第第頁專題04一元二次方程的應用（八大類型）【題型1一元二次方程應用-變化率】【題型2一元二次方程應用-傳染問題】【題型3一元二次方程應用-分支問題】【題型4一元二次方程應用-比賽問題及遷移運用】【題型5一元二次方程應用-銷售問題】【題型6一元二次方程應用-每每問題】【題型7一元二次方程應用-幾何面積問題】【題型8一元二次方程應用-幾何動態問題】【題型1一元二次方程應用-變化率】1．（2023春?鄞州區期中）某商品經過連續兩次降價，價格由100元降為64元．已知兩次降價的百分率都是x，則x滿足的方程是（）A．64（1﹣2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝64 C．64（1﹣x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝64【答案】B【解答】解：根據題意，得100（1﹣x）2＝64，故選：B．2．（2023?天心區校級一模）在“雙減政策”的推動下，某初級中學學生課后作業時長明顯減少．2022年上學期每天作業平均時長為100min，經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天作業時長為70min．設這兩學期該校平均每天作業時長每期的下降率為x，則可列方程為（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100【答案】C【解答】解：根據題意得：100（1﹣x）2＝70．故選：C．3．（2023?溫江區校級模擬）隨著疫情影響消退和消費回暖，2023年電影市場向好，某電影上映的第一天票房約為2億元，第二天、第三天單日票房持續增長，三天累計票房6.62億元，若第二天、第三天單日票房按相同的增長率增長，設平均每天票房的增長率為x，則根據題意，下列方程正確的是（）A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.62 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62【答案】D【解答】解：設平均每天票房的增長率為x，則根據題意可列方程為2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62，故選：D．4．（2023春?華龍區校級月考）受益于國家支持新能源汽車發展和“一帶一路”倡議等多重利好因素，我國某汽車零部件生產企業的利潤逐年增高，據統計，2019年利潤為2億元，2021年利潤為2.88億元．（1）求該企業從2019年至2021年利潤的年均增長率；（2）若2022年保持前兩年利潤的年均增長率不變，該企業2022年的利潤能否超過3.4億元？【答案】（1）20%；（2）該企業2022年的利潤能超過3.4億元．【解答】解：（1）設該企業從2019年至2021年利潤的年均增長率為x，根據題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該企業從2019年至2021年利潤的年均增長率為20%；（2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（億元），3.456＞3.4，∴該企業2022年的利潤能超過3.4億元．5．（2023?黃山一模）數字化閱讀憑借其獨有的便利性成為了更快獲得優質內容的重要途徑．近年來，我國數字閱讀用戶規模持續增長，據統計2020年我國數字閱讀用戶規模達4.94億人，2022年約為5.9774億人．（1）求2020年到2022年我國數字閱讀用戶規模的年平均增長率；（2）按照這個增長率，預計2023年我國數字閱讀用戶規模能否達到6.5億人．【答案】（1）2020年到2022年我國數字閱讀用戶規模的年平均增長率為10%．（2）預計2023年我國數字閱讀用戶規模能達到6.5億人．【解答】解：（1）設2020年到2022年我國數字閱讀用戶規模的年平均增長率為x，根據題意得4.94（1+x）2＝5.9774，解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）答：2020年到2022年我國數字閱讀用戶規模的年平均增長率為10%．（2）5.9774（1+0.1）＝6.57514＞6.5，答：預計2023年我國數字閱讀用戶規模能達到6.5億人．【題型2一元二次方程應用-分支問題】6．（2023?虎林市校級一模）某種植物的主干長出若干為數目的支干，每個支干又長出相同數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是21，則每個支干長出小分支的個數是（）A．6 B．4 C．3 D．5【答案】B【解答】解：設每個支干長出小分支的個數是x，由題意得：x2+x+1＝21，解得：x1＝4，x2＝﹣5（舍去）；∴每個支干長出小分支的個數是4．故選：B．7．（2023?黑龍江一模）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是57個，則這種植物每個支干長出的小分支的個數是（）A．8個 B．7個 C．6個 D．5個【答案】B【解答】解：設每個支干長出的小分支的數目是x個，根據題意列方程得：x2+x+1＝57，即（x+8）（x﹣7）＝0，解得：x＝7或x＝﹣8（不合題意，舍去）；∴x＝7，即這種植物每個支干長出的小分支的個數是7個，故B正確．故選：B．8．（2022秋?澄海區期末）某校“生物研學”活動小組在一次野外研學實踐時，發現某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支．若主干、支干和小分支的總數是91，求這種植物每個支干長出的小分支個數是多少？【答案】9．【解答】解：設這種植物每個支干長出的小分支個數是x，根據題意，可得1+x+x2＝91，整理得x2+x﹣90＝0，解得x1＝9，x2＝﹣10（不合題意，舍去），答：這種植物每個支干長出的小分支個數是9．【題型3一元二次方程應用-傳染問題】9．（2023?