活頁作業(二十)獨立性檢驗一、選擇題1．對兩個分類變量A，B的下列說法中正確的個數為()①A與B相關性越大，則χ2的值就越大；②A與B無關，即A與B互不影響；③χ2的大小是判定A與B是否相關的唯一依據．A．1 B．2C．3 D．0解析：①正確，χ2的值的大小是用來檢驗A與B的相關性，χ2的值越大，A與B的相關性越大．②正確，A與B無關即A與B相互獨立．③不正確，還可借助eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,n)－\f(a＋b,n)·\f(a＋c,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,n)－\f(a＋b,n)·\f(b＋d,n)))，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,n)－\f(c＋d,n)·\f(a＋c,n)))，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(d,n)－\f(c＋d,n)·\f(b＋d,n)))))的值的大小來判定A與B兩變量的相關性．答案：B2．兩個分類變量X和Y，值域分別為{X1，X2}和{Y1，Y2}，其樣本頻數分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X與Y有關系的可信程度為90%，則c等于()A．4 B．5C．6 D．7解析：當c＝5時，χ2＝eq\f(66×10×30－21×52,31×35×15×51)≈3.0236＞2.706.∴c＝5時，X與Y有關系的可信程度為90%，而其余的值c＝4，c＝6，c＝7皆不滿足．答案：B3．對于分類變量X與Y的隨機變量χ2的觀測值k，下列說法正確的是()A．k越大，“X與Y有關系”可信程度越小B．k越小，“X與Y有關系”可信程度越小C．k越接近于0，“X與Y無關”程度越小D．k越大，“X與Y無關”程度越大解析：χ2的值越小時，“X與Y有關系”的可信程度越小．答案：B4．為了探究學生的學習成績是否與學習時間長短有關，在調查的500名學習時間較長的學生中有39名學習成績比較好，500名學習時間較短的學生中有6名學習成績比較好，那么你認為學生的學習成績與學習時間長短有關的把握為()A．0 B．95%C．99% D．都不正確解析：計算出χ2與兩個臨界值比較，χ2＝eq\f(1000×39×494－6×4612,45×955×500×500)≈25.3403＞6.635．所以有99%的把握說學生的學習成績與學習時間長短有關．故選C．答案：C二、填空題5．獨立性檢驗中，兩個分類變量X和Y有關系的可信程度是95%，則隨機變量χ2的取值范圍是________．解析：當χ2>3.841時，有95%的把握判斷X與Y有關系，當χ2>6.635時，有99%的把握判斷X與Y有關系，∴3.841<χ2≤6.635．答案：(3.841,6.635]6．有兩個分類變量X與Y，有一組觀測的2×2列聯表如下，其中，a,15－a均為大于5的整數，則a＝________時，有90%以上的把握認為“X與Y之間有關系”.YXy1y2總計x1a20－a20x215－a30＋a45總計155065解析：要使有90%以上的把握認為X與Y之間有關系，則χ2＞2.706，即χ2＝eq\f(65[a30＋a－20－a15－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(1313a－602,60×90)＞2.706，解得a＞7.19或a＜2.04．又因為a＞5，且15－a＞5，a∈Z，所以當a取8或9時，有90%以上的把握認為“X與Y之間有關系”．答案：8或9三、解答題7．考察小麥種子經過滅菌與否跟發生黑穗病的關系，經試驗觀察，得到數據如下表所示：種子滅菌種子未滅菌總計黑穗病26184210無黑穗病50200250總計76384460試根據上述數據判斷種子滅菌與發生黑穗病是否有關．解：χ2＝eq\f(460×26×200－184×502,210×250×76×384)≈4.804．由于4.804＞3.841，所以有95%的把握認為種子滅菌與發生黑穗病是有關系的．8．有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績后，得到如下的列聯表.優秀非優秀總計甲班10乙班30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人為優秀的概率為eq\f(2,7)．(1)請完成上面的列聯表；(2)根據列聯表的數據，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”？(3)若按下面的方法從甲班優秀的學生中抽取一人：把甲班優秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號．試求抽到6或10號的概率．參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)附表：P(χ2≥k)0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635解：(1)優秀非優秀總計甲班104555乙班203050總計3075105(2)根據列聯表中的數據，得到χ2＝eq\f(105×10×30－45×202,55×50×30×75)≈6.109＞3.841，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”．(3)設“抽到6或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數為(x，y)．所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36個．事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個，∴P(A)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9)．一、選擇題1．碩士學位與博士學位的一個隨機樣本給出了關于所獲取學位類別與學生性別的分類數據如表所示：學位性別碩士博士總計男16227189女1438151總計30535340根據以上數據，則()A．性別與獲取學位類別有關B．性別與獲取學位類別無關C．性別決定獲取學位的類別D．以上都是錯誤的解析：由列聯表可得χ2＝eq\f(340×162×8－27×1432,189×151×305×35)≈7.34＞6.635，所以有99%的把握認為性別與獲取學位的類別有關．