無窮小量之間的比較，講解例題加深學生的理解通過學與做的課堂活動，引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式，

44、有助于學生認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，體驗成功。整理總結，理清思路，形成牢固的知識鏈和知識體系。通過完成作業，鞏固所學內容。教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題目 2.5 函數的連續性教學目的（1）理解函數連續性的概念，能結合圖像判斷函數的連續性；（2）會利用初等函數的連續性求函數的極限；（3）了解閉區間上連續函數的性質。教學重點連續性的概念教學難點分段函數分段點的連續性判斷。使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica

45、軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖一、知識回顧 函數極限概念，特別是 時的極限二、引入自然界有許多現象如空氣和水的流動，氣溫的變化，動植物的生長等，是連續不斷的過程，這種變化反映在數學上，就是函數的連續性.本節主要學習連續函數的概念和性質.（一）、函數連續性的定義1、函數的增量設函數y=f(x)在點及其附近有定義，給自變量一個增量x，當自變量x由變到+x時，函數y相應由f()變到f(+x)，因此，函數相應的增量為：y= f(+x)- f() 2、函數連續的定義 函數y=f(x)在點處連續，從幾何直觀上來說它的圖像在處是連續不斷的，也就是說，當自變量在點的附近變

46、化極其微小時，相應的函數值的變化也極其微小.下面給出函數在一點連續的定義.定義2 .7 設函數y=f(x)在點及其附近有定義，如果自變量增量x=x-趨于零時，對應的函數增量也趨于零，即 ，則稱函數f(x)在點處連續.由于y也可寫成y=f(x)-f()，所以上述定義2.7中的表達式也可寫為 ，即 ，于是有下面定義定義2 .8設函數y=f(x)在點及其附近有定義，若 ，則稱函數f(x)在點處連續. 由定義2.8可以看出，函數f(x)在點連續，必須同時滿足以下三個條件：（1）函數在點處及其附近有定義；（2）存在，即；（3）如果上述三個條件中有一個不成立，則函數f(x)在點處不連續，這時，稱點為函數f

47、(x)的間斷點.其中。凡是左、右極限都存在的間斷點叫做第一類間斷點，其余的間斷點叫做第二類間斷點。例1 設 ，在處連續，求k的值。例2：求下列函數的間斷點：（1） （2）如果，那么稱函數在點左連續；如果，那么稱函數在點右連續在區間I上的每一個點都連續的函數，叫做在區間I上的連續函數，或者說函數在區間I上連續，區間I叫做函數的連續區間如果區間包括端點，那么區間I上的連續函數在右端點處左連續，在左端點處右連續二、初等函數的連續性由極限的運算法則和連續函數的定義，可以得到一下關于連續函數的運算法則。法則2.4 有限個連續函數的和、差、積、商（分母不為零）也是連續函數。法則2 .5 有限個連續函數的復

48、合函數也是連續函數。法則2.6 單調增（減）的連續函數的反函數也是單調增（減）的連續函數。應用連續函數的運算法則可以得到如下結論： 所有基本初等函數在各自定義域內都是連續函數。 由極限運算可知，多項式在（-，+）內是連續的，有理函數在分母不為零時也是連續函數。因此，我們得到：一切初等函數在其定義區間內是連續的。例3：求 例4三、閉區間上連續函數的性質 為了今后的應用，我們介紹在閉區間上連續函數的三個基本性質，并從幾何上加以說明。 性質1（最大、最小值定理） 如果函數y=f(x)在閉區間a，b上連續，則f(x)在該區間上必有最大值和最小值。性質2（有界性定理） 如果函數y=f(x)在閉區間a,b

49、上連續，則f(x)在該區間上必有界。性質3（介值定理） 如果函數y=f(x)在閉區間a，b上連續，m、M分別是f(x)在a，b上的最小值和最大值，則對于介于m、M之間的任一實數c（mcM），至少存在一點(a，b)，使得f()=c。由性質3可得如下推論：推論 (零點存在定理、或稱根的存在定理) 如果函數y=f(x)在閉區間a，b上連續，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點(a，b)，滿足f()=0.四、課堂練習： 設函數 試討論函數在及處的連續性.解 函數的圖像如圖所示 （1） 因為在處有定義，且，因此 又因為 ，即.所以函數在處連續.（2）雖然函數在處有定義，但由于， ，所以，不存在.因此