興慶區校級一模）有一個人患流感，經過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可到方程為（）A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．（1+x）2＝81【答案】D【解答】解：x+1+（x+1）x＝81，整理得（1+x）2＝81．故選：D．10．（2023?潮南區模擬）有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人．【答案】每輪傳染中平均每人傳染了15人．【解答】解：設每輪傳染中平均每人傳染了x人，依題意得：1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256，解得：x1＝﹣17（不符合題意舍去），x2＝15，答：每輪傳染中平均每人傳染了15人．【題型4一元二次方程應用-比賽問題及遷移運用】11．（2023?東莞市二模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：設共有x支隊人伍參加比賽，根據題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊伍參加比寒，故選：D．12．（2023春?濱江區校級期中）一次足球聯賽實行單循環比賽（每兩支球隊之間都比賽一場），計劃安排15場比賽，設應邀請了x支球隊參加聯賽，則下列方程中符合題意的是（）A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C． D．【答案】C【解答】解：根據題意得：x（x﹣1）＝15．故選：C．13．（2023?佳木斯一模）黑龍江省中學生排球錦標賽共進行了110場雙循環比賽，則參加比賽的隊伍共有（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】D【解答】解：設參加比賽的隊伍共有x支，根據題意得：x（x﹣1）＝110，整理得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合題意，舍去），∴參加比賽的隊伍共有11支．故選：D．14．（2023?惠東縣一模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，則本次比賽共有參賽隊伍（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】C【解答】解：設共有x支隊伍參加比賽，根據題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊伍參加比賽．故選：C．15．（2022秋?集賢縣期末）在一次同學聚會上，大家一見面就相互握手（每兩人只握一次）．大家共握了21次手．設參加這次聚會的同學共有x人，根據題意，可列方程為（）A．x（x+1）＝21 B．x（x+1）＝21 C．x（x﹣1）＝21 D．x（x﹣1）＝21【答案】D【解答】解：設參加這次聚會的同學共有x人，由題意得：，故選：D．16．（2022秋?白云區期末）一次足球聯賽，賽制為雙循環形式（每兩隊之間都賽兩場），共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？【答案】共有10支隊參加比賽．【解答】解：設有x隊參加比賽．依題意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：共有10支隊參加比賽．【題型5一元二次方程應用-銷售問題】17．（2023春?鎮海區校級期中）某商店從工廠購進A、B兩款玩具，進貨價和銷售價如表：類別價格A款玩具B款玩具進貨價（元/件）3025銷售價（元/件）4235（1）該商店用1720元從工廠進貨A、B兩款玩具共60件，求兩款玩具分別購進個數；（2）商店銷售第一天，B款玩具便已售完，A款玩具只售出4件，因此商家決定對A款玩具降價銷售，經調查發現，A款玩具每下降1元，平均每天可多銷售2件，要想第二天A款玩具的利潤為66元，則商家需降價多少元？【答案】（1）購進A款玩具44件，B款玩具16件；（2）商家需降價0.75元．【解答】解：（1）設購進A款玩具x件，B款玩具y件，依題意得：，解得：．答：購進A款玩具44件，B款玩具16件．（2）設商家需降價y元，依題意得：（4+2y）×（42﹣30）＝66．解得y＝0.75．答：商家需降價0.75元．18．（2023?中山市一模）某超市以每千克40元的價格購進菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠．現決定降價銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式．（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應降價多少元？【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；（2）這種干果每千克應降價12元．【解答】解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），將（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數關系式為y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案為：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根據題意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要讓顧客獲得更大實惠，∴x＝12．答：這種干果每千克應降價12元．19．（2022秋?九龍坡區期末）某圖書店在2022年國慶節期間舉行促銷活動，某課外閱讀書進貨價為每本8元，標價為每本15元．（1）該圖書店舉行了國慶大回饋活動，連續兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每本9.6元的價格售出，求圖書店每次降價的百分率；（2）在九月底該書店老板去進貨該書500本，按照（1）兩次降價后的價格在國慶節全部售出；國慶節后老板去進貨發現進貨價上漲了a%，進貨量比九月底增加3a%，以標價的八折全部售出后，比國慶節的總利潤多1200元，求a%的值．