專題11勾股定理及其逆定理核心知識點精講1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內容；3.能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題；4.加強知識間的內在聯系，用方程思想解決幾何問題．以體現代數與幾何之間的內在聯系．【知識網絡】考點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）【要點詮釋】勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發現并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：①圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理.3.勾股定理的應用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊,在中，，則，，；②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系；③可運用勾股定理解決一些實際問題.考點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.【要點詮釋】①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀；②定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊；③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形.3.勾股數①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數；②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等；③用含字母的代數式表示組勾股數：（為正整數）；（為正整數）（，為正整數）.考點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.【題型1：勾股定理在圖形翻折中的應用】【典例1】如圖，將長方形紙片折疊，使邊落在對角線上，折痕為，且D點落在對角線上處，若，則的長為（）A． B．3 C．1 D．1．如圖，中，，，，將沿翻折，使點與點重合，則的長為（

）A． B． C．3.5 D．42．如圖，將長方形沿對角線對折，使點落在點處，交于，，，則重疊部分（即）的面積為（

）A．24 B．30 C．40 D．803．如圖，將長方形紙片的邊沿折痕折疊，使點落在上的點處，若，則的長為（

）A． B． C．1 D．4．如圖長方形中，，，點為邊上一點，將沿翻折后，點恰好落在邊上的點處，則（

）A．2 B． C． D．1【題型2：勾股定理及其逆定理在求圖形面積中的應用】【典例2】有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了如圖，如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A． B． C．2023 D．20241．如圖，這是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是（

）

A．169 B．144 C．30 D．252．如圖、在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形、面積分別記為，，.若．則圖中陰影部分的面積為（

）A．6 B． C．5 D．3．李伯伯家有一塊四邊形田地，其中，，，，，則這塊地的面積為（

）

A． B． C． D．4．如圖，四邊形中，E為中點，于點E，，，，，則四邊形的面積為（）

A． B． C． D．無法求解【題型3：勾股定理及其逆定理的綜合應用】【典例3】暑假中，小明和同學們到某海島去探寶旅游，按照如圖所示的路線探寶，他們登陸后先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東一拐，僅走1km就找到了寶藏，則登陸點到埋寶藏點的直線距離為_________km．1．兩個大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放．將兩個三角板抽象成如圖②所示的△和△，點B、C、D依次在同一條直線上，連接．若，,則點A到直線的距離為______．

2．如圖，已知，，，將繞點A逆時針旋轉，旋轉角為（），當點D恰好落在的邊上時，的長為_______．3．在中，，，．以為底在內部作等腰，連接，若，則的長為________________．4．如圖，在中，，，點是邊上的點，將沿折疊得到，點是點的對稱點．若為，則的長是____________．1．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點B的坐標是，點M是上一點，將沿折疊，點B恰好落在x軸上的點處，則點M的坐標為（

）A． B． C． D．2.如圖，在中，，點M是斜邊的中點，以為邊作正方形，，則（）A． B． C．12 D．163．如圖，在Rt中，，用圓規在上分別截取，，使，分別以為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在內交于點，連接并延長交于點，則的面積是（

）A． B．6 C． D．4．如圖，在中，，，于點，點為的中點，連接，若，則的長為（

）A． B．8 C． D．1．如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點A在的斜邊上．下列結論：其中正確的有（

）①；②；③；④

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結論：①；②；③；④該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結論個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，在四邊形中，，，，且，則四邊形的面積是（）A．4 B． C． D．4．如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測得，，，，，則陰影部分的面積為（

）

A．24 B．36 C．48 D．125．如圖，中，，分別以為邊作等腰直角三角形，，若的面積是3，的面積是4，則的面積是（

）

A． B．10 C．7 D．56．如圖，在中，，，，將繞點C按逆時針方向旋轉得到，此時點恰好在邊上，則點與點B之間的距離為（

）A．12 B．6 C． D．7．如圖，在中，，，是斜邊上兩點，且，將繞點順時針旋轉后，得到，連接，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③8．如圖，所在的直線是的對稱軸，，則的面積為．9．如圖，中，，，，是邊上的中線，．10．如圖，在等邊中取點使得，，的長分別為3，4，5，則．11．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分別以Rt△ABC三邊為直徑作半圓，則陰影部分面積為.12．如圖，高速公路上有A，B兩點相距，C，D為兩村莊，已知，．于A，于B，現要在上建一個服務站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，則的長是．

1．（2023·四川瀘州·統考中考真題）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，該著作中給出了勾股數，，的計算公式：，，，其中，，是互質的奇數．下列四組勾股數中，不能由該勾股數計算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，252．（2023·廣西·中考真題）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發現其中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·江蘇南京·統考中考真題）直三棱柱的表面展開圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點中，與點距離最大的是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點4．（2023·浙江溫州·