50、，在處不連續. 圖五、小結：本節課學習了函數在一點處連續的意義；要求掌握判斷簡單函數在某點處的連續性的方法。六、作業：P39：9、10、11（1）（2）（3）引導學生有目的地復習，為后面的學習做準備通過自然界現象引入連續概念引導學生得出函數連續性的概念把初等函數連續性的性質沿用到求極限中來。給出閉區間上連續函數的性質，為后續課程的學習打下理論基礎。仔細講解例子，讓概念從感性上升至理性的認知過程，突出重點與學生共同探究，抓好概念的學習，突出重點。教 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題

51、目 3.1 導數與微分的概念教學目的掌握導數的概念及其幾何意義；掌握微分與倒數關系教學重點導數的概念及其幾何意義教學難點導數與微分的幾何意義使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖引入新課：引例 某企業當生產量為100件時，產品總成本為1200元；當生產量增至150件時，產品總成本為1500元；當生產量增至300件時，產品總成本為2325元，那么，當生產量由100件增加到150件時，平均每件產品增加總成本 當生產量由150件增加到300件時，平均每件產品增加總成本 這說明該企

52、業后一階段產品總成本增加量相對于生產量增加量的變化速度有所下降。上述例子中，如果已知產品總成本 是生產量的函數，要考察產品在某個生產量點上的變化率情況，則需要引入導數的概念。二、講授新課：（一）、導數的定義： 先看兩個實例1、產品總成本的變化率： 設某產品的總成本c是產量q的函數,即c=f(q).當產量由變到時，總成本相應的增量為：則表示產量由變到時，總成本的平均變化率。 當時，如果極限存在，則稱此極限是產量為時的總成本的變化率，在經濟學中稱為邊際成本。2、變速直線運動物體的瞬時速度設表示一物體從某個時刻開始到時間t做直線運動所經過的路程。現在討論該物體在時的運動速度。當時間由改變到時，物體在

53、這段時間所經過的路程為于是，從時刻到這一段時間內物體運動的平均速度為當很小時，可以用近似地表示物體在時刻的速度，越小，近似程度越好。當趨于零時，如果極限存在，就稱此極限為物體在時刻的瞬時速度,即 定義3.1 設函數y=f(x) 在點及其附近有定義，當自變量在點處有增量時，函數f(x)取得相應的增量如果與之比的極限存在，即 (3-1)存在，則稱此極限值為函數y=f(x)在點處的導數，記作：若極限（3-1）存在，那么就稱函數在點處可導，否則，則稱函數在點處不可導例1： 利用定義求函數在點x=-1處的導數解 當x在x=-1處取增量時，對應的函數增量為： 所以 即 如果函數y=f(x)在區間（a,b）

54、內的每一點都可導，就稱函數在區間（a,b）內可導。這時，函數y=f(x)對于（a,b）內的每一個確定的值，都對應著一個確定的導數，這就構成了一個新的函數，我們將這個函數叫做函數y=f(x)的導函數，記作： 顯然，導數就是導函數在點處的函數值。在不致發生混淆的情況下，導函數簡稱為導數。例2：求函數y=C(C為常數)的導數。解： （1）求增量：（2）算比值：（3）求極限： 例3 ： 求函數的導數。解： （1）（2）（3）即：例4：設y=x,求.解：（略）（二）、微分及其與導數的關系 設函數y=f(x)在點x處可導，由定義3.1知： 根據2.4節無窮小量與函數極限的關系（2-4）式，得 其中，當 時

55、，因此上式可寫成： （3-3）（3-3）式表明，函數的增量可以表示成兩項之和：第一項是的線性（一次）函數，第二項，當時是的高階無窮小。所以，當很小時，把 叫做的線性主部，并把它稱為函數y=f(x)的微分。定義3.2 設函數y=f(x)在點x處可導，則稱為函數y=f(x)在點x處的微分，記作 即 這時，稱函數y=f(x)在點x處可微。 如果將自變量當作它本身的函數y=x，則有;而由例4及（3-4）式，得 ，從而有 .這就是說，函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數，因此，導數又稱為微商.例 5： 設，當x由-1改變到-1.02時，求函數的增量與函數的微分。 解: 函數的增量 故函數的微分