【答案】（1）20%；（2）．【解答】解：（1）設圖書店每次降價的百分率為x，由題意得：15（1﹣x）2＝9.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意舍去），答：圖書店每次降價的百分率為20%；（2）國慶節的總利潤為：500×（9.6﹣8）＝800（元），國慶節后的進貨量為：500（1+3a%）本，進貨價為：8×（1+a%）售價為：15×0.8＝12（元），由題意得：500（1+3a%）[12﹣8（1+a%）]＝800+1200，解得：a%＝或a%＝0（不符合題意舍去），∴a%＝，答：a%的值為．20．（2022秋?平遙縣期末）某商店通過網絡在一源頭廠家進一種季節性小家電，由于疫情影響以及市場競爭，該廠家不得不逐年下調出廠價；（1）2019年這個小家電出廠價是每臺62.5元，到2021年同期該品牌小家電出廠價下調為40元，若每年下調幅度相同，請你計算該小家電出廠價平均每年下調的百分率；（2）若明年商場計劃按每臺40元購一批該品牌小家電，經市場預測，銷售定價為50元時，每月可售出500臺，銷售定價每增加1元，銷售量將減少10臺．因受庫存的影響，每月進貨臺數不得超過300臺；商家若希望月獲利8750元，則應進貨多少臺？銷售定價多少元？【答案】（1）20%；（2）該商品每臺的銷售定價為75元，應進貨250臺．【解答】解：（1）設該小家電出廠價平均每年下調的百分率為x，根據題意得：62.5（1﹣x）2＝40，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意，舍去）．答：該小家電出廠價平均每年下調的百分率為20%；（2）設該商品每臺的銷售定價為y元，則每臺的銷售利潤為（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）臺，根據題意得：（y﹣40）（1000﹣10y）＝8750，解得：y1＝65，y2＝75，當y＝65時，1000﹣10y＝1000﹣10×65＝350＞300，不符合題意，舍去；當y＝75時，1000﹣10y＝1000﹣10×75＝250＜300，符合題意．答：該商品每臺的銷售定價為75元，應進貨250臺．【題型6一元二次方程應用-每每問題】21．（2023春?沙坪壩區校級月考）將進貨價格為38元的商品按單價45元售出時，能賣出300個．已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個．設這種商品的售價上漲x元時，獲得的利潤為2300元，則下列關系式正確的是（）A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300 B．（x+7）（300+5x）＝2300 C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300 D．（x+7）（300﹣5x）＝2300【答案】D【解答】解：根據題意可得：（45+x﹣38）（300﹣5x）＝2300，即：（x+7）（300﹣5x）＝2300．故選：D．22．（2023春?西湖區校級期中）“抖音”平臺爆紅網絡，某電商在“抖音”上直播帶貨，已知該產品的進貨價為70元/件，為吸引流量，該電商在直播中承諾自家商品價格永遠不會超過99元/件，根據一個月的市場調研，商家發現當售價為110元/件時，日銷售量為20件，售價每降低1元，日銷售量增加2件．（1）當銷售量為30件時，產品售價為105元/件；（2）直接寫出日銷售量y（件）與售價x（元/件）的函數關系式；（3）該產品的售價每件應定為多少，電商每天可盈利1200元？【答案】（1）105；（2）y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（3）90元．【解答】解：（1）110﹣＝110﹣＝110﹣5＝105（元/件），∴當銷售量為30件時，產品售價為105元/件．故答案為：105；（2）根據題意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，∵該產品的進貨價為70元/件，且該電商在直播中承諾自家商品價格永遠不會超過99元/件，∴日銷售量y（件）與售價x（元/件）的函數關系式為y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（3）根據題意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，整理得：x2﹣190x+9000＝0，解得：x1＝90，x2＝100（不符合題意，舍去）．答：該產品的售價每件應定為90元．23．（2023春?長沙期中）春節是中國的傳統節日，每年元旦節后是購物的高峰期，2023年元月某水果商從農戶手中購進A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進貨價為28元/件，銷售價為42元/件，其中B種紅富士蘋果進貨價為22元/件，銷售價為34元/件．（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）（1）水果店第一次用720元購進A、B兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進的件數；（2）第一次購進的紅富士蘋果售完后，該水果店計劃再次購進A、B兩種紅富士蘋果共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總費用不高于2000元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？（3）春節臨近結束時，水果店發現B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對B種紅富士蘋果調價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經調查發現，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每件多少元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元？