答案：A2．某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系，隨機抽查52名中學生，得到統計數據如表1至表4，則與性別有關聯的可能性最大的變量是()表1成績性別不及格及格總計男61420女102232總計163652表2視力性別好差總計男41620女122032總計163652表3智商性別偏高正常總計男81220女82432總計163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計男14620女23032總計163652A．成績 B．視力C．智商 D．閱讀量解析：因為χeq\o\al(2,1)＝eq\f(52×6×22－14×102,20×32×16×36)＝eq\f(52×82,20×32×16×36)，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(52×4×20－16×122,20×32×16×36)＝eq\f(52×1122,20×32×16×36)，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(52×8×24－12×82,20×32×16×36)＝eq\f(52×962,20×32×16×36)，χeq\o\al(2,4)＝eq\f(52×14×30－6×22,20×32×16×36)＝eq\f(52×4082,20×32×16×36)，則有χeq\o\al(2,4)＞χeq\o\al(2,2)＞χeq\o\al(2,3)＞χeq\o\al(2,1)，所以閱讀量與性別有關聯的可能性最大．答案：D二、填空題3．在吸煙與患肺病是否相關的判斷中，有下面的說法：①若統計量χ2>6.635，則在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病；②從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙與患肺病有關系時，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺病；③從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為吸煙與患肺病有關系時，是指有5%的可能性使得推斷錯誤．其中說法正確的是________．(填序號)解析：統計量χ2是檢驗吸煙與患肺病相關程度的量，是相關關系，而不是確定關系，是反映有關和無關的概率，故說法①錯誤；說法②中對“確定容許推斷犯錯誤概率的上界”理解錯誤；說法③正確．答案：③4．兩個分類變量X，Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其列聯表為YXy1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d若兩個分類變量X，Y獨立，則下列結論：①ad≈bc；②eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)；③eq\f(c＋d,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；④eq\f(c＋a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；⑤eq\f(a＋b＋c＋dad－bc,a＋bb＋da＋cc＋d)≈0．其中正確的序號是________．解析：因為分類變量X，Y獨立，所以eq\f(a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(a＋c,a＋b＋c＋d)·eq\f(a＋b,a＋b＋c＋d)，化簡得ad≈bc，故①⑤正確；②式化簡得ad≈bc，故②正確．答案：①②⑤三、解答題5．現對某市工薪階層關于“樓市限購政策”的態度進行調查，隨機抽查了50人，他們月收入(單位：百元)的頻數分布及對“樓市限購政策”的贊成人數如下表：月收入[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]頻數510151055贊成人數4812521(1)根據以上統計數據填寫下面2×2列聯表，并回答是否有99%的把握認為當月收入以5500元為分界點時，該市的工薪階層對“樓市限購政策”的態度有差異；月收入不低于5500元月收入低于5500元總計贊成不贊成總計(2)若從月收入在[55,65)的被調查對象中隨機選取兩人進行調查，求至少有一人不贊成“樓市限購政策”的概率．解：(1)2×2列聯表為月收入不低于5500元月收入低于5500元總計贊成32932不贊成71118總計104050假設月收入以5500元為分界點時，該市的工薪階層對“樓市限購政策”的態度沒有差異，根據列聯表中的數據，得到χ2＝eq\f(50×3×11－29×72,32×18×10×40)≈6.272＜6.635，所以沒有99%的把握認為當月收入以5500元為分界點時，該市的工薪階層對“樓市限購政策”的態度有差異．(2)已知在收入[55,65)中共有5人，2人贊成，3人不贊成，設至少有一個不贊成“樓市限購政策”為事件A，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(9,10).故所求概率為eq\f(9,10)．6．為了研究教學方式對教學質量的影響，某高中數學老師分別用兩種不同的教學方式對入學數學平均分數和優秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學(勤奮程度和自覺性都一樣)．以下莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學生的數學期末考試成績.甲乙090156877328012566898422107135987766578988775(1)現從甲班數學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績為87分的同學至少有一名被抽中的概率；(2)學校規定：成績不低于75分的為優秀．請填寫下面的2×2列聯表，并判斷有多大把握認為“成績優秀與教學方式有關”.甲班乙班總計優秀不優秀總計下面臨界表僅供參考：P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．解：(1)記成績為87分的同學為A，B，其他不低于80分的同學為C，D，E，“從甲班數學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學”的一切可能結果