56、例6：求函數的微分。解：（略）（三）、導數與微分的幾何意義 一般地，設是曲線上的一個定點，是曲線上異于的任意一點，則割線PQ的斜率為，其中為割線PQ的傾斜角.當時，如果極限 存在，那么，這個極限值就是曲線在點處的切線PT的斜率.函數y=f(x)在點P處的導數 就是曲線y=f(x)在點處切線PT的斜率，即這就是導數的幾何意義。函數微分的幾何意義就是：在曲線上某一點處，當自變量取得增量時，曲線在該點處切線縱坐標的增量。 由導數的幾何意義及直線的點斜式方程可知，曲線y=f(x)上點P處的切線方程為: 例7： 求函數在點 （1，1）處的切線方程。解：斜率為所求曲線在點 P (1,1) 的切線方程為:例

57、8：求在處的導數，并求的圖形在處的切線方程.解 所以 =6而當時，所以的圖形在處的切線方程即 .（四）、可導與連續的關系 定理3.1 如果函數y=f(x)在點處可導，則它在點處一定連續。事實上，若y=f(x)在點處可導，即存在，這時，所以y=f(x)在點處連續。 但是，這個結論的逆命題不一定成立，即函數y=f(x)在點連續，則它在點處不一定可導。例如：函數在x=0連續，但不可導。 因為所以在x=0處，連續，但不可導。課堂練習：1、求下列函數的導數.（1） （2） （3） （4）2.求曲線在處的切線方程.小結：掌握用導數定義求函數的導數的三步曲，會求函數的導數，理解導數的變化率的概念，理解導數、

58、微分的幾何意義，會用導數（變化率）描述一些簡單的實際問題。還應注意與區別與聯系。作業：P58:1（1）（2）（3），2（1）（2），3,4（1）（2）（3）（4）結合經濟實例，引入新課。啟發學生思考，邊思考邊展開討論。函數在點處的導數的概念，同時也讓學生明確導數在經濟中的實際意義可以為邊際成本。通過例子，再次引導學生了解導數概念的形成過程。從特殊到一般，引導學生得到函數求導的一般方法。給出微分的定義。通過例子講解加深學生的理解。給出導數與微分的幾何意義。給出可導與連續的關系。通過課堂練習，鞏固知識。通過總結，進一步體會導數的意義及極限的思想，訓練學生的概括能力。 通過完成作業，鞏固所學內容。教

59、 案授課時間 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節 班 周星期 第 節課 次1學時數2授課形式（請打）純理論 純實踐 理實一體化 習題課 其他授課題目 3.2 導數（微分）運算法則3.3 復合函數的導數教學目的掌握導數的四則運算法則、復合函數求導法則；懂得求解復合函數的導數教學重點導數的四則運算法則教學難點復合函數求導法則使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設備等PPT; Flash，計算機；Mathematica 軟件教學方法圖示法；演示法；練習法；講授法；討論法；教學過程設計意圖一、復習引入：求導數的運算是微積分的基本運算之一，我們必須很好地掌握。上一節中，根據求導數的三個步驟，可以求得一些

60、簡單的基本初等函數的導數.但是，對于較復雜的函數，用這種方法求導往往很困難，甚至不可能。二、講解新課：（一）、幾個基本初等函數的導數1、冪函數的導數：設（a為正整數），則：例1 設 求：解 由冪函數的求導公式，得： 2、正弦函數與余弦函數的導數 3、對數函數的導數 例 2： 設解 因為a=5，由上述公式，得：（二）導數（微分）的運算法則在下列法則中，我們假設所討論的函數都是可導的1、和（差）的導數：這個法則可以推廣到有限多個函數的和（差）的情況。例3： 求 的導數解：2、乘積的導數特別地，當例4：設解： 3、商的導數 注意：例5：求y=tanx的導數。例6： 解： 所以：函數的和、差、積、商的