【答案】（1）A中蘋果購進10件，B中蘋果購進20件．（2）購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）將銷售價定為每件27元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．【解答】解：（1）設A，B兩種蘋果分別購進x件和y件，由題意得：，解得，答：A中蘋果購進10件，B中蘋果購進20件．（2）設購進A種蘋果m件，則購進B種蘋果（80﹣m）件，由題意得：28m+22（80﹣m）≤2000，∴m≤40，設利潤為w元，則w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，∵2＞0，∴w隨m的增大額增大，∴當m＝40時，w最大值＝2×40+960＝1040．故購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）設B種蘋果降價a元銷售，則每天多銷售2a件，每天利潤為（12﹣a），由題意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，解得，a＝3或a＝7，∵為了盡快減少庫存，∴a＝7，34﹣7＝27，答：將銷售價定為每件27元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．24．（2023春?余姚市校級期中）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜歡．某商店銷售亞運會吉祥物，在銷售過程中發現，當每件獲利125元時，每天可出售50件，為了擴大銷售量增加利潤，該商店決定采取適當的降價措施，經市場調查發現，如果每件吉祥物降價5元，平均可多售出1件．（1）若每件吉祥物降價20元，商家平均每天能盈利多少元？（2）每件吉祥物降價多少元時，能盡量讓利于顧客并且讓商家平均每天盈利5980元？【答案】（1）商家平均每天能盈利5670元；（2）每件吉祥物降價10元時，能盡量讓利于顧客并且讓商家平均每天盈利5980元．【解答】解：（1）（125﹣20）×（50+）＝105×54＝5670（元）．答：商家平均每天能盈利5670元．（2）設每件吉祥物降價x元，則每件的銷售利潤為（125﹣x）元，每天的銷售量為（50+）件，依題意得：（125﹣x）（50+）＝5980，整理得：x2+125x﹣1350＝0，解得：x1＝﹣135（不合題意，舍去），x2＝10．答：每件吉祥物降價10元時，能盡量讓利于顧客并且讓商家平均每天盈利5980元．25．（2023春?北侖區期中）某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個月的月平均增長率；（2）從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？【答案】（1）二、三這兩個月的月平均增長率為25%；（2）當商品降價5元時，商品獲利4250元．【解答】解：（1）設二、三這兩個月的月平均增長率為x，根據題意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意舍去）．答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%；（2）設當商品降價m元時，商品獲利4250元，根據題意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合題意舍去）．答：當商品降價5元時，商品獲利4250元．【題型7一元二次方程應用-幾何面積問題】26．（2023春?溫州期中）如圖，在長為32米，寬為20米的長方形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設小路的寬為x米，則下面所列方程正確的是（）A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100 C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100【答案】B【解答】解：設道路的寬x米，則32x+20x＝100+x2．32x+20x﹣x2＝100．故選：B．27．（2023?兩江新區一模）如圖，某小區居民休閑娛樂中心是一塊長方形（長60米，寬40米）場地，被3條寬度相等的綠化帶分為總面積為1750平方米的活動場所，如果設綠化帶的寬度為x米，由題意可列方程為（）A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750 C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750【答案】B【解答】解：∵長方形場地的長為60米，寬為40米，且綠化帶的寬度為x米，∴被分成六塊的活動場所可合成長為（60﹣2x）米，寬為（40﹣x）米的長方形．根據題意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．故選：B．28．（2023春?渦陽縣期中）如圖，長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，現在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【解答】解：∵長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，且在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，∴做成無蓋的長方體盒子的底面是長為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長方形．