20172018學年度下學期沈陽市郊聯體期中考試高二試題理科數學第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數（為虛數單位），則（）A． B． C． D．2.設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則（）A． B． C． D．3.由與圓心距離相等的兩條弦長相等，想到與球心距離相等的兩個截面圓的面積相等，用的是（）A．三段論推理 B．類比推理 C．歸納推理 D．傳遞性關系推理4.若向量，，，則實數的值為（）A． B． C． D．5.用反證法證明命題“設、為實數，函數至少有一個零點”時要做的假設是（）A．函數恰有兩個零點B．函數至多有一個零點C．函數至多有兩個零點D．函數沒有零點6.用數學歸納法證明（，）時，第一步應驗證不等式（）A． B． C． D．7.定積分（）A． B． C． D．8.已知函數的導函數只有一個極值點，在同一平面直角坐標系中，函數及的圖象可以為（）9.甲、乙、丙、丁四位同學一起向數學老師詢問數學競賽的成績．老師說：他們四人中有2位獲得一等獎，有2位獲得二等獎，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據以上信息，則（）A．乙、丁可以知道對方的成績 B．乙、丁可以知道自己的成績C．乙可以知道四人的成績 D．丁可以知道四人的成績10.若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11.函數的極大值點為（）A． B． C． D．12.設函數是定義在區間上的函數，是函數的導函數，且，（為自然對數的底數），則不等式的解集是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.當且時，復數在復平面上對應的點位于第象限．14.曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為．15.如圖，已知三棱錐，，，，、分別是棱、的中點，則直線與所成的角的余弦值為．16.函數，，當時，對任意、，都有成立，則的取值范圍是．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知函數在點處的切線與軸平行．（1）求函數的表達式；（2）求函數的單調區間及極值．18.已知四棱錐中，底面，，，，是中點．（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值．19.設函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，．20.在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面，，，，為的中點．（1）求證：；（2）在線段上是否存在點，使二面角的大小為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．21.已知函數（）．（1）為的導函數，討論的零點個數；（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．22.已知復數，（為實數，為虛數單位），且是純虛數．（1）求復數，；（2）求的共軛復數．20172018學年度下學期沈陽市郊聯體期中考試高二試題理科數學答案一、選擇題15:610:11、12：二、填空題13.四14.15.16.三、解答題17.解：（1），由題意可知，∴，代入得，∴，∴．（2），令，或，列表得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴的單調增區間為，，單調減區間為，，．18.（1）證明：取的中點，連接、，∵、分別為、的中點，∴，且，又∵，∴且，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標，，，，，，，設平面的一個法向量，，，∴即令，則，，，設直線與平面所成角為，．19.解：（1），∴，又，∴，即切線方程為．（2）要證，由于，只需證明，即證，設，則，，（且不恒為0）成立，∴在單調遞減，且，∴成立，即時，成立．20.證明：（1）連接，∵，，∴△為等邊三角形，又∵為中點，∴，又∵，∴，∵為矩形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，，∴平面，∵平面，∴．（2）由（1）知平面，∵、平面，∴，，又∵，以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，設，，，，設平面的一個法向量為，，則即令，則，由圖形知，平面的一個法向量，由題意知，即，即，∵，∴．21.解：（1），，，，且當時，，，所以；當時，，，所以．于是在遞減，在遞增，故，所以①時，因為，所以無零點；②時，，有唯一零點；③時，，取，，則，，于是在和內各有一個零點，從而有兩個零點．（