根據題意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．29．（2023春?永嘉縣校級期中）如圖，在高3m，寬4m的長方形墻面上有一塊長方形裝飾板（圖中陰影部分），裝飾板的上面和左右兩邊都留有寬度為x（m）的空白墻面．若長方形裝飾板的面積為4m2，則以下方程正確的是（）?A．（3﹣x）（4﹣x）＝4 B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4 C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4 D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝4【答案】B【解答】解：根據題意，得（4﹣2x）（3﹣x）＝4，故選：B．30．（2023?碑林區校級模擬）如圖，把一塊長AB為40cm的長方形硬紙板的四角剪去四個邊長為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒．若紙盒的體積是1500cm3，則長方形硬紙板的寬為多少？【答案】長方形硬紙板的寬為20cm．【解答】解：設長方形硬紙板的寬為xcm，根據題意，得（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，解得：x＝20；答：長方形硬紙板的寬為20cm．31．（2023?大連一模）如圖，物業公司計劃整理出一塊矩形綠地，為充分利用現有資源，該矩形綠地一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，已知柵欄總長度為18m，若矩形綠地的面積為36m2，求矩形垂直于墻的一邊，即AB的長．【答案】6m．【解答】解：設矩形垂直于墻的一邊AB的長為xm．由題意得，x（18﹣2x）＝36，整理得，x2﹣9x+18＝0，解得，x1＝3，x2＝6，當x＝3時，18﹣2x＝18﹣2×3＝12＞10，不符合題意，舍去；當x＝6時，18﹣2x＝18﹣2×6＝6＜10，符合題意．答：矩形垂直于墻的一邊AB的長為6m．32．（2023春?蒼南縣期中）園林部門計劃在某公園建一個長方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻（墻足夠長），另外三邊用木欄圍成，如圖2所示BC＝2AB，建成后所用木欄總長120米，在圖2總面積不變的情況下，園林部門在花圃內部設計了一個正方形的網紅打卡點和兩條寬度相等的小路如圖3，小路的寬度是正方形網紅打卡點邊長的，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為1728平方米．?（1）求長方形ABCD花圃的長和寬；（2）求出網紅打卡點的面積．【答案】（1）長方形ABCD花圃的長為60米，寬為30米；（2）16平方米．【解答】解：（1）設AB＝x米，∴BC＝2AB＝2x米，根據題意，得2x+x+x＝120，解得x＝30，∴AB＝30米，BC＝60米，答：長方形ABCD花圃的長為60米，寬為30米；（2）設網紅打卡點的邊長為m米，根據題意，得（60﹣m）+m2＝60×30﹣1728，解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去），∴網紅打卡點的面積為4×4＝16（平方米），答：網紅打卡點的面積為16平方米．33．（2023?政和縣模擬）為培養學生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質．某校為此規劃出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為15米）另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個區域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為（30﹣3x）米（用含x的代數式表示）；（2）矩形ABCD的面積能否為80m2，若能，請求出AB的長；若不能，請說明理由．【答案】（1）（30﹣3x）；（2）矩形ABCD的面積不能為80m2，理由見詳解．【解答】解：（1）∵修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案為：（30﹣3x）；（2）不能，理由如下：由題意得：x（30﹣3x）＝80，整理得：3x2﹣30x+80＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝900﹣4×3×80＝﹣60＜0，∴原方程無解，∴矩形ABCD的面積不能為80m2．34．（2022秋?從化區期末）某農場要建一個矩形動物場，場地的一邊靠墻（墻AB長度不限），另外三邊用木欄圍成，木欄總長20米，設動物場CD邊的長為xm，矩形面積為ym2．（1）矩形面積y＝﹣2x2+20x（用含x的代數式表示）；（2）當矩形動物場面積為48m2時，求CD邊的長．（3）能否圍成面積為60m2矩形動物場？說明理由．【答案】（1）﹣2x2+20x；（2）4m或6m；（3）不能，理由見解析．【解答】解：（1）根據題意，y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，故答案為：﹣2x2+20x；（2）根據題意，得﹣2x2+20x＝48，解得x1＝4，x2＝6，∵墻AB長度不限，∴CD邊的長為4m或6m；（3）不能，理由如下：根據題意，得﹣2x2+20x＝60，整理，得x2﹣10x+30＝0，∵Δ＝100﹣4×1×30＝﹣20＜0，∴方程沒有實數根，∴不能圍成面積為60m2矩形動物場．【題型8一元二次方程應用-幾何動態問題】35．（2023春?西湖區校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，當點Q到達點C時，P，Q均停止運動，若△PBQ的面積等于4cm2，則運動時間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【解答】解：當運動時間為t